上海中考数学复习圆的综合专项易错题

上海中考数学复习圆的综合专项易错题

一、圆的综合

1．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC交直径AD于点E，过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G，垂足为F．连接OC．

（1）若∠G=48°，求∠ACB的度数；

（2）若AB=AE，求证：∠BAD=∠COF；

（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的面积为S1，△ACF的面积为S2．若

tan∠CAF=

1

2

，求1

2

S

S的值．

【答案】（1）48°（2）证明见解析（3）3 4

【解析】

【分析】

（1）连接CD，根据圆周角定理和垂直的定义可得结论；

（2）先根据等腰三角形的性质得：∠ABE=∠AEB，再证明∠BCG=∠DAC，可得

»»»

CD PB PD

==，则所对的圆周角相等，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系可得结论；

（3）过O作OG⊥AB于G，证明△COF≌△OAG，则OG=CF=x，AG=OF，设OF=a，则

OA=OC=2x-a，根据勾股定理列方程得：（2x-a）2=x2+a2，则a=3

4

x，代入面积公式可得结

论．

【详解】

（1）连接CD，

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠BCD=90°，

∵AD⊥CG，

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°，∵∠BAD=∠BCD，

∴∠ACB=∠G=48°；

（2）∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

∵∠ABC=∠G+∠BCG，∠AEB=∠ACB+∠DAC，由（1）得：∠G=∠ACB，

∴∠BCG=∠DAC，

∴»»

CD PB

=，

∵AD是⊙O的直径，AD⊥PC，

∴»»

CD PD

=，

∴»»»

CD PB PD

==，

∴∠BAD=2∠DAC，

∵∠COF=2∠DAC，

∴∠BAD=∠COF；

（3）过O作OG⊥AB于G，设CF=x，

∵tan∠CAF=1

2=

CF AF

，

∴AF=2x，

∵OC=OA，由（2）得：∠COF=∠OAG，∵∠OFC=∠AGO=90°，

∴△COF≌△OAG，

∴OG=CF=x，AG=OF，

设OF=a，则OA=OC=2x﹣a，

Rt△COF中，CO2=CF2+OF2，

∴（2x﹣a）2=x2+a2，

a=3

4 x，

∴OF=AG=3

4 x，

∵OA=OB，OG⊥AB，∴AB=2AG=3

2

x，

∴1

213

··3 22 1·24·

2

AB OG x x

S

S x x

CF AF

===．

【点睛】

圆的综合题，考查了三角形的面积、垂径定理、角平分线的性质、三角形全等的性质和判定以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据圆周角定理找出∠ACB+∠BCD=90°；（2）根据外角的性质和圆的性质得：»»»

CD PB PD

==；（3）利用三角函数设未知数，根据勾股定理列方程解决问题．

2．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若tan A=1

2

，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．

【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．

【解析】

试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；

（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=3

2

x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理

即可得出结论．

试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，

∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：

∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，

∴∠BDE =∠A ，而∠BED =∠DEA ，∴△EBD ∽△EDA ，∴DE BE BD AE DE AD ==．∵Rt △ABD 中，tan A =BD AD =12，∴DE BE AE DE ==12

， ∴AE =2DE ，DE =2BE ，∴AE =4BE ，∴AB =3BE ；

（3）设BE =x ，则DE =EF =2x ，AB =3x ，半径OD =

32x ．∵OF =1，∴OE =1+2x ． 在Rt △ODE 中，由勾股定理可得：（

32x ）2+（2x ）2=（1+2x ）2，∴x =﹣29

（舍）或x =2，∴圆O 的半径为3．

点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD ∽△EDA 是解答本题的关键．

3．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC

（1）求证：AC 是⊙O 的切线；

（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．

【答案】（1）见解析；（2）30.

【解析】

【分析】

（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案.

【详解】

（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ，

∴OE CD ⊥，