高考三角函数复习专题

三角函数复习专题

一、核心知识点归纳：

★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sin y x =

cos y x = tan y x =

图象

定义域

R R

,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最值

当22

x k π

π=+

()

k ∈Z 时，max 1y =；

当22

x k π

π=-

()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，

max 1y =；

当2x k ππ=+

()k ∈Z 时，min 1y =-．

既无最大值也无最小值

周期性 2π

2π

π

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在2,22

2k k π

πππ⎡

⎤

-

+

⎢⎥⎣

⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在

32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣

⎦ ()k ∈Z 上是减函数．

在[]()

2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在

[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．

在,2

2k k π

πππ⎛

⎫

-

+

⎪⎝

⎭

()k ∈Z 上是增函数．

对称性

对称中心()(),0k k π∈Z

对称轴

()2

x k k π

π=+

∈Z

对称中心

(),02k k ππ⎛

⎫+∈Z

⎪⎝

⎭ 对称中心

(),02k k π⎛⎫

∈Z ⎪⎝⎭

无对称轴

函 数 性 质

★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===（R 为ABC ∆外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧

=⎪⎪

⎪

=⎨

⎪

⎪

=⎪⎩

注意变形应用 ②面积公式：111

sin sin sin 222

ABC S abs C ac B bc A ∆=

== ③余弦定理： 222222

2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C

⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222

222222

cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪

+-⎪=⎨⎪⎪+-=

⎪⎩

三、例题集锦：

考点一：三角函数的概念

1.如图，设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点，Q P 、是 单位圆上的两点，O 是坐标原点，6

π

=∠AOP ，

[)παα,0,∈=∠AOQ ．

（1）若3

4

(,)55

Q ，求⎪⎭

⎫

⎝

⎛-

6cos πα的值；

（2）设函数()f OP OQ α=⋅，求()αf 的值域． 2．已知函数2

()22sin f x x x =-.（Ⅰ）若点(1,P

在角α的终边上，求()f α的值； （Ⅱ）若[,

]63x ππ

∈-，求()f x 的值域.

考点二：三角函数的图象和性质

3.函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A ωφωφπ

=+>><

部分图象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大

值和最小值．

考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换 4．已知函数x x x f 2cos )6

2sin()(+-

=π

.（1）若1)(=θf ，求θθcos sin ⋅的值；

（2）求函数)(x f 的单调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心 5.已知函数2

()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=- （0x ω∈>R ，），相邻两条对称轴之间的距离等于

2π．（Ⅰ）求()4

f π

的值；（Ⅱ）当 02x π⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，时，求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值．

6、已知函数2()2sin sin(

)2sin 12

f x x x x π

=⋅+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；

（Ⅱ）若0(

)23x f =，0ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值.

7、已知πsin()4A +

=，ππ(,)42

A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求函数5

()cos 2sin sin 2

f x x A x =+

的值域． 考点六：解三角形

8．已知△ABC 中，2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）设向量(cos , cos 2)A A =m ，12

(, 1)5

=-n ，求当⋅m n 取最 小值时，)4

tan(π

-

A 值.

9．已知函数2

3

cos sin sin 3)(2-

+=

x x x x f ()R x ∈． （Ⅰ）求)4

(πf 的值；（Ⅱ）若)2

,

0(π

∈x ，求)(x f 的最大值；（Ⅲ）在ABC ∆中，若B A <，

2

1)()(=

=B f A f ，求AB BC

的值．

10、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足

2cos cos c b B

a A

-=． （Ⅰ）