2.3.4平面与平面垂直的性质PPT教学课件
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2.3.4平面与平面的垂直的性质
性质
若两个平面垂直,则在一个平面内 性质定理：
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
在β内作直线BE⊥CD于B, 则∠ABE是二面角α-CD-β 的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE ∴AB⊥β
A
D C B
E
又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
举例
例： 已知
l , , ,
判定定理 判定定理
线线垂直
定义
线面垂直
性质定理
面面垂直
作业 1. 求证：两条异面直线不能同时
和一个平面垂直；
2. 求证：三个两两垂直的平面的 交线两两垂直.
平面与平面 垂直的性质
先直观感受平面与平面 垂直的情形
复习
1.定义：两个平面相交，如果它们所成 的二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质:
1.凡是直二面角都相等； 2.两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一 个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角.
复习
若一个平面经过另一个平面 2.判定定理： 的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
D
A垂直
思考
(1) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能 否在黑板上画一条直线与地面垂直? (2) 如图,长方体中, 平面A1ADD1与平面 ABCD垂直,直线A1A A1 垂直于其交线AD,平 面A1ADD1内的直线 A A1A与平面ABCD垂 直吗？ D1 B1 D B C C1
求证： l
l
m
n
a
b P
证明：在平面 a m，b n
直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课件
直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____平__行_____
符号语言
a⊥α b⊥α ⇒___a_∥__b______
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则_一__个__平___面__内__垂直于__交__线___的直 线与另一个平面___垂__直____
所以四边形 AMNO 为平行四边形． 所以 ON＝AM． 因为 ON＝12AB， 所以 AM＝12DC＝12AB． 所以 M 是 AB 的中点．
证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平 行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂 直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平 行．
(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN， 则 MN∥EC，且 MN＝12EC． 因为 EC∥BD，BD＝12EC， 所以 MN∥═BD， 所以 N 点在平面 BDM 内． 因为 EC⊥平面 ABC， 所以 EC⊥BN．
又 CA⊥BN，所以 BN⊥平面 ECA． 因为 BN 在平面 MNBD 内， 所以平面 MNBD⊥平面 ECA， 即平面 BDM⊥平面 ECA． (3)由第二问易知 DM∥BN，BN⊥平面 CAE， 所以 DM⊥平面 ECA． 又 DM⊂平面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 ECA．
如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC ＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在直线____________上．
1．直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线_____平__行_____
符号语言
a⊥α b⊥α ⇒___a_∥__b______
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行 ②作平行线
2．平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则_一__个__平___面__内__垂直于__交__线___的直 线与另一个平面___垂__直____
所以四边形 AMNO 为平行四边形． 所以 ON＝AM． 因为 ON＝12AB， 所以 AM＝12DC＝12AB． 所以 M 是 AB 的中点．
证明线线平行的常用方法 (1)利用线线平行定义：证共面且无公共点． (2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线． (3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平 行． (4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂 直． (5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平 行．
(2)取 CA 的中点 N，连接 MN，BN， 则 MN∥EC，且 MN＝12EC． 因为 EC∥BD，BD＝12EC， 所以 MN∥═BD， 所以 N 点在平面 BDM 内． 因为 EC⊥平面 ABC， 所以 EC⊥BN．
又 CA⊥BN，所以 BN⊥平面 ECA． 因为 BN 在平面 MNBD 内， 所以平面 MNBD⊥平面 ECA， 即平面 BDM⊥平面 ECA． (3)由第二问易知 DM∥BN，BN⊥平面 CAE， 所以 DM⊥平面 ECA． 又 DM⊂平面 DEA， 所以平面 DEA⊥平面 ECA．
如图所示，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC ＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在直线____________上．
《平面和平面垂直的性质》课件
D
D
折成
A
O
C A O B C
B
10
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
P
A E B C
D
7
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB α， AB⊥l， BC ，DE ，BC⊥DE. β β 求证：AC⊥DE. A
B D C E
8
l
2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
P
A
C
B
9
3.如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕， 使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD 与平面ABC所成的角。
一个平面的有哪些位 符号表示： 置关系?
b
l
Ⅱ.概括结论
l bl
b 该命题正确吗？ 简述为： b b b
面面垂直 线面垂直
4
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩
β＝l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
1
2，
（1）判断平面ACC’A’与平面ABCD的位置关系 （2）MN在平面ACC’A’内，MN⊥AC于M，判断 MN与AB的位置关系。 D’ A’ D A N B’ C
D
折成
A
O
C A O B C
B
10
练习2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， A ∴AE⊥平面PBC ∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB B
P
A E B C
D
7
1、如图,α⊥β,α∩β=l，AB α， AB⊥l， BC ，DE ，BC⊥DE. β β 求证：AC⊥DE. A
B D C E
8
l
2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
P
A
C
B
9
3.如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕， 使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD 与平面ABC所成的角。
一个平面的有哪些位 符号表示： 置关系?
b
l
Ⅱ.概括结论
l bl
b 该命题正确吗？ 简述为： b b b
面面垂直 线面垂直
4
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
已知平面α⊥平面β,α∩
β＝l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
1
2，
（1）判断平面ACC’A’与平面ABCD的位置关系 （2）MN在平面ACC’A’内，MN⊥AC于M，判断 MN与AB的位置关系。 D’ A’ D A N B’ C
直线、平面垂直的判定及其性质 课件
α
β
思考3:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平面ABCD垂直， 其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1内，且都与交线AD垂直，
这两条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
思考4:一般地， , CD AB , AB CD
,垂足为B，那么直线AB与平面 的位置关系如何？为什么？
α
A
B β
思考2:上述分析表明：如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面 内一点且垂直于另一个平面的直线，必在这个平面内.该性质在实 际应用中有何理论作用？
α A
B β
思考3:对于三个平面α、β、γ，如果α⊥γ，β⊥γ， I l ，
那么直线l与平面γ的位置关系如何？为什么？
β l
α
a
b
γ
归纳整理，整体认识
2.3.4平面与平面垂直的性质
人教A版高中数学必修二第二章
学习目标
（1）掌握平面与平面垂直的 性质定理； （2）能运用平面与平面垂直 的性质定理解决一些简单问 题； （3）总结线线、线面、面面 之间的转化关系.
问题提出
创设情景，揭示课题
1.平面与平面垂直的定义是什么？如何判定平面与平面垂直？
定义和判定定理
β ED
α
BA
思考5:据上分析可得什么定理？试直，则在一个平面内垂直交线的直线与 另一个平面垂直.
l , I m,l m l .
质疑答辩，排难解惑，发展思维
l 例1 如图，已知α⊥β，l⊥β， ，试判断直线l与平面α的位置关系，并说明理由.
α a
β
l m
线面垂直、面面垂直的性质定理ppt课件
我们说直线 l 与平面 互相垂直。
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
精选
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
精选
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. 精选
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
一条直线与一个平面内的 两条相交线都垂直，则该 直线与此平面垂直．
线面垂直则线线垂直. 线线垂直则线面垂直.
精选
(1)长方体ABCDA'B'C'D'中,棱AA',BB', CC',DD'所在直线与平面ABCD的位置关 系怎样?它们之间又具有什么位置关系?
D'
A'
C'
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C P
是圆周上不同于A，B的任意一
点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC
又∵平面PAC⊥平面ABC，平面
C
PAC∩平面ABC＝AC,BC 平
面ABC ∴BC⊥平面PAC
A
O
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
精选
例2：如图，已知PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB
和∵αa的⊥交α点, 为o,则可过o作 b’∥a ∴b’⊥α.
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的， ∴a∥b. 精选
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法：
找二面角的平面角
说明该平面角是直角。
2、判定定理：
要证两平面垂直，只要在其中一个平面内 找到另一个平面的一条垂线。
（线面垂直面面垂直）
证明：过点A作AE⊥PB，垂足 P 为E，
∵平面PAB⊥平面PBC，
平面PAB∩平面PBC=PB，
∴AE⊥平面PBC
A
C
∵BC 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC
B
∴PA⊥BC
∵PA∩AE=A，∴BC⊥平面PAB
人教版高一数学《2.3.4平面与平面垂直的性质》课件
2.长方体ABCD-A1B1C1D1中，平面A1ADD1与 平面ABCD垂直，平面A1ADD1内的直线A1A 与平面ABCD垂直吗?
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
平面与平面垂直的性质定理
1. 两视个察平实面验垂直,则一
个平面视内察垂两直垂于直交平线面的直
线中与,另一个一平个面平内面的垂直直线.
l
与符另号一表个示平：面的有哪
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a
的菱形．侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
分析：①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
巩固提升:
1. 如图,已知平面 , , ，直线a满足
a , a ,试判断直线a与平面 的位置关系。
解:在 内作垂直于 与 交线的直线b,
因为 ,所以 b .
因为 a ,所以 a // b . 又因为 a ,所以a // .
a
b
即直线a与平面 平行
变式1 如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB， CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.
求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β， CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α. 又∵EF⊂α，∴CD⊥EF. 又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC. 又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE. 又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面 DCE.
(2) 当 F 为 PC 的 中 点 时 ， 满 足 平 面 DEF⊥ 平 面 ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
平面与平面垂直的性质定理
1. 两视个察平实面验垂直,则一
个平面视内察垂两直垂于直交平线面的直
线中与,另一个一平个面平内面的垂直直线.
l
与符另号一表个示平：面的有哪
例1 如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，
ABCD是∠DAB＝60°且边长为a
的菱形．侧面PAD为正三角形，
其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证： BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
分析：①ABCD是边长为a的菱形；
②面PAD⊥面ABCD.
解答本题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
巩固提升:
1. 如图,已知平面 , , ，直线a满足
a , a ,试判断直线a与平面 的位置关系。
解:在 内作垂直于 与 交线的直线b,
因为 ,所以 b .
因为 a ,所以 a // b . 又因为 a ,所以a // .
a
b
即直线a与平面 平行
变式1 如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB， CE、EF⊂α，∠FEC＝90°.
求证：面EFD⊥面DCE.
证明：∵α⊥β，CD⊂β， CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α. 又∵EF⊂α，∴CD⊥EF. 又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC. 又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE. 又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面 DCE.
(2) 当 F 为 PC 的 中 点 时 ， 满 足 平 面 DEF⊥ 平 面 ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，
直线与平面垂直的性质-PPT课件
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
解析：②、④是真命题．
练习2．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则 这条直线和另一个平面的位置关系是__相__交__、__平__行__、__在__平__面__内__．
例2 如图，已知α∩β=l,EA⊥α于点
A,EB⊥β于点B, a α, a⊥AB.
作业布置:
习题2.3 A组第5题 B组第3题
A1
B1
E
D
C
A
F
B
情景导入
若在两个平面互相垂直的条件下，又会得 出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一 条与地面垂直的直线？
平面与平面垂直的性质定理
两观个察平实面验垂直,则一个平
面观内察垂两垂直直于平交面线中的,一直线 与个另平一面内个的平直面线垂与直另.
l
一符个号平表面示的：有哪些位
b
置关系?
练习3 如图： , l, AB , AB l, BC , DE , BC DE.求证：AC DE
A
B
l
D
C
E
练习4.空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都 为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内 找一点，使AE⊥面BCD,并说明理由
解：在ΔABD中，∵AB=AD,取BD的中点 E， 连结AE，则AE为BD的中线 ∴又A∵E面⊥BBCDD∩面ABD=BD,
2.3.3-2.3.4
直线与平面、平面与平面垂直的性质
情景导入
问题：若一条直线与一个平面垂直，则 可得到什么结论？若两条直线与同一个 平面垂直呢？
知识探究：直线与平面垂直的性质定理
如图，长方体ABCD-A‘B’C‘D’中，棱AA‘、BB’、 CC'、DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间 是有什么位置关系？
人教版高中数学必修二.线面垂直、面面垂直的性质定理教学课件 共18张PP
1、线面垂直的性质：面面垂直的性质：
2、会利用“转化思想”解决垂直问题
β A
B
线面垂直 α a
面面垂直
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
线线平行 3、用条件想性质： 证结果想判定：
4、如何举反例？满足条件的线、面 转动
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
四.知识应用
1、判断下列命题是否正确：正确的是：①④ ①平行于同一条直线的两条直线互相平行;
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;
③平行于同一个平面的两条直线互相平行；
④垂直于同一个平面的两条直线互相平行.
2、a,b表示线, 表示面，正确的是 (3)(4)
(1)a ,ab,则 b/ / (2)a/ /,a b,则 b
证明：假设 a与b不平行.记直线b
和α的交点为o,则可过o作 b’∥a
a
b b’ ∵a⊥α,
α
o
∴b’⊥α.
反证法
∴过点o的两条直线 b和b’都 垂直平面α，这是不可能的，
∴a∥b.
线面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言? a ,b a//bBiblioteka 简述： 线面垂直 如何证明？
线线平行
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
人教版高中数学必修二2.3.3-2.3.4线 面垂直 、面面 垂直的 性质定 理教学 课件 共18张PP
•
1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.
平面与平面垂直的性质定理-PPT课件
OE⊥面ABCD，推出面EDB⊥面ABCD.
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
[证明] 设 AC∩BD＝O，连接 EO，则 EO∥PC. ∵PC＝CD＝a，PD＝ 2a， ∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面 PCD⊥平面 ABCD，CD 为交线，
∴PC⊥平面 ABCD，
∴EO⊥平面 ABCD.
又 EO 平面 EDB，
故有平面 EDB⊥平面 ABCD.
所以 AE 平面PCD 又 PD 平面PCD, PD AE;
因为 AB AE A,所以 PD 平面 ABE.
例1: 在四棱锥P ABCD中，PA 底面ABCD，AB AD， AC CD，ABC 60，PA AB BC，E是PC的中点。
证明: (1)CD AE; (2)PD 平面ABE; (3)平面PCD 平面ABE.
平面与平面垂直的性质定理
平面与平面垂直的性质定理
【教学目标】
1.探究平面与平面垂直的性质定理，进一步培养学生的空间想 象能力. 2.面面垂直的性质定理的应用，培养学生的推理能力. 3.通过平面与平面垂直的性质定理的学习,培养学生转化的思想. 【重点难点】
教学重点:平面与平面垂直的性质定理. 教学难点:平面与平面性质定理的应用. 【课时安排】1课时
（3）因为 PD 平面 PCD 所以平面 PCD 平面 ABE
变式：（课本P41）在空间四边形 SABC 中，SO 平面 ABC ，
O 为 ABC的垂心.求证：平面 SOC 平面 SAB
【证明】 延长 CO 交 AB于 D ，连接 SD
因为 O 为 ABC 的垂心，所以 CD AB
因为 SO 平面 ABC,
平面PAD 平面ABCD AD,
且AB AD, 所以 AB 平面PAD
又PD 平面PAD, 所以 PD AB;
平面与平面垂直的判定课件
ABCD⊥平面BDD1B1.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
证明:因为BB1⊥AB,BB1⊥BC,AB∩BC=B,
所以BB1⊥平面ABCD.又BB1⊂平面BDD1B1,
所以平面ABCD⊥平面BDD1B1.
1.理解二面角及其平面角
剖析:(1)二面角是一个空间图形,而二面角的平面角是平面图形,
二面角的大小通过其平面角的大小来刻画,体现了由空间图形向平
平面角.
答案:∠A1AD(或∠B1BC)
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说
这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直,记作α⊥β.
(2)画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平
平面的横边垂直.如图所示.
(3)判定定理
文字
语言
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面
证明(方法一)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
因为AD=DB,所以DO⊥AB.
又△ABD≌△ABC,
1
所以 OD=OC=2AB.
又△ABC 是等腰直角三角形,
2
2
所以 OC= 2 AC.又 CD=AC,所以 OC= 2 CD,
所以OD2+OC2=2OC2=CD2,所以DO⊥OC.
又AB⊂平面ABC,OC⊂平面ABC,AB∩OC=O,
垂直
图形
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
名师点拨 平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
平面与平面垂直的判定定理和性质定理 PPT课件 人教版
例2、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足，AB为 O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。
1) 求证：平面PAC平面PBC；
证明：
AB是圆O的直径 C是圆周上异于A、B的一点
BC
AC
PBAC平 平面 面AABBCC BC PA
AC平面PA C平 ，面 PAPA
A CP AA
BBCC平 平面 面PPBA CC平面A平 C 面P
退出
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结
已知：平面 ⊥平面β，平面 ∩平面β=CD， A平面 ， AB⊥CD且AB交CD于B。
求证：直线AB⊥平面β。 证明：在平面β内过B点作BE⊥CD，
作业
α
AB CD BE CD
的A平B面E角是二面 αC角 Dββ αABE90。
2) 若PA=AB=a, AC36a，求二 P面 BC角 的小 A大。
P A P B a , 在 RtPA中 B A ，E 2a,
PAa,AC 6a,
2
EE FF
3
在 RtPA中 CP ，C
15a,
3
AFPA•AC 10a,
PC 5
在 RA t E 中 F si， nAEF AF 25。
AE5
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
退出
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）
引入 判定定理 性质定理 课后思考 应用 小结 作业
建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴， 那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗？
平面与平面垂直ppt课件
如图所示，因为 ⊥ 平面 ， ⊂ 平面 ，所以 C⊥ ，
又 △ 为等边三角形，所以 C⊥ ，
又 , ⊂ 平面 ， ∩= ，所以 C⊥ 平面 .
又在 △ 中， , 分别为 , 的中点，所以 =1/2 ，
又平面 ⊥ 平面 ，
平面 ∩ 平面 = ， ⊂ 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
又因为 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 .
课堂小结
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
例题1 如图，已知三棱锥−的各棱长均为2，求二面角−−的余弦值.
【解析】如图，取 CD 的中点为 M ，连接 AM ， BM ，则 AM ⊥ CD ， BM ⊥ CD .
由二面角的定义可知 ∠AMB 为二面角 A − CD − B 的平面角.
设 H 是 △ BCD 的重心，
则 AH ⊥ 平面 BCD ，且点 H 在 BM 上.
足分别为 ， .若 ∠=80° ，则二面角 −− 的大小为______.
100°
随堂检测
4.如图所示，在四棱锥 − 中，底面 是矩形，侧面 ⊥ 底面 ，
求证：平面 ⊥ 平面 .
【解析】因为底面 是矩形，所以 ⊥ .
所以 BD ⊥ 平面 ACD .
因为 AD ⊂ 平面 ACD ，所以 AD ⊥ BD ，
所以 ∠ADC 为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
1
2
在 Rt △ ACD 中，因为 AC = AD ，所以 ∠ADC = 30∘ .
新知生成
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
又 △ 为等边三角形，所以 C⊥ ，
又 , ⊂ 平面 ， ∩= ，所以 C⊥ 平面 .
又在 △ 中， , 分别为 , 的中点，所以 =1/2 ，
又平面 ⊥ 平面 ，
平面 ∩ 平面 = ， ⊂ 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
又因为 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 .
课堂小结
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
例题1 如图，已知三棱锥−的各棱长均为2，求二面角−−的余弦值.
【解析】如图，取 CD 的中点为 M ，连接 AM ， BM ，则 AM ⊥ CD ， BM ⊥ CD .
由二面角的定义可知 ∠AMB 为二面角 A − CD − B 的平面角.
设 H 是 △ BCD 的重心，
则 AH ⊥ 平面 BCD ，且点 H 在 BM 上.
足分别为 ， .若 ∠=80° ，则二面角 −− 的大小为______.
100°
随堂检测
4.如图所示，在四棱锥 − 中，底面 是矩形，侧面 ⊥ 底面 ，
求证：平面 ⊥ 平面 .
【解析】因为底面 是矩形，所以 ⊥ .
所以 BD ⊥ 平面 ACD .
因为 AD ⊂ 平面 ACD ，所以 AD ⊥ BD ，
所以 ∠ADC 为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
1
2
在 Rt △ ACD 中，因为 AC = AD ，所以 ∠ADC = 30∘ .
新知生成
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质课件(优质课)
在工程设计中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质对于确保机械部件的稳定性和精 确性至关重要。例如，在制造精密仪器或高精度机械设备时，需要严格控制各个部件之间 的垂直关系。
电子设备
在设计和制造电子设备如电视、电脑和手机时，需要利用直线与平面垂直、平面与平面垂 直的性质来确保设备的稳定性和可靠性。
C. 平行于同一条直线的两条直线一定 平行
基础习题
4、题目：下列说法正确的是( )
A.垂直于同一平面的两直线平行 B.平行于同一平面的两直线平行
C.若直线$a$不垂直于平面$beta$内的无数条直线，则$a$也不垂直于平 面$beta$ D.若直线$a$不垂直于平面$beta$，则直线$a$与平面$beta$ 有斜交
解析：根据空间线面位置关系的定义及判定定理得D正确．在A中，过 $a$上任一点 $P$作直线 $c/backslash/$ $a$，则 $c,b$相交或为异面直线，故A错误；在B中， 可取 $a/backslash/b$判断B错误；在C中，可取 $a,b$都垂直于第三个平面判断C 错误．故选D．
THANKS
直线与平面垂直的性质定理
性质定理一
如果一条直线与平面垂直， 那么这条直线与平面内的任 意一条直线都垂直。
性质定理二
如果一条直线与平面垂直， 那么这条直线上任意一点到 平面的距离都相等。
性质定理三
如果两条直线分别与同一 个平面垂直，那么这两条 直线平行。
Part
02
平面与平面垂直的性质
平面与平面垂直的定义
A. 若直线与平面有两个公共点，则该直线在平面内
进阶习题
B. 若直线 l 上有无数个点不在 平面 α 内，则 l ∥ α
人教版高中数学第二章2,4面面垂直的判定和性质(共25张PPT)教育课件
A
∴ CD⊥平面PAD. （面面垂直的性质定理）
∴ CD⊥AE .
∴ AE⊥平面PCD. AE 平面ACE ,
∴ 平面ACE⊥平面PCD . （面面垂直的判定定理）
C B
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直于底面， 底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
， ，
n P
m ，n ，（面面垂直的性质定理）
又 c， m c，n c，
c . 又 a， b，
b c，c a . 同理可证 a b .
例3. 如图，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是正三角形且垂直 于底面，底面ABCD是矩形，E是PD的中点. （1）求证：平面ACE⊥平面PCD； （2）若PB⊥AC,求PB与底面AC所成的角.
E
PO 3 AO 3a ,
∴ ∠PBO = 45° 故 PB与底面AC所成的角为45°.
D
C
OF
A
B
作业
1. 教材习题2.3A组1、2、3、6；B组1、2、4 2.《导学精练》蓝皮+活页2.3.3；
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
•
•
•
•
之前有个网友说自己现在紧张得不得了 ，获得 了一个 大公司 的面试 机会， 很不想 失去这 个机会 ，一天 只吃一 顿饭在 恶补基 础知识 。不禁 要问， 之前做 什么去 了？机 会当真 就那么 少？在 我看来 到处都 是机会 ，关键 看你是 否能抓 住。运 气并非 偶然， 运气都 是留给 那些时 刻准备 着的人 的。只 有不断 的积累 知识， 不断的 进步。 当机会 真的到 来的时 候，一 把抓住 。相信 学习真 的可以 改变一 个人的 运气。
2.3.4平面与平面垂直的性质定理 p
一、知识回顾 如果一条直线和一个平面相交,并且 和这个平面内的任意一条直线都垂直,则 称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫 做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点 叫做垂足. l
1. 直线和平面垂直的定义如何？
注 :若 l , b 则l b.
α
b
A
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ,n a m nO a m a m , a n O n
又∵a ， ∴a∥α. 即直线a与平面α平行.
A
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ a ）.
例2.已知平面，， 满足 ， ， 求证：l .
分析：作出图形. （法一） （法二）
l,
l β
m b
aα β n m b
l
α
γ
γ
a n A
证法1：设 n, m, 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m l β b a n γ α
（2）观察黑板所在的平面和地面，它们是 互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条 直线是否就一定和地面垂直？
思考2
如图，长方体中，α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
D1
与AD垂直
C1
F
A1
α
B1
E
A
D
β
B
C
思考3
,
CD， AB , AB CD,
线线垂直
线面垂直
关键：线不在多，相交则行
异面直线的夹角
A
1. 直线和平面垂直的定义如何？
注 :若 l , b 则l b.
α
b
A
2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都 垂直，则该直线与此平面垂直。 图形表示 符号表示 m ,n a m nO a m a m , a n O n
又∵a ， ∴a∥α. 即直线a与平面α平行.
A
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ a ）.
例2.已知平面，， 满足 ， ， 求证：l .
分析：作出图形. （法一） （法二）
l,
l β
m b
aα β n m b
l
α
γ
γ
a n A
证法1：设 n, m, 在α内作直线a ⊥n 在β内作直线b⊥m l β b a n γ α
（2）观察黑板所在的平面和地面，它们是 互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条 直线是否就一定和地面垂直？
思考2
如图，长方体中，α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
D1
与AD垂直
C1
F
A1
α
B1
E
A
D
β
B
C
思考3
,
CD， AB , AB CD,
线线垂直
线面垂直
关键：线不在多，相交则行
异面直线的夹角
A
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符号表示:
CD AB
AB
C
AB CD
A B C D B
A BD
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
关键点： ①线在平面内.
②线垂直于交线. C
A BD
作用： ①它能判定线面垂直.
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线.
面面垂直
线面垂直
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
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思考4 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
直线a在平面 内
α aP
β
α a
P
β
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A
D
E
β
C
B
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思考3 ,C D ， AB, ABCD,
垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？
为什么？
垂直
Eβ
D
α
B
A
C
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证明:在平面 内作BE⊥CD,
垂足为B.
则∠ABE就是二面角 CD
的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
Eβ D
又由题意知AB⊥CD, 且BE CD=B
∴AB⊥ .
α
B
A
C
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
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平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一 个平面垂直．
A
线线垂直
线面垂直
面面垂直
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
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思考2 如图，长方体中，α⊥β, (1)α里的直线都和β垂直吗？ 不一定 (2)什么情况下α里的直线和β垂直？ 与AD垂直
F
A1
D1
α
C1 B1
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解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC， VC⊥BC，即 ∠ACB是二面角A-VC-B的平 面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知 ∠ACB =90°。 因此，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是 △VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故 DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，知 直线DE与平面VBC垂直。
注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，
推出上面的结论。
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
例2．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面 ABC，平面SAB⊥平面SBC。 求证：AB⊥BC。
证明：过A点作AD⊥SB于D点.
证法2：设 n,m ,
在γ内任取一点A（不在m,n上），
l α
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
β
在γ内过A点作直线 b⊥m，
an
γ mb A
n
a
a n l
al
同理b l
l .
Hale Waihona Puke a bA2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个 平面的交线垂直于这个平面.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC,
S
∴ AD⊥平面SBC，
∴ AD⊥BC.
又∵ SA ⊥ 平面ABC，
∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
A
∴BC ⊥ 平面SAB.
∴BC ⊥AB.
D C
B
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
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练习1：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折 痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面， 求BD与平面ABC所成的角。
分析：寻找平面α内与a平行的直线.
α
b
a
l
β
A
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解：在α内作垂直于 与 交线
的直线b，
∵ ， ∴ b ，
∵ a ， ∴a∥b.
又∵ a，∴a∥α.
β
即直线a与平面α平行.
α
b
a
l
A
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ a）.
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
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例 2 . 已 知 平 面 ， ， 满 足 ， ， l, 求 证 ： l .
分析：作出图形.
（法一）
l aα
βb
（法二）
l α
β
n γm
an γ mb A
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2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质PPT名师 课件
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复习回顾：
面面垂直的判定
（１）利用定义
［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］
（２）利用判定定理［线面垂直
面面垂直］
l l
l
B
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证法1：设 n,m ,
在α内作直线a ⊥n
l
在β内作直线b⊥m
a
同
理
b
βb
aα
n γm
b / /a
a
b / /
b
b
l
b / /l b
l
.
l
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思 考 5 已 知 平 面 ， AB， 直 线 a∥ ， aAB， 试 判 断 直 线 a与 的 位 置 关 系 . 垂直
α bB a
l β
A
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例 1如 图 ， 已 知 平 面 ， ， ， 直 线 a 满 足 a , a ， 试 判 断 直 线 a 与 平 面 的 位 置 关 系 .
如图：
l α
β γ
判断线面垂直的两种方法：
①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
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两个平面垂直应用举例
例题1 如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动 点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中 点，直线 DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．