一元二次方程构建知识体系

第二十一章《一元二次方程》知识构建学习目标：

1.通过本节课学习进一步熟悉本章所学知识点的同时理解各知识点间的相互关系；

2.能熟练应用本章知识解决实际问题，做到学以致用。

学习重点：1.一元二次方程；2.解一元二次方程.

学习难点：选择合适的方法解一元二次方程.

学情分析：本班学生基础稍差，本节课侧重于对基础知识的复习，通过本课的学习提升学生对基础知识的理解，进一步强化知识的应用,形成知识体系。

本章知识点概括

1、相关概念

（1）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

概括为三点6个字：（1）整式;（2）一元;（3）二次。（三者缺一不可）

（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0，a、b、c为常数)，

其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。注：一般情况化为一般式时化a为正整数

（3）一元二次方程的根：一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

用代入法把某数代人方程，分别计算方程左右两边的值来判断方程的根。

一次方程：一元一次方程，二元一次方程，三元方程

整式方程二次方程：一元二次方程，二元二次方程

*（4）有理方程高次方程：

分式方程

2、降次——解一元二次方程

（1）直接开平方法：对于形如x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）形式的一元二次方程运用平方根的性质化为两个一元一次方程来解.

（2）配方法：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．其步骤是:

①方程化为一般形式；

②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

③化二次项系数为1；

④配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边是完全平方式，

从而原方程化为（mx+n）2=p的形式；

⑤如果p≥0就可以用开平方降次来求出方程的解了，如果p<0，则原方程无实数根。（3）公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

其方法为：先将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当⊿＝b2－4ac≥0时，•

将a、b、c代入求根公式x=

a2

ac 4

b

b2-

±

-

（b2-4ac≥0）就得到方程的根．

（4）因式分解法：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0,从而降次．这种解法叫做因式分解法．步骤是：

①通过移项将方程右边化为0；

②通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积；

③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，得一元二次方程的解。

注：1.直接开平方法和因式分解法只能解特殊形式的一元二次方程，而配方法和公式法则可以解所有的一元二次方程.2.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax 2+c =0），应选用直接开平方法；.若常数项为0（ ax 2+bx =0），应选用因式分解法；4.若一次项系数和常数项都不为0 (ax 2+bx +c =0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；5.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.

3、一元二次方程根的判别式

（1）⊿＝b 2－4ac 叫一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式。

（2）运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况：

①⊿=b 2－4ac ＞0 方程有两个不相等实数根；

②⊿=b 2－4ac =0 方程有两个相等实数根；

③⊿=b 2－4ac ＜0 方程没有实数根；

④⊿=b 2－4ac ≥0 方程有两个实数根。

（3）应用：

①不解方程，判别方程根的情况；

②已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；

③应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；

注意：运用根的判别式的前提是该方程是一元二次方程，即：a ≠0。

*4、一元二次方程根与系数的关系（本部分内容为选学内容）

（1）如果一元二次方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根是21,x x ， 那么a

c x x a b x x =-=+2121, （2）应用：

①验根，不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； ②已知方程的一个根，求另一根及未知系数的值；

③已知方程的两根满足某种关系，求方程中字母系数的值或取值范围；

④不解方程可以求某些关于21,x x 的对称式的值，通常利用到：

2122122212)(x x x x x x -+=+

212212214)()(x x x x x x -+=-

()|

a |x x 4x x ||2122121∆=-+=-x x 当21x x +=0且21x x ≤0，两根互为相反数；

当⊿≥0且21x x =1，两根互为倒数。

（重点强调：一元二次方程根与系数的关系是在二次项系数a ≠0，⊿≥0前提条件下应用的，解题中一定要注意检验）

⑩用公式法因式分解二次三项式ax 2+bx+c(a ≠0)：

ax 2+bx+c=a （x-x 1）（x-x 2）其中21,x x 是方程ax 2

+bx+c=0(a ≠0)的两个实数根。 板书：

教 学 反 思