2020高三数学理期中考试试卷及答案

福州三中
2020—2020学年度高三上学期期中考试 数学（理）试题
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、考生号码（31103XXXX ，XXXX 为班级+座号）、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束，监考人将答题卡收回。

第I 卷（选择题共50分）
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A=122x x ⎧⎫
-<<⎨⎬⎩⎭
,B={}
21x x ≤，则A∪B=
（ ）
A ．{}12x x ≤<
B ．112x x ⎧⎫
-<≤⎨⎬⎩⎭
C ．{}2x x <
D ．{}12x x -≤<
2．已知4
sin 2
5
θ
=
，则cos θ的值为 （ ）
A ．
25
7 B ．725
-
C ．
5
4
D ．45
-
3．等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ⋅等于
（ ）
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32 4．下列命题中的假命题．．．是
（ ）
A ．,lg 0x R x ∃∈=
B ．,tan 1x R x ∃∈=
C ．3,0x R x ∀∈>
D ．,20x x R ∀∈>
5．已知α∈（2π,π），sin α=35，则tan （4
πα+）等于
（ ）
A ．1
7
B ．7
C ．－1
7
D ．－7
6．m 、n 表示直线，γβα,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为
（ ）
（1）βααβα⊥⊥⊂=则,,,m n n m （2）m n n m ⊥==⊥则,,,γβγαβα （3）αγβγαβα⊥=⊥⊥m m 则,,, （4）βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,n m n m A ．（1）、（2）
B ．（3）、（4）
C ．（2）、（3）
D ．（2）、（4）
7．将函数3sin()y x θ=-的图象F 按向量(,3)3
π
平移得到图象F′,若F′的一条对称
轴是直线4
x π
=，则θ的一个可能取值是
（ ） A ．
5
12
π B
．
512
π-
C ．
11
12
π D ．1112
π-
8．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈)(x f B x A ++=)sin(ϕω
0,0,||2A πωϕ⎛
⎫>>< ⎪⎝⎭的模型波动（x 为月份）
，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定()f x 的解析式为 （ ）
A ．()2sin()744f x x ππ
=++(112,)x x N *≤≤∈
B ．()9sin()44f x x ππ
=-(112,)x x N *≤≤∈ C ．()22sin
74
f x x π
=+(112,)x x N *≤≤∈
D ．()2sin()744
f x x ππ
=-+(112,)x x N *≤≤∈ 9．如图，圆O 的内接“五角星”与圆O 交与),5,4,3,2,1(=i A i 点，记弧1i i A A +在圆O 中所对的圆心角为),4,3,2,1(=i a i ，弧51A A 所对的圆心角为5a ，则
425312sin 3sin )cos(3cos a a a a a -+=
（ ）
A ．2
3- B ．2
1-
C ．0
D ．1
10．已知函数()y f x =和()y g x =在[2,2]-的图象如下所示()y f x = ()y g x =给出下
列四个命题：（1）方程[()]06f g x =有且仅有个根； （2）方程
[()]03g f x =有且仅有个根；（3）方程[()]05f f x =有且仅有个根； （4）方程[()]04g g x =有且仅有个根．其中正确的命题个数
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第II 卷（非选择题共100分）
填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．21
e
dx x
⎰
= ． 12．已知向量(3,1),(1,3),(,2)a b c k ===，若()a c b -⊥，则实数k =____________．
13．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合．直
线l 的极坐标方程为22
)4
sin(=
+
π
θρ，圆C 的参数方程为2cos 2sin 2
x y θθ=⎧⎨=+⎩（参数[)02θ∈π，）
，则圆心C 到直线l 的距离等于 ． 14．过双曲线22
221x y a b
-=的左焦点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两
点，且双曲线的右顶点A 满足MA NA ⊥，则双曲线的离心率等于 ． 15．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]208.1,3-=-=π，定义函数
{}[]x x x -=．那么下列命题中正确的序号是___________．①函数{}x 的定义域
为R ，值域为[]1,0． ②方程{}2
1
=
x 有无数多个解．③函数{}x 是周期函数． ④函数{}x 是增函数． 三、
解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．
16．本题（1）、（2）两个必答题，每小题7分，满分14分．（1）（本小题满分7分） 已知,,x y z 为正实数，且
111
1x y z
++=，求49x y z ++的最小值及取得最小值时,,x y z 的值．（2）（本小题满分7分）已知矩阵33A c d ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，若矩阵A 属于特征值
6的一个特征向量为111a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，属于特征值1的一个特征向量为232a ⎛⎫
= ⎪-⎝⎭，求矩
阵A ．
17．（本小题满分13分）已知)(x f x x 2cos 222sin 3++=．（1）求)(x f 的最小正
周期与单调递减区间；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A B C 、、的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为2
3
，求a 的值．
18．（本小题满分13分）迎世博，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相
等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为260000cm ，四周空白的宽度为
10cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm），能使整个矩形广告面积最小．（单位：cm）
19．（本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1
-分．现从盒内一次性取3个球．（1）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（2）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望．
20．（本小题满分13分）设椭圆C:
22
22
1
x y
a b
+=(,0)
a b>的左、右焦点分别为
12
,
F F，
若P 是椭圆上的一点，124PF PF +=，离心率12
e =
．（1）求椭圆C 的方程；（2）若P 是第一象限内该椭圆上的一点，125
4
PF PF ⋅=-，求点P 的坐标；（3）设过定点
(0,2)P 的直线与椭圆交于不同的两点,A B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．
21．（本小题满分14分）已知函数21()ln ,().2f x x g x ax bx ==
+（1）当1
2
a b ==时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若2()()()b h x f x g x ==-且存在单调递减区间，求a 的取值范围；（3）当0a ≠时，设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，则是否存在点R ，使C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行？如果存在，请求出R 的横坐标，如果不存在，请说明理由．。