土力学第二章

2.有效应力原理
饱和土体所承受的总应力为有效应力和孔隙水压 力之和，即
源自文库
或
σ =σ′+u σ′ =σ −u
应用：土的变形和强度取决于其有效应力而不是 总应力。
A点的竖向总应力 A点的孔隙水压力 A点的有效应力
σ = γ w h1 + γ sat h2
u = γ w (h1 + h2 )
σ ′ = σ − u = γ w h1 + γ sat h2 − γ w (h1 + h2 ) = (γ sat − γ w )h2 = γ ' h2
l 1.0 = = 1.0 b 1.0
z 1 .0 = = 1 .0 b 1 .0
α c = 0.1752
σ zE = 2α c p = 2 × 0.1752 ×100 ≈ 35kPa
（3）计算O点下的应力 对矩形OEAJ l 1.0 z 1.0 = = 2.0 = = 2.0 b 0.5 b 0.5
地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外， 地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外， 在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。 在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。由于 沿任一水平面上均匀地无限分布， 沿任一水平面上均匀地无限分布，所以地基土在自 重作用下只能产生竖向变形， 重作用下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形和 剪切变形。 剪切变形。
4. 地基中的附加应力
• 基本假设 地基假设为:弹性、均质、 各向同性的半无限体。 （1）地表受竖向集中力作用 • 地基中附加应力扩散 随深度、水平距离的增加而 衰减。
• 地基应力的弹性解 由法国学者布辛尼斯克1885年解出。可得出 全部3个位移分量 u x、u y、u z 及6个应力分量
σ x、σ y、σ z、τ xy、τ zx、τ yz 的表达式
α c = 0.1202
σ zO = 4α c p = 4 × 0.1202 ×100 ≈ 48.1kPa
（4）计算F点下的应力 对矩形FGAJ
l 2.5 = = 5.0 b 0.5
z 1.0 = = 2.0 b 0.5
α cI = 0.1363
对矩形FGBK
l 0.5 = = 1.0 b 0.5
σ cx = σ cy = K 0σ cz
τ xy = τ yz = τ xz = 0
必须指出， 必须指出，只有通过土粒接触点传递的粒间 应力，才能使土粒彼此挤紧， 应力，才能使土粒彼此挤紧，从而引起土体的变 形，而且粒间应力又是影响土体强度的—个重要 而且粒间应力又是影响土体强度的 个重要 因素，所以粒间应力又称为有效应力。因此， 因素，所以粒间应力又称为有效应力。因此，土 中自重应力可定义为土自身有效重力在土体中引 起的应力。 起的应力。土中竖向和侧向的自重应力一般均指 有效自重应力。 有效自重应力。 以后各章节中把常用的竖向有效自重应 简称为自重应力， 力 σ cz ，简称为自重应力，并改用符号 σ z 表 示。
第二章 地基中的应力
2-1 概述 一、土的自重应力与地基附加应力概念
• 由土的自重在地基内产生的应力称为自重 应力； • 由建筑物或其他外荷载（如车辆、堆放在 地面上的材料重量等）在地基内产生的应 力称为附加应力。
二、土的应力应变关系
1.土体中的应力 1.土体中的应力
• 6个独立的应力分量
σ x、σ y、σ z、τ xy = τ yx、τ xz = τ zx、τ yz = τ zy
（3）矩形面积三角形分布荷载
n m mn 2 σz = [ 2 − ] pt 2 2π m + n (1 + n 2 ) 1 + m 2 + n 2 = α tc (m, n) ⋅ pt
式中 m =
n=
l b z b
（4）条形面积荷载
• 矩形基础底面的长宽比 l b ≥ 10 时称为条形基础， 所产生的荷载为条形面积荷载。 均匀分布 三角形分布
α cI = 0.2016
对矩形GBCH
l 1.0 = = 2.0 b 0.5
z 1.0 = = 2.0 b 0.5
α cII = 0.1202
σ zG = (α cI − α cII ) p
= (0.2016 − 0.1202) ×100 ≈ 8.1kPa
（6）分布规律
• 外荷载不是仅在受荷面积下方范围内的土中产 生应力，而在整个地基中产生应力。 • 在同一深度，距荷载越远，附加应力越小。 • 地基中的附加应力通常随深度的增大而减小。
F、G点下深1m处的附加应力。并利用计算结果说 明附加应力的扩散规律。 解： （1）计算A点下的应力 1 A
l 2.0 = = 2.0 b 1. 0
z 1 .0 = = 1 .0 b 1 .0
α c = 0.1999
σ zA = α c p = 0.1999 ×100 ≈ 20kPa
（2）计算E点下的应力 对矩形EADI
一、地基中的应力
1. 土层自重应力
均质、半无限弹性体理论解
σ cz
σ cx
σ cz = γ z σ cx = σ cy = K 0σ cz τ xy = τ yz = τ xz = 0
多层土时
σ cz = γ 1h1 + γ 2 h2 + ⋅ ⋅ ⋅ + γ n hn
= ∑ γ i hi
i =1 n
（2）工程简化算法 N +G p= 中心荷载 A
偏心荷载
pmax
min
N +G M N +G 6e = ± = (1 ± ) A W A b
1 2 W：抵抗矩，矩形的 W = b l 6
3. 基础底面附加压力
p0 = p − σ cd = p − γ m d
式中： p — 基底平均压力， kPa； σcd — 基底处的自重应力，kPa; γm — 基底标高以上天然土层的加权平均重 度， γ m = σ cd / d = (γ 1h1 + γ 2 h2 + L) / d , kN/m3 其中地下水位下的重度取有效重度； d — 基础埋深，m ，必须从天然地面算起，新 填土场则应从老天然地面起算。
σ z = α ( x / b, z / b ) ⋅ p
s z
σ z = α ( x / b, z / b ) ⋅ p
s t
• 条形荷载下的地基附加应力 设在地基表面上作用有无限长及条形荷载， 设在地基表面上作用有无限长及条形荷载，且荷 载沿宽度可按任何形式分布， 载沿宽度可按任何形式分布，但沿长度方向则不 此时地基中产生的应力状态属于平面问题。 变，此时地基中产生的应力状态属于平面问题。 在工程建筑中，当然没有无限长的受荷面积， 在工程建筑中，当然没有无限长的受荷面积，不 当荷载面积的长宽比l/b≥10时，计算的地基 过，当荷载面积的长宽比 时 时的解相比误差甚少。 附加应力值与按 l b = ∞ 时的解相比误差甚少。 因此，对于条形基础，如墙基、挡土墙基础、 因此，对于条形基础，如墙基、挡土墙基础、路 基、坝基等，常可按平面问题考虑。 坝基等，常可按平面问题考虑。
式中 m =
l b
z n= b
• 任意点下的应力——角点法
σ z = (α cI + α cII ) p σ z = (α cI + α cII + α cIII + α cIV ) p σ z = (α cI + α cII − α cIII − α cIV ) p
例1 图示矩形均布荷载，试分别计算点A、E、O、
z 1.0 = = 2.0 b 0.5
α cII = 0.084
σ zF = 2(α cI − α cII ) p
= 2 × (0.1363 − 0.084) ×100 ≈ 10.5kPa
（5）计算G点下的应力 对矩形GADH
l 2.5 = = 2.5 b 1.0
z 1.0 = = 1.0 b 1.0
P 3 σz = 2 ⋅ z 2π [1 + (r / z ) 2 ]5/ 2 P = 2 ⋅α (r / z ) z
α可由r/z的值查表确定。
（2）矩形面积均布荷载
• 角点下的应力
3 pz 3dxdy dσ z = 2π ( x 2 + y 2 + z 2 ) 5/2
3 pz 3 l b dxdy σz = 2π ∫0 ∫0 (x 2 + y 2 + z 2 )5/2 p m mn 1 1 = + ⋅( 2 + [arctan )] 2 2 2 2 2 2 2π m + n 1+ n n 1+ m + n n 1+ m + n = α c (m, n) ⋅ p
• 正负号规定 绝大多数情况下，土都是承受压应力，故计算 中规定以压为正。剪应力则以逆时针方向为正。
2.土为碎散性材料 2.土为碎散性材料，但由于连续体介质力学
的理论较散体力学的理论更为成熟，故常将土体 作为连续体计算。
三、有效应力原理
1.土中两种应力的试验
（1）由钢球施加的应力，通 过砂土的骨架传递，称为有效应 力。有效应力使土层发生压缩变 形，使土的强度发生变化。 （2）由水施加的应力，通过孔隙水的传递，称为 孔隙水压力。孔隙水压力不能使土层发生压缩变形。
2. 基础底面接触压力 （1）实测资料
• 影响基底压力分布的因素 基础与地基的相对刚度、荷载的大小及分布、 基础埋深、地基土的性质 • 柔性基础和刚性基础 柔性基础：本身刚度很小而 无抵抗变形的能力，如土坝、路 基等。其基底压力分布与其上部 荷载的分布情况相同。
刚性基础：基础刚度远大 于土的刚度，自身变形可忽略 不计。
2—2 土中自重应力
在计算土中自重应力时， 在计算土中自重应力时，假设天然地面是一个 无限大的水平面， 无限大的水平面，因而在任意竖直面和水平面上均 无剪应力存在。 无剪应力存在。可取作用于该水平面上任一单位面 积的土柱体自重计算( 2)， 积的土柱体自重计算(图2—2)，即： 2)
σ cz = γ z
水下时通常 取浮容重
地基土往往是成层的，成层土自重应力的计算公式： 地基土往往是成层的，成层土自重应力的计算公式：
σ c = ∑ γ i hi
i =1
n
自然界中的天然土层， 自然界中的天然土层，一般形成至今已有 很长的地质年代， 很长的地质年代，它在自重作用下的变形早 巳稳定。但对于近期沉积或堆积的土层， 巳稳定。但对于近期沉积或堆积的土层，应 考虑它在自应力作用下的变形。此外， 考虑它在自应力作用下的变形。此外，地下 水位的升降会引起土中自重应力的变化( 水位的升降会引起土中自重应力的变化(图 4)。 2—4)。 4)