桁架与拱-结构力学

A
7.5kN x2=3m 6m
VA 11kN
B
3m 6m
H 7.5kN （1）计算支座反力
VB 9kN
VA
VA
2
698 12
3
11kN
（2）内力计算 以截面2为例
y2
4f l2
xl
x
44 122
312
3
3m
tg 2
dy dx
x3
4f l
1
2x l
x3
44 12
1
2123
0.667
VB
平拱
顶铰
拱肋
拱肋
矢高
拱趾铰
拱趾铰
跨度
斜拱
拉杆拱
拱的有关名称
三铰拱
静定拱
两铰拱
超静定拱
超静定拱
无铰拱
三铰拱的支座反力和内力
一、支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
a1 d
b1
P1 a2
b2
D c P2
MA 0
HA
yf x
HB
MB 0
VA
l1
l2
l
VB
P1
P2
c
V
A
x
VB
P1 d c
H
f
q
E D
dS R d
M0 0
ND R NE R dR 0
ND NE N
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
y0
q dS 2N sin d 0
2 N qR
q Rd N d 0
RN q
因N为一常数，q也为一常数，所以任一点的曲率半径R也是常数，即拱轴为园弧。
Ｈ
三、受力特点
（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H; （2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多; （3）拱内有较大的轴向压力N.
q=2kN .m
P=8kN
例 1、三铰拱及其所受荷载如图所
y
3
4
5
示拱的轴线为抛物线方程
2 1
2
0
y2
6 7 8
f=4m
y
4f l2
xl x
计算反力并绘
x
制内力图。
l1
VA
V三 与B 铰 荷1l P1拱载a1 的及P2a反三2 力个V只铰B VB V的 拱A 位 轴1l P置线1b1 有形P2b2关状 ，无VA与关 VA
x 0 HA HB H
荷载MC与 0跨度一定
时V，A l1水 P平1 d推 H力 f 与 0
矢高成反比 MC H f
0
H
桁架结构
2
桁架的特点和组成分类
桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，杆 件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想的 一种结构形式。 理想桁架：
（1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点； （2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心； （3）荷载和支座反力都作用在结点上
桁架内力分析
杆的轴力可以通过列一个平衡 方程求得，则此杆称为截面单 杆。 可能的截面单杆通常有相交型 和平行型两种形式。
相
交
情 况
FP
FP
FP
FP
FP
FP
a 为 截 面 单 杆
FP FP
平行情况
b为截面单杆
用截面法灵活截取隔离体
P
P
k。
A
B
RA
RB
RB
。k
P
P
简单桁架——一般采用结点法计算；
联合桁架——一般采用截面法计算。
例1、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。
1‘ 2‘ 3‘ 4‘ e
a
cd
b
4d d3
A 1 2 3 4 5
B
P PP 6d
VA 1.5P
(1) Na Nb
1‘ 2‘
4
Na
d 3
1 2 Nb
1.5P
P
Y 0 M 2 0
VB 1.5P
Na P ห้องสมุดไป่ตู้A 0.5P 4
Nb 3 d 1.5P 2d 0
qc+.f
qc q qc y
y
x
f y*
d2y dx 2
1 H
d2M dx 2
对简支梁来说，
d2M dx 2
qx
而 qx qc y,
d2y dx 2
1 H
qc
y
即 y y qc , 特征方程为：
HH
2 0
H
H
x
x
y C1e H C2e H
y
ex shx chx ex chx shx
2 3341,sin 2 0.555, cos 2 0.832
N2 Q2 sin 2 H cos 2 11 2 3 0.555
7.5 0.832 9.015kN
Q图 kN
N图 kN
13.300 10.958 9.015 7.749 7.500 7.433 1.421 6.796 3.325 11.235 11.665 11.700
87
9
75.000 74.991
桁架结构的分类：
一、根据维数分类
1. 平面（二维）桁架（plane truss） ——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一
平面内
2. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
二、按外型分类 1. 平行弦桁架 2. 三角形桁架 3. 抛物线桁架 4. 梯形桁架
例3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，
设填土的容重为，拱所受的分布荷载为 q qC y。
[解]由拱截面弯矩计算式 M M Hy 在本例的座标系中可表达为：
M M H y M H f y 0
M y f
H
因事先 M 得不到，故改用q(x)和y(x)表示：
M C f
二、内力计算 以截面D为例
P1 Qo
x-a1 M
H
D
y
截面内弯矩要和竖向力及水平力对D点构成 的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。
MD 0
H x
M VA x P1 x a1 H y Ｑo
VA
M M Hy
P1
Qo
Q Q cos H sin
Mo
VA
N Q sin H cos
桁架结构（truss structure）
横梁
主桁架
纵梁
弦杆
上弦杆 斜杆 竖杆 腹杆
下弦杆
桁高
d 节间
跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷载 作用的直杆、铰结体系”的工程结构.
特性：只有轴力，而没有弯矩和剪力。轴力又称为 主内力（primary internal forces）。
实际结构中由于结点并非是理想铰，同时还将产生弯矩、 剪力，但这两种内力相对于轴力的影响是很小的，故称为 次内力（secondary internal forces）。
平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超过 独立平衡方程数。 由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。
利用结点单杆的结概点念单，根杆据荷载状况可
结点判平面断汇此交力杆系内中，力除是某一否杆为件外零，。其它所有待求内力的杆件均 共结线点时单，杆则零的此内内杆力件力可称杆直为接该简根结称据点静的零力结杆平点衡（单条杆z件（er求noo出dba。lasrin）gle bar） 。
b
1 2345 P P P 6d
4d d3
B
VB 1.5P
(3) Nd
Xe
Ne
4‘ Ye
Nd
45
B
P 1.5P
2d
2d
Mk 0
Nd P2d 2d 1.5P 2d 0
Nd 0.25P
M4 0
k X e 2.25P
Ne
10 3
Xe
3 4
10P
联合法
凡需同时应用结点法和截面法才能确 定杆件内力时，统称为联合法 （combined method）。
-33
34.8
-8
19
19
0
-33
-33
34.8
-8 -5.4
19
37.5
19
-8 kN
YDE CD 0.75 X DE CE 0.5
0
-33
34.8 19
-33
-33
-33
-8
-8
-5.4 -5.4
37.5
34.8 19
小结：
以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。 按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点的
N1 N1 0
N1
N2
N2 0 N2
N1
N2
N3 N1 N2
N3 0 N1
P
N1 P N2 0
N2 N2 N1
判断结构中的零杆
FP
FP
FP/ 2
FP/2
FP
D
C
7
10
4
1
8
2
5
9
11
6
3
A
B
C AB
截面法
截取桁架的某一局部作为隔离体，由平面任意力系的 平衡方程即可求得未知的轴力。
0.600 0.354 0.003 0.472 1.000
3.331 1.060 0.600
M图 kN.m
0.000 1.125 1.500 1.125 0.000 0.375 4.500 0.375 0.00 0
6m
6m
P=8kN
5 6 7 8 B
34 2
2 y2
x
y
1 0
A
绘制内力图
q=2kN .m
拱的合理轴线
在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴线。 由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。
从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令
VB
2
638 12
9
9kN
H MC 11 6 2 6 3 7.5kN
f
4
M2 M2 Hy2 11 3 2 3 1.5 7.5 3
1.5kN m
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
M M Hy 0
yx M x
H 在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁的弯 矩纵标值成比例。
例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。 q
y
C
q
A
f
Bx
A
ql x
l/2
l/2
2
[解] 由式 yx M x
H
先列出简支梁的弯矩方程
M x q xl x
2
注意
试求图示K式桁架指定杆1、2、3的轴力
ED杆内力如何求?
小结：
熟练掌握 计算桁架内力的基 本方法： 结点法和截面法
采取最简捷的途径计算桁架 内力
拱(arch)
一、简介
曲梁
杆轴线为曲线 在竖向荷载作 用下不产生水 平反力。
FP
拱--杆轴线为曲
线，在竖向荷载 作用下会产生水 平推力的结构。
三铰拱
拱的有关名称
以只有一个结点的隔离体为研究对象，用汇交 力系的平衡方程求解各杆内力的方法
例1. 求以下桁架各杆的内力
0
-33
34.8 19
19
Y 0 YNAD 11 kN YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5 X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0
-33
Nb 2.25P
1‘ 2‘ 3‘ 4‘ e
a
cd
b
A 1 2 3 4 5 P PP 6d
4d d3
B
(2) Nc
VA 1.5P
Yc 1.5P P 0.5P 5
Nc 4 Yc 0.625P
VB 1.5P
4‘ e
d
Nc
B
45
P 1.5P
A
VA 1.5P
1‘
2‘
3‘
4‘
e
a
cd
对于平面桁架，由于平面任意力系的独立平衡方程数 为3，因此所截断的杆件数一般不宜超过3
试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。
n
m
1
A 2.5FP
34
n2m
FP
FP
FP
FP
FP
6 5m
6m B
2.5FP
FN1 =-3.75FP FN4=0.65FP
FN2 =3.33FP FN3 =-0.50FP
截面单杆 截面法取出的隔离体， 不管其上有几个轴力，如果某
三、按几何组成分类
简单桁架 （simple truss）
先组成三角形，再由 加二元体组成
联合桁架 （combined truss）
由几个简单桁架通过 二、三刚片规则组成
复杂桁架 （complicated truss）
四、按受力特点分类：
1. 梁式桁架
2. 拱式桁架
竖向荷载下将 产生水平反力
结点法（nodal analysis method）
yx Ach x B sh x
H
H
设其特解 y a, 代入原方程，a qc
yx A ch x B sh x qc
H
H
设 x 0, y 0
A qc
x 0, y 0 B 0
y
qc
ch
x 1
悬链线
H
再见！
次内力的影响举例
杆号 起点号 终点号 桁架轴力 刚架轴力
12
4 -35.000 -34.966
24
6 -60.000 -59.973
36
8 -75.000 -74.977
48
10 -80.000 -79.977
51
3
0.000 0.032
63
5
35.000 35.005
75
7
60.000 59.997
B
ql 2
拱的推力为：
H
M
C
ql 2
f 8f
*合理轴线对应的是 一组固定荷载；
所以拱的合理轴线方程为：
*合理轴线是一组。
yx
q 2
xl
x
8f ql 2
4f l2
xl x
例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。 [证明] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。