折射定律的两种证明方法(详细)

//3700//

3.7 几何中的一些极值问题

折射定律 质点花时间最短运动轨迹 选址问题 实验演示

几何中一些求极值问题，可以用微分法求解，也可借助几何或物理概念寻求特殊的技巧解法。下面举几个例子。 问题一：(折射定律)

设有一质点从点A ()11,y x 运动到点B ()22,y x ()0,021<>y y ，该质点的运动速度在上半平面为常数v 1，下半平面为常数v 2.此质点应沿什么路径运动才能使花费时间最短?

问题二：(质点花时间最短运动轨迹)

设一质点从点A(x 1,y 1)运动到点B(x 2,y 2), 其运动速度是纵坐标的可微函数v(y).若要求所花时间最短，求它的运动轨迹。 问题三：(选址问题)

设有m 个村庄m A A A ,,,21 各有小学生m n n n ,,,21 人，今要合建一所小学校，使全部学生所走的总路程最短，问应如何选择校址？ //3710 一. 折射定律

设有一质点从点A ()11,y x 运动到点B ()22,y x ()0,021<>y y ，该质点的运动速度在上半平面为常数v 1，下半平面为常数v 2.此质点应沿什么路径运动才能使花费时间最短?

显然该质点在上半平面和下 半平面都应是直线。故从A 到B 应 为折线，只需求出折点C 即可。

设AC 、 BC 与y 轴的夹角分别为

i 1, i 2, 我们来证明当

2

1

21sin sin v v i i = (*) 时，所花费的时间最短。

（*）式就是光的折射定律：当光从一种介质进入另一种介质时，入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比。

证明：

方法一（用几何方法） 方法二（用微分方法） //sm3711 用几何方法证明:

任取另一路径AC 1B, 质点经路径ACB 所花时间为

2

1v BC

v AC + 经AC 1B 所花时间为

2

1

11v BC v AC + 只需证当 (*) 成立时,

2

1

1121v BC v AC v BC v AC +≤+. 过C 1分别向AC 延长线和CB 作垂线C 1D 1和C 1D 2,则 11CD AD AC -=, 22CD BD BC +=

)v CD v CD (v BD v AD )v CD v BD ()v CD v AD (v BC v AC 1

1

2222112222111121-++=++-=+∴

(**) 212111221111i sin CC CD ,i sin CC CD i D CC i D CC ==∴=∠=∠，

， 01

12211122(*)

)v i sin v i sin (CC v CD v CD =-=-∴ 2

1

112211211211v BC v AC v BD v AD v BC v AC ,BC BD ,AC AD (**)+≤+=+∴≤≤

//sm3712 用微分方法证明:

设折点C 的坐标为()0,x 则质点经ACB 所花时间

()()2

2

2221

2

121v y x x v y x x t +-+

+-=

()()2

2

1122

22

221212

11v i sin v i sin v y x x /)x x (v y x x /)x x (dx dt -=+--++--= ∴

0=dx

dt

等价于2211sin sin v i v i =. 这与(*)等价.这就是光的折射定律：当光从一 种介质进入另一种介质时入射角的正弦与折射角的正弦之比等于光在两种介质中的速度比.

//sm3720

二、质点花时间最短的运动轨迹

问题：设一质点从点A(x 1,y 1)运动到点B(x 2,y 2), 其运动速度是纵坐标的可微函数v(y).若要求所花时间最短，求它的运动轨迹。 结论：其运动轨迹应满足：从),(11y x A 到)y ,x (A 1的定积分 ⎰

-±=--y

y )x x ()u (V C du 1

12

11

(3)

C 1由22)

(y x y =，即曲线过B 点决定，正负号的选择与y’ 的符号一致。

具体推导：//转3721//

例子：设一质点要在重力场上由原点运动到某一点),(00y x A ，求花费时间最短的路径。（设0x > 00y > 0）//转37//

//sm3721

在轨迹上取邻近的三点()y x A ,1，()y y x x A ∆+∆+,2 3A 分别把21A A 和3

2A A

由折射定律得：

()()

y y V y V i i ∆+=21sin sin (1) 用'y 表示曲线的切线斜率。

在21A

A 上,1αtan |)x ('y |= ，在32A A 上,2αtan )x x ('y =∆+

[]

2

1

2

1

2

12

1111111

)x ('y tan sin cos cos cos i sin +=

+=

+=

=ααααα

同理[]

2

2

2

21111)x x ('y tan i sin ∆++=

+=α

把(1)式两边颠倒再减去1并通分得：

()()()

y V y V y y V i i i -∆+=-112sin sin sin (2)

(2)式左边分子分母同除以sini 1sini 2得

[][][][][]

2222

22

2111111111

1)x ('y x )x ("y )x ('y )x x ('y )x x ('y )x x ('y )x ('y i sin i sin i sin +∆∆++-

≈∆++∆++-+=-

(这里利用了公式()()()x x 'f x f x x f ∆≈-∆+, ()[]2

1)x ('y x f +=)

x

()

22y ,x B 3

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