七桥问题

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七桥问题
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编辑本段七桥问题
1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支-----图论与几何拓扑。

也由此展开了数学史上的新进程。

问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。

七桥问题和欧拉定理。

欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。

编辑本段故事背景
七桥问题七桥问题Seven Bridges Problem
18世纪著名古典数学问题之一。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?欧拉于1736年研究并解决了此问题，他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题，证明上述走法是不可能的。

有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如左图上)。

有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题(如左图下)——一笔画问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.
编辑本段推断方法
当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

后来推论出此种走法是不可能的。

他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地(或点)时，他(或她)同时也由另一座桥离开此
点。

所以每行经一点时，计算两座桥(或线)，从起点离开的线与最后回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。

七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务无法完成.
欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。

这种研究方法就是“数学模型方法”。

这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。

接下来，欧拉运用图中的一笔画定理为判断准则，很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。

也就是说，多少年来，人们费脑费力寻找的那种不重复的路线，根本就不存在。

一个曾难住了那么多人的问题，竟是这么一个出人意料的答案!
编辑本段最终成果
问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。

而利用普通数学知识，每座桥均走一次，那这七座桥所有的走法一共有5040种，而这么多情况，要一一试验，这将会是很大的工作量。

但怎么才能找到成功走过每座桥而不重复的路线呢?因而形成了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。

1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯的彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题。

欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥后，认真思考走法，但始终没能成功，于是他怀疑七桥问题是不是原本就无解呢?
1736年，在经过一年的研究之后，29岁的欧拉提交了《哥尼斯堡七桥》的论文，圆满解决了这一问题，同时开创了数学新一分支---图论。

在论文中，欧拉将七桥问题抽象出来，把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

并由此得到了如图一样的几何图形。

若我们分别用A、B、C、D四个点表示为哥尼斯堡的四个区域。

这样著名的“七桥问题”便转化为是否能够用一笔不重复的画出过此七条线的问题了。

若可以画出来，则图形中必有终点和起点，并且起点和终点应该是同一点，由于对称性可知由B或C为起点得到的效果是一样的，若假设以A为起点和终点，则必有一离开线和对应的进入线，若我们定义进入A的线的条数为入度，离开线的条数为出度，与A有关的线的条数为A的度，则A的出度和入度是相等的，即A的度应该为偶数。

即要使得从A 出发有解则A的度数应该为偶数，而实际上A的度数是5为奇数，于是可知从A 出发是无解的。

同时若从B或D出发，由于B、D的度数分别是3、3，都是奇数，即以之为起点都是无解的。

有上述理由可知，对于所抽象出的数学问题是无解的，即“七桥问题”也是无解的。

由此我们得到:欧拉回路关系
由此我们可知要使得一个图形可以一笔画，必须满足如下两个条件：
1. 图形必须是连通的。

2. 途中的“奇点”个数是0或2。

我们也可以依此来检验图形是不是可一笔画出。

回头也可以由此来判断“七桥问题”，4个点全是奇点，可知图不能“一笔画出”，也就是不存在不重复地通过所有七桥。

欧拉的这个考虑非常重要，也非常巧妙，它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。

这种研究方法就是“数学模型方法”。

这并不需要运用多么深奥的理论，但想到这一点，却是解决难题的关键。

七桥问题1736年，欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文加里宁格勒地理报告中，阐述了他的解题方法。

他的巧解，为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。

七桥问题和欧拉定理。

欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。

对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。

人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。

具有欧拉回路的图叫做欧拉图。

此题被人教版小学数学第十二册书收录.在95页。

此题也被人教版初中第一册收录.在121页。

一笔画：
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。

(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。

)
在18世纪的哥尼斯堡城里有七座桥。

当时有很多人想要一次走遍七座桥，并且每座桥只能经过一次。

这就是世界上很有名的哥尼斯堡七桥问题。

你能一次走遍这七座桥，而又不重复吗？(自己动手画画吧）
答案
16.一笔画问题
这个问题，实际上是一笔画问题。

一笔画就是一笔可以画成一个图。

判断一笔画的方法：
①是连通的。

一个图，如果图上任意二点总有线段连接着，就称为连通的。

不是连通的就不能一笔画出。

②奇点个数是0或者是2。

图上线段的端点可以分成二类，奇点和偶数。

一个点，以它为端点的线段数是奇数就称为奇点，线段数是偶数就称为偶点。

一个图是否是一笔画就看奇点的个数，奇点个数是 0 或者 2，就是一笔画，否则就不是一笔画。

哥尼斯桥问题，就是一笔画问题。

但因A、B、C、D四个点都是奇点即奇点的个数是4，而不是0或2，所以不是一笔画，也就不能一次走遍，而又不重复。

一笔画问题
编辑词条
传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。

即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可一笔画，而‘田’和‘目’则不能。

两两相连区域可一笔画，例如，平面4个区域两两相连区域可一笔划；轮胎状上7个两两相连区域可一笔画；我们可以构造一个多维空间的无穷个两两相连区域一笔划。

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【一笔画问题的简介】
【一笔画问题的规律】
【一笔画问题规律的证明】
【七桥问题与欧拉定理】
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编辑本段【一笔画问题的简介】
一笔画是一个几何问题，传统意义上的几何学是研究图形的形状大小等性质，而存在一些几何问题，它们所研究的对象与图形的形状和线段的长短没关系，而只和线段的数目和它们之间的连接关系有关，比如一笔画问题就是如此。

一笔画问题是一个简单的数学游戏，即平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上都不重复？例如汉字‘日’和‘中’字都可以一笔画的，而‘田’和‘目’则不能。

编辑本段【一笔画问题的规律】
早在18世纪，瑞士的著名数学家欧拉就找到了一笔画的规律。

欧拉认为，能一笔画的图形必须是连通图。

连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的．但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。

能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。

数学家欧拉找到一笔画的规律是：
■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。

画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。

比如附图：（a）为（1）情况，因此可以一笔画成；（b）（c）（d）则没有符合以上两种情况，所以不能一笔画成。

■补充：相关名词的含义
◎顶点与指数：设一个平面图形是由有限个点及有限条弧组成的，这些点称为图形的顶点，从任一顶点引出的该图形的弧的条数，称为这个顶点的指数。

◎奇顶点：指数为奇数的顶点。

◎偶顶点：指数为偶数的顶点
编辑本段【一笔画问题规律的证明】
先定义能一笔画出并回到起点的图为欧拉图，连通就是说任意两个节点之间可以找到一条连接它们的线。

这个要求看来很重要，直观方法中与这一点对应的是说原图本身不能是分成多个的
■证明
设G为一欧拉图，那么G显然是连通的。

另一方面，由于G本身为一闭路径，它每经过一个顶点一次，便给这一顶点增加度数2，因而各顶点的度均为该路径经历此顶点的次数的两倍，从而均为偶数。

反之，设G连通，且每个顶点的度均为偶数，欲证G为一欧拉图。

为此，对G的边数归纳。

当m = 1时，G必定为单结点的环，显然这时G为欧拉图。

设边数少于m的连通图，在顶点度均为偶数时必为欧拉图，现考虑有m条边的图G。

设想从G的任一点出发，沿着边构画，使笔不离开图且不在构画过的边上重新构画。

由于每个顶点都是偶数度，笔在进入
一个结点后总能离开那个结点，除非笔回到了起点。

在笔回到起点时，它构画出一条闭路径，记为H。

从图G中删去H的所有边，所得图记为G’，G’未必连通，但其各顶点的度数仍均为偶数．考虑G的各连通分支，由于它们都连通，顶点度数均为偶数，而边数均小于m，因此据归纳假设，它们都是欧拉图。

此外，由于G连通，它们都与H共有一个或若干个公共顶点，因此，它们与H一起构成一个闭路径。

这就是说，G是一个欧拉图。

编辑本段【七桥问题与欧拉定理】
七桥问题和欧拉定理。

欧拉通过对七桥问题的研究，不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为欧拉定理。

对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。

人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。

具有欧拉回路的图叫做欧拉图。