伽利略斜面实验的分析

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图1 伽利略斜面实验
对上述伽利略斜面实验常见的解释[1～3，6]是：由于小球受 到摩擦的缘故；且推理道：若不受摩擦，小球不仅可上滚至相 同的高度，而且可沿水平面一直滚动下去．然而，小球究竟受 到的是什么摩擦——滑动摩擦、静摩擦、滚动摩擦，还是笼统 指三者？又见到对沿水平面无滑滚动时，小球不受静摩擦力的 定性讨论[4]；但沿导轨斜面下滚、上滚时，小球的能量转化问 题一般很少涉及．同时教学实际中，也见到不少教师仍沿用以 上笼统解释．
的初衷相背离，使问题复杂化，从而很难获得清楚的解释．因 此，建议在教学中宜采用质点模型的伽利略斜面实验；这就要 求运用现有的气垫导轨装置或较粗糙的小车、斜平面装置，或 有待新开发、设计的其它实验装置．
5gsin
7
（10）
f2

2mgsin
7
（11）
易见，静摩擦力 f的2 作用：一方面使小球质心的平动加速， 另一方面使小球绕其质心轴的转动减速．
若斜面2变为水平面，小球做无滑滚动，如图4所示；那么，
此时小球受静摩擦力 否？f 0 为此，只需令式（11）中
的 0 ，得
f0 0
（12）
由式（15）～（17）、（4），得
进而
vc
10 gh 7
12mvc2

5mgh 7
12Ic2

2mgh 7
（18） （19） （20）
式（19）、（20）表示了小球从静止开始沿斜面1质心下降高 h 时 的 平 动 动 能 和 转 动 动 能 的 量 值 ． 综 合 式 （ 15 ） 、 （ 16 ） 、 （19）、（20）可知：重力 mg的作用是使小球质心的平动动能 增大；而静摩擦力 f1 的作用一方面使小球质心的平动动能减小， 另一面使小球绕其质心轴的转动动能增加，且减小的量值与增 加的量值相等．因此，静摩擦力 不耗f1 损机械能，仅起把平动 动能转化成转动动能的作用．
3.2 能量分析
若从能量观（即能量法）分析，可清晰地看到小球的能量转
化．如图2所示，依刚体平面平行运动的能量方程（平动能量方
程、转动能量方程）、无滑滚动方程[7]，有
(msginf1)l1 2mc2v
f1

l

1 2
Ic2
vc r
（15） （16） （17）
其中 l hsin 为小球滚下高 h 时质心的位移．
4 结论
上述分析表明：正因为小球受到静摩擦力 f1 、f 2 的作用才 使小球沿斜面下滚、上滚；小球只受静摩擦力作用时，可上滚 至相同的高度．因此，笼统解释——小球不受摩擦时可上滚至 相同的高度显得不妥；笼统解释仅适用于小球沿水平面滚动的 情形．
然而，对上述真实的伽利略斜面实验，由于小球、斜面和 水平面不是理想的刚体，所以小球还受到一定的滚动摩擦力矩 的作用，从而使小球不再沿斜面上滚至原来的高度或沿水平面 一直滚动下去；同时伴随着机械能向内能的转化．
ac0 0
（13）
0 0
（14）
N0
x
y o mg
图4 小球沿水平面滚动时受力图
式（12）、（13）、（14）表明：小球沿水平面做无滑滚动时， 不受静摩擦力 的作f 0 用；小球的质心匀速平动（相对水平面— —惯性系），小球绕其质心轴匀速转动；即小球的运动状态 （平动、转动状态）保持不变．
伽利略斜面实验的分析
何述平
（西北师范大学 物理与电子工程学院，甘肃 兰州 730070）
摘 要：对伽利略斜面实验中的小球进行了较详细的力学 分析，指明了小球的受力、运动状态、能量转化，并澄清了相 关的模糊认识；同时提出了相应的教学建议．
关键词：伽利略斜面实验；力学分析；刚体；静摩擦；教 学建议；质点模型
x
msginf1mc1a （1）
r f1 Ic1
（2）
ac1 r1
Ic

2 5
mr 2
（3） （4）
oy
N1 f1
mg
图2 小球沿斜面下滚时受力图
其中 r为小球半径， I c 为转动惯量． 由式（1）～（4），得
ac1

5 7
gsin
（5）
f1

2mgsin
7
（6）
可见，静摩擦力 f1 的作用：一方面使小球质心的平动减速，
5 教学建议
一般，滚动摩擦远小于滑动摩擦；正因为如此，通常用小 球来做伽利略斜面实验；但在一定条件下，小球可以沿导轨斜 面做无滑滚动，这又不得不将小球视作刚体；而刚体的平面平 行运动的内容在基础物理教材中又不涉及或普通物理教材中又 未及时返回来探讨，这大概就是以上笼统解释的原因．
由上述分析知，只有运用刚体平面平行运动的动力学方程、 能量方程才可将伽利略斜面实验中小球的受力、运动状态、能 量转化清晰地明确；这与原本打算用质点模型来说明惯性定律
另一方面使小球绕其质心轴的转动加速．
同理，小球沿斜面2无滑上
滚，静摩擦力 f 2 ，坐标系o–xyz 系，如图3所示，则有
f2msginmc2a （7）
r f2 Ic2
ac2 r2
（8） （9）
x y
N2
o
f2
mg
图3 小球沿斜面上滚时受力图
由式（7）～（9）、（4），得
ac2
1 引言
伽利略斜面实验是普通物理学中的一个重要理想实验，由 于教材体系、学生知识水平的缘故，均对其进行定性分析，以 至于小球的受力、运动状态、能量转化不甚清晰，有必要对其 进行定量分析而加以明确，并澄清相关的模糊认识．本文就此 做些探讨，同时提出相应的教学建议．
2 伽利略斜面实验
伽利略斜面实验[1～3，6]如图1所示，小球沿导轨斜面1，从 某高度处静止开始下滚，经导轨最低处，沿导轨斜面2上滚至略 小于原高度处而速度为零 ；然后，再下滚、上滚，如此循环； 但每次上滚的高度均略小于下滚时的高度．
3 力学分析
3.1 动力学分析
小球沿斜面1下滚，小球、斜面视作刚体；小球与斜面间的
最大静摩擦因数 ≥ 2 tan 时，小球沿斜面做无滑滚动[6]；此时
7
小球受重力 mg、支持力N 1 、静摩擦力f1 ，如图2所示；建立坐 标系o–xyz系，依刚体平面平行运动的动力学方程、无滑滚动方
程[5～8]，有
同理，对小球沿斜面2上滚，即图3所示情形．可知：小球 沿斜面2可上滚到相同的高度；重力 mg 的作用是使小球质心的 平动动能减小，静摩擦力 f 2 的作用是使小球绕其质心轴的转动 动能转化成小球质心的平动动能．
对小球沿水平面做无滑滚动，即图4所示情形．因不受静 摩擦力f 0 的作用，故小球的平动动能和转动动能不再相互转化， 而各自保持不变．