函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的运用
函数与方程思想在解题中的运用函数与方程思想是中学数学最重要的基本思想,也是高考考查的重点.函数与方程思想既是两种思想本身的体现,也是两种思想综合运用的体现,二者密不可分.函数与方程思想也体现了动与静、常量与变量之间的辩证关系,是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想.函数是高中数学的一条主线,函数与方程思想运用几乎在高中各章节知识中都有体现,本文就这种数学思想在解题中的作用作一个较为详细的介绍.一、运用函数与方程思想处理函数、方程与不等式问题函数与方程虽是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系.方程f (x)=0的解就是函数y=f (x)的图像与x轴的交点的横坐标,函数y=f (x)本身就是一个二元方程f (x)-y=0,于是,函数问题与方程问题可以相互转化来求解.函数与不等式也可以相互转化,对于函数y=f (x),当时y>0,就转化为不等式f (x)>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而研究函数的性质,也离不开解不等式.故它们三者之间关系紧密,解决此类问题的关键是深刻理解三者的意义,熟练掌握三者之间的转化关系.例1 已知函数f (x)=x2-x2+2x+1,且x1,x2是f(x)的两个极值点,003(2)x1-x2==,由根与系数的关系可知:x1+x2=a,x1x2=2,∴x1-x2=>1 ,由不等式恒成立问题可知:1≥m2-2bm-2对b∈-1,1恒成立.令g(b)=-2mb+m2-3,则当b∈-1,1时,g(b)≤0恒成立,∴g(-1)=m2+2m-3≤0,g(1)=m2-2m-3≤0-1f (x3)-x3,∴0三、运用函数与方程思想处理数列问题数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数.纵观近几年的高考题,在客观题中,突出“小、巧、活”的特点,解答题以中等以上难度的综合题目为主,涉及函数、方程、不等式的综合内容.在数列问题时,要切实注意运用函数观点来分析、解决有关数列的最值、单调性等问题,运用方程的思想来解决有关的计算问题.例5 设等差数列{an}的前n项和Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,求n的值.解析(法一)由S4=S8,得d=-a10,a7+-=0,所以f(n)是单调递增的数列,故f(n)的最小值为f(2)=.(3)∵b=,∴Sn=1+++…+,∴Sn-1=++…+,又S1+S2+…Sn-1=+++…+=(n+++…+)-(n-1)=(++…++).假设存在整式g(n),使得S1+S2+…+Sn-1=(Sn-1)g(n)成立, 则g(n)==n,满足题目要求,故存在g(n)=n.点评数列其实就是关于正整数n的离散型函数,数列求最值的方法与函数最值的求法类似.此题问(2)先证数列是单调递增的,再利用单调性求数列最值,这是数列不等式证明中常用到的一种方法.问(3)是一个探究性问题,需要将左边和式朝着右边逐步变形,最终消除等式两边的差异,思维难度较大.四、运用函数与方程思想处理立体几何中的最值问题方程思想在立体几何中主要体现在,根据具体图形列方程(组)求角,求距离,求面积,求体积等.而当图形中涉及运动变化、不确定量时,往往要通过函数关系把这种数量关系表示出来,并加以研究,从而使问题获得解决,运用函数与方程思想在处理这类问题时非常有效.例7 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,B1B1=BC=2,AC=2,点P是线段B1C上任意一点,求线段AP+C1P的最小值.解析连接AB1,在Rt△ACB中,AB==2,Rt△ABB1中,AB1==,在△ACB1中,AC=2,B1C=4,∴AC2+B1C2=AB12∠ACB1=90°.设CP=x,∴在Rt △ACP中,AP=,在△CC1P中,∠CC1P=45°,由余弦定理有C1P==,∴AP+C1P=+=+.此式可以看作是点(x,y)到点(2,2)及(0,-2)的距离之和.由数形结合可知:当三点在一条直线上时距离之和最小,即(AP+C1P)min==2为所求.点评本题是较常见的距离和的最值问题,如直接利用几何知识难以求解,需要借助函数建模,而最终又需要数形结合来完成求解.此题可谓构思巧妙、环环相扣,综合运用了几何、三角和函数等知识,能力要求较高.五、运用函数与方程思想处理圆锥曲线问题圆锥曲线问题中,常见的是利用几何性质列方程(组)求圆锥曲线的方程、离心率等.而涉及直线和圆锥曲线的位置关系问题时,一般需要通过解二元方程组,将其转化为一元二次方程,然后用根的判别式或根与系数的关系解题.此类问题对运算求解能力、推理论证能力要求较高,但同时它有一定的规律可循,因为它与函数方程思想有着紧密的联系,考生可以往这方面思考.例8 已知椭圆+=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于A、B两点,且OA⊥OB(O坐标原点).(1)求+的值; (2)若椭圆长轴长2a的取值范围是[,],求椭圆离心率e的取值范围.解析(1)联立方程组:x+y-1=0,+=1(a2+b2)x2-2a2x-a2(1-b2)=0……(*)设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1x2=,而y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=.又∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,∴+=0,∴a2+b2=2a2b2+=2……①经检验,方程(*)△=4a4(2b4-2b2+1)>0有解,故+=2.(2) 将b2=a2-c2,e=代入①,得2-e2=2a2(1-e2),∴e2==1-,而2a∈[,],由不等式的性质,得≤e2≤,而00.责任编校徐国坚。
函数与方程思想在解题中的应用
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１ ＿ ０ ＿ 。 ０ 函数与方程 的思 维渗透 在各 部分知识 中 ， 在实
际生活中也屡 见 不鲜 ， 教学 中 注意提 炼 和升华 。 在 应 用 函 数 与方 程 的 思 想 时要 注 意 ： 练 掌 握 基 本 初 熟 等函数 的性 质 ， 这是应用函数思 想解题 的基础 ； 理解 函数 ｙ ） Ｙ＝， ｘ 的性 质 （ ＝ 、 （ ） 单调性 、 奇偶性 、 周期性 、 最值和图象变 换 ） 函数 与方程 转化过 程 中 ； 要注意等价性 ， 否则可能出错。 （ 作者单位 ： 南省 实验 中学） 河
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函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用【摘要】本文将探讨函数思想在高中数学解题中的重要性和应用。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们理解和解决复杂的方程，提高解题效率。
在几何问题中，通过函数图像的分析，我们可以深入理解几何形状的性质，从而更好地解决几何难题。
函数思想在数列与数论中的应用也不可忽视，通过函数的性质可以发现数列中的规律，解决数论中的难题。
使用函数思想解决数学建模问题和简化解题过程都是本文要探讨的内容。
通过本文的学习，读者将更好地认识到函数思想在高中数学解题中的广泛应用和重要性，为未来高中数学教学提供思路和方法。
【关键词】函数思想、高中数学、解题、代数方程、函数图像、几何问题、数列、数论、数学建模、函数性质、广泛应用、教学、重要性。
1. 引言1.1 介绍函数思想在高中数学解题中的重要性函数思想在高中数学解题中起着至关重要的作用。
函数是数学中非常基础且重要的概念，它是描述自变量和因变量之间关系的工具。
在高中数学学习中，函数思想可以帮助我们更好地理解和解决各种数学难题。
通过函数思想，我们可以将问题抽象化，找到问题之间的关联，从而更好地解决问题。
在代数方程问题中，函数思想可以帮助我们建立数学模型，将复杂的代数方程化简为函数的表示形式，进而更容易解决问题。
在几何问题中，函数图像可以帮助我们直观地理解问题，进而找到解题的方法。
在数列与数论中，函数思想可以帮助我们研究数列的性质及规律，从而更好地掌握数学知识。
1.2 概述本文内容本文将重点探讨函数思想在高中数学解题中的应用。
通过引入函数的概念和性质，我们可以更加灵活地解决各种数学难题。
本文将从代数方程问题、几何问题、数列与数论、数学建模以及函数性质等方面展开讨论，阐述函数思想在这些领域中的作用和意义。
通过具体的例题和解题方法，读者可以更深入地理解函数思想在高中数学中的实际运用。
本文将总结函数思想在数学解题中的广泛应用，并展望未来在高中数学教学中的重要性。
函数与方程思想在解题中的应用
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待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝-解析版
待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现.典型例题1设抛物线y =ax 2+bx +c 过点A 1,2 和B -2,-1 .(1)试用a 表示b 和c ;(2)对于任意非零实数a ,抛物线都不过点P m ,m 2+1 ,试求m 的值.【分析】对本题题意的理解是关键,什么是抛物线都不过某点呢?换一种说法是:将该点的坐标代入所给的抛物线方程,方程无实数解,所以本题体现了一种等价转换的思想以及待定系数法在研究函数与方程问题中的应用.【解析】1 依题意,a +b +c =2,4a -2b +c =-1, 解得b =1+a ,c =1-2a .(2)y =ax 2+1+a x +1-2a ,将m ,m 2+1 代人,得am 2+1+a m +1-2a =m 2+1,整理得m 2+m -2 a =m 2-m .由题意,关于a 的方程无非零实数解,由m 2+m -2=0,m 2-m ≠0, 得m =-2;由m 2+m -2≠0,m 2-m =0, 得m =0.故所求的值为m =-2或m =0.2(1)已知数列a n 中,a 1=10,且a n =15a n -1+2⋅5n ,求这个数列的通项公式;(2)已知数列a n 中,a 1=3,a 2=5,a n =a n -2+4n -3n ≥3 ,求通项公式a n .法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第2 问,一般解法是设待定系数A ,即由a n +An 2=a n -2+An 2+4n -3配方,得a n +An 2=a n -2+A (n -2)2+4A +4 n -4A -3,令4A +4=0,解得A =-1,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养.【解析】(1)先对递推式进行变形,a n 5n =15a n -15n +2.即a n 5n =3⋅a n -15n -1+2.设b n =a n 5n n ∈N * ,则b n =3b n -1+2.(1)引人待定系数α,β,使α,β满足b n -β=αb n -1-β .展开得b n =αb n -1-αβ+β.(2)对照(1)式和(2)式,可得方程组α=3,-αβ+β=2,解得α=3,β=-1. 即数列b n +1 是以b 1+1=a 15+1=3为首项,3为公比的等比数列,所以b n +1=3⋅3n -1=3n ,b n =3n -1.于是,b n =a n 5n =3n -1,a n =15n -5n n ∈N * .(2)由条件可得a n -n 2=a n -2-(n -2)2+1n ≥3 .令b n =a n -n 2,则数列b n 可化为两类等差数列,其中b 2n -1 是以b 1=a 1-1=2为首项,d =1为公差;b 2n 是以b 2=a 2-22=1为首项,d =1为公差.因此,b 2n -1=2+n -1 ,b 2n =1+n -1 .所以a 2n -1=(2n -1)2+n +1,a 2n =(2n )2+n .故a n =122n 2+n +3(n 为奇数)122n 2+n(n 为偶数) 可简化为a n =122n 2+n +341+(-1)n +1 .3设a 为实数,函数f x =a 1-x 2+1+x +1-x 的最大值为g a .(1)设t =1+x +1-x ,求t 的取值范围,并把f x 表示为t 的函数m t ;(2)求g a ;(3)试求满足g a =g 1a的所有实数.【分析】本例是一道苐进式的综合题,主要考查函数、方程等基础知识,考查分类与整合以及函数与方程的思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力,难度上循序渐进,第(1)问考查变量代换的技巧,难点在新变量范围的确定,可以有不同的方法求解;第(2)问是含参函数在区间上最大值的求法.分类与整合并结合函数单调性是解答的关键;第3 问实质是解方程,由于g a 是分段的,对于方程g a =g 1a 解的讨论更要分类全面、环环相扣.正如罗素所言:“数学不仅拥有真理,而且还拥有至高的美一种冷峻而严肃的美,正像雕塑所具有的美一样⋯⋯”本题的解决过程不仅能显示解题者的数学功力,也展现了“一种冷峻而严肃的美”.【解析】(1) 【解法一】 (代数法)令t =1+x +1-x ,要使t 有意义,必须1+x ≥0,1-x ≥0,即-1≤x ≤1.∵t 2=2+21-x 2,x ∈-1,1 ,t ≥0(1)∴t 的取值范围是2,2 ,由(1)式得1-x 2=12t 2-1,故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .【解法二】(三角换元法)令x =sin2θ,θ∈-π4,π4.t =1+x +1-x =1+sin2θ+1-sin2θ=sin θ+cos θ +sin θ-cos θ=sin θ+cos θ-sin θ+cos θ=2cos θ,a 1-x 2=a 1-sin 22θ=a cos2θ由于θ∈-π4,π4 ,所以cos θ∈22,1,即t ∈2,2 ,f x =m t =a cos2θ+t ,又cos2θ=2cos 2θ-1=2×t 24-1=t 22-1故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .(2)由题意知g a 即为函数m t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 的最大值.注意到直线t =-1a 是抛物线m t =12at 2+t -a 的对称轴,故分以下几种情况讨论.①当a >0时,函数y =m t ,t ∈2,2 的图像是开口向上的一段抛物线,∵t =-1a <0,知m t 在2,2上单调递增,∴g a =m2 =a+2.②当a=0时,∵m t =t,t∈2,2,∴g a =2.③当a<0时,函数y=m t ,t∈2,2的图像是开口向下的一段抛物线.若t=-1a∈0,2.即a≤-22,则g a =m2=2;若t=-1a∈2,2,即-22<a≤-12,则g a =m-1a=-a-12a;若t=-1a∈2,+∞,即-12<a<0,则g a =m2 =a+2.综上可得:g a =a+2a>-12-a-12a-22<a≤-122 a≤-22(3)①当a<-2时,1a >-12,此时g a =2,g1a=1a+2.由2+1a=2,解得a=-1-22,与a<-2矛盾.②当-2≤a<-2时,-22<1a≤-12.此时g a =2⋅g1a=-1a-a2.2=-1a-a2,解得a=-2与a<-2矛盾.③当-2≤a≤-22时,-2≤1a≤-22,此时g a =2=g1a,所以-2≤a≤-2 2④当-22<a≤-12时,-2≤1a<-2,此时g a =-a-12a,g1a= 2.由g a =g1a 即得-a-1 2a = 2.解得a=-22与a>-22矛盾.⑤当-12<a<0时,1a<-2,此时g a =a+2,g1a=2.由g a =g1a即得a+2=2,解得a=2-2与a>-12矛盾.(6)当a>0时,1a >0,此时g a =a+2,g1a=1a+2.由g a =g1a即得a+2=1a+2.解得a=±1,由a>0得a=1.综上可得,满足g a =g1a的所有实数a为-2≤a≤-22或a=1.4如图3-3所示,设直线l与椭圆x22+y2=1相切,切点为P,点M是坐标原点O在直线l上的正投影,求MP的最大值和最小值.【分析】本例的解答分3步:第一步,求出切线l 的方程和直线OM 的方程;第二步,求出点M 的坐标用点P x 0,y 0 的坐标表示,运用两点间距离公式求得|MP |2关于y 20的函数关系式;第三步,进入求MP 最值的流程,然而函数解析式太复杂了,可通过换元法变为基本函数求最值问题,当然新元的取值范围一定要紧紧㧓住!【解析】设P x 0,y 0 ,则-1≤y 0≤1,x 20=21-y 20 (点P 在椭圆上),切线l 的方程为x 0x +2y 0y =2(已知切点求䢶圆的切线方程),由OM ⊥l 得直线OM 的方程为2y 0x -x 0y =0.联立两直线方程,求得点M x ,y 的坐标为x =2x 0x 20+4y 20=2x 021-y 20 +4y 20=x 01+y 20x 20=2(1- y 20) ，y =4y 0x 20+4y 20=2y 01+y 20∴|MP |2=x -x 0 2+y -y 0 2=y 201+y 20 2x 20y 20+1-y 20 2 =y 201-y 20 1+y 200≤y 20≤1 设y 20=t 0≤t ≤1 ,则|MP |2=g t =t 1-t 1+t =-t +2-21+t =3-t +1+2t +1≤3-22(由基本不等式求得).当且仅当t +1=2t +1,即t =2-1时等号成立.∵0<2-1<1.∴函数g t 在区间0,1 上有最大值3-22,最小值0.即MP 的最大值和最小值分别为MP |max =3-22=2-1, MP |min =0.。
函数与方程思想在解题中的应用
（ 任编辑 责
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函数与方程思想在高中数学解题中的应用
函数与方程思想在高中数学解题中的应用【摘要】函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决。
【关键词】函数与方程思想；高中数学；应用什么是函数和方程思想？简单地说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系，对函数和方程思想的考查，主要是考查能不能用函数和方程思想指导解题，在用函数和方程思想指导解题时要经常思考下面一些问题：是否需要把一个代数式看成一个函数，是否需要把字母看作变量，如果把一个代数式看成了函数，把一个或几个字母看成了变量，那么这个函数有什么性质，如果一个问题从表面上看不是一个函数问题，能否构造一个函数来帮助解题，是否需要把一个等式看作为一个含未知数的方程，如果是一个方程，那么这个方程的根（例如根的虚实，正负，范围等）有什么要求？一、把字母看作变量或把代数式看作函数规律技巧提炼：1.函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想.（1）函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：①根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；②根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题.（2）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想.2.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想.综上所述，在高中数学教学过程中重视函数与方程思想方法的渗透，可以深化学生对基础知识的理解，进一步完善学生的知识结构，优化思维品质，提高学生分析问题，解决问题能力，提高学生的数学素养。
浅议函数与方程思想在解题中的运用
线对称轴 ｚ 一一 为 Ｙ轴 ， 再结合 特殊点位 置 ＝０时 ，
厶“
ｌ ｃ 一
＞ｏ ， 可轻松建立方程组求解 ． 即
Ｖ＂ 一 联合求 解
Ｉ 一３ ＞ Ｏ
即可． 该 题在 求解 过程 中首选 根据 抛物线 特征参 数 ， 亦 即对 称轴方程确定关于 的方程式 ， 再结合抛 物线定点 特征 ， 限定 ７ ／ ＇ １ 的取值范 围 ， 通过 二者之 间的制约关 系， 建
出未知数 的值． 两 者结 合 的 思想 关 键 就是 找 出相 等关 系， 建立 变量 之 间的等量 关系 ， 这 是轻 松求解 函数 问题 的基础 ， 可 以使数学 问题变得简洁 、 清晰． 通常情况下 ， 函数与方程思想 的应用 涉及方 程组 的 求解 ， 此类题 目的一般解题步骤 是尽可 能挖掘题 目所含 条件 ， 根据上 文 所 提 到 的函数 和 方 程所 具 备 的基 本 元 素， 限定 特征 方程解 析式 对应 的等式 条件 ， 将互相 制 约 的各个 方程联 立起 来 ， 构 建具有 共解 的方程 组 ， 以下实 例具 体说明．
图（ ａ ） 图（ ｂ ） 图（ ｃ ） 图（ ｄ ）
从 以上基本知识 的梳 理 中可 以看 出 ， 构建数学 模 型 是对简单 函数知识深刻理解 的有 效途径 ， 通过对关 键 系 数的分类思考 ， 可 以全 面掌握 函数 思想在解 题过 程 中所 具 备的基本要素 ， 实 际题 目中涉及 的 函数 知识点 往往 围 绕 以上关键 系数 展开 ． 因此 学会 采用数 学模 型方 法 ， 以 数 形结合的方式巩 固基本 知识 ， 是熟 练掌 握 函数 求解 题 目首先要 挖掘 隐含条 件． 构 建 方程 的首要任务是 寻找题 目中的等量关 系． 设想在题 目 所给条 件 下 ， 存 在一个类 似 方程式 的等式 ， 其 中包括 若 干未 知量 和 已知量． 能否顺 利应用 函数 与方 程思想 ， 取 决于 寻找方 程所 需要 的对 等条件． 任何 方程 的求解 ， 可 以视 为是对 函数 值为 ０时 的 自变 量方程 求解． 比如 ， 一 元一次方程 忌 ＋６ —０可 以看 做是 一志 ＋ｂ的函数 值 为 ０时 ， 自变量 ｚ的表 达式． 方程 思想 的应 用在 一定 程 度上拓宽 了解题思维 ， 使得对 方程式 的求解更 加形象 具 体， 某 种意义 上赋 予 了一定 的数学 含义 ， 对 学生来 说更 加具 有启发性．
函数与方程思想在解题中的应用
函数与方程思想在解题中的应用【摘要】本论文将所研究的问题借助建立函数关系式，结合初等函数，图像和性质，加以分析、转化、解决有关求值、数列、不等式、三角、解析几何等问题。
同时利用方程的观点将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型或构造出关于主元的方程加以解决。
【关键词】函数思想方程思想高考函数是中学数学的一个重要概念，函数一直是高考的热点、重点内容，它渗透在数学的各部分内容中，是高中数学的一条重要主线。
新课标内容中不仅没有淡化这一传统，而且还有加强的趋势，这从考试说明中很容易看出来。
但许多同学在学习这部分章节知识的时候都很难从本质上去理解、掌握，长期以来这部分知识又在高考试题中占据着可观的分值，而且考核的形式也比较灵活，学生在学习过程中稍有不慎就容易造成失分现象。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
为此，本文就函数与方程思想在教材与高考试题中体现出来的具体案例进行解析。
1.运用函数图像解题函数和方程的关系非常密切，对于函数y=f（x），当y=0时，就转化为方程f（x）=0，也可以把函数y=f（x）看作二元方程y-f（x）.如解方程f（x）=0就是解y=f（x）的零点。
例1：函数f（x）=4x-4，x≤1x2-4x+3，x>1的图像和函数g（x）=log2x 的图像的交点个数是多少个？分析：求两个函数图像的交点个数，即是求两个函数所对应的方程有几个相同的根，可建立方程：x2-4x+3=log2x，x>14x-4=log2x，00解：因为8（x+1）3+10x+1=（2x+1）3+5（2x+1），则原不等式可化为（2x+1）3+5（2x+1）>x3+5x，由此，可令函数f（x）=x3+5x，则f（x）在R上是单调递增函数，而原不等式可化为f（2x+1）>f（x），所以原不等式等价于2x+1>x，解得-10且q≠0）是关于n的指数函数，因此运用函数性质解决数列问题，是对数列概念的本质理解。
例谈函数与方程思想用于数学解题的思路与方法
文献标 识 码 ： Ａ
文章 编号 ： １ ０ ０ ５— ６ ３ ５ １ （ ２ ０ １ ３ ） 一 ０ ９— ０ ０ ７ ３ — ０ １
数学 中的 函数 思 想 是 从 运 动 和 变化 的角 度 去 分 析 和 研究 自 数 研究 函数 的单调 区间 、 极值 及 函数 与方 程 的知识 。① 求 出 函数
＜ Ｕ
ｏ ） ＞ ０ ） ， 则实数 。的取值范围是（
Ａ ． （一∞ ， 一１ ） ｕ（ ２ ， ＋∞ ） Ｃ ． （ 一 ２ ， １ ）
）
手 ） ＿ ， （ 一 ÷） ＝ 一 ÷ 。 ＋ ｌ ÷） ； ， （ ÷） ＇ ． ． ． 一 下 １ ａ ＋ １ ：
在实 际应用 中很 多 问题 常常通 过 建立 函数模 型 来 解决 ， 比如
） 形式， 再 运用 函数 的 有关 性 质 来 解 决 问 题 。在 解数 学 题 中 ， 以 函
Ａ． ０ Ｂ． ７ Ｃ．１ ４ Ｄ． ２１
且． 口 １ ） ＋ ， （ ）＝ １ ４ ． 贝 Ｈ 口 。 ＋ …＋ ＝（
解析： 由， （ ）＝（ 一 ３ ） ＋ 一１ ， 令： ｇ （ ｘ ）＝ ） 一２＝（ 一
从 以下几个方面人手： ①利用 函数与方程的性质解题 ； ②用 函数
为 ２ 的 函 数 ， 在 区 间 ［ 一 ， ］ 上 ） ｛ Ｌ 丝 导， 十 ｌ ０ ≤ ≤ １， 其 中
思想解决数列问题； ③ 函数与方程思想解决几何 问题 ； ④构造 函 ｔ ｌ ， ６ Ｅ Ｒ ， 若 ÷ ） － ， （ ÷） ， 则口 ＋ ２ ｂ 的 值为 — — 。 数 与方 程解 题 等 等。 本文 通 过 举 例 探讨 函数 与 方 程 思 想 用 于 数 解析： 考 查周期 函数 的性 质 ， 确定参 数 的值 。。 ． 。 ） 是 定义 在
函数与方程思想在解题中的运用
量 ， 方程或方程组来解决问题是极常用的思路和策略． 列 例 ２ 等 差 数 列 ｛ ， 差 ｄ ｏ ｝公 ≠０， 是 ｏ 与 ｏ ｎ 。 等 比 中
项 ， ｎ ｎ 。 Ⅱ … ， 成 等 比 数 列 ， 数 列 ｛ ｝ 通 Ⅱ ， ， “， ， ０ 求 的
，
．
回顾
本题信息量 大而杂 ， 理地组 合有 关条 件 和 目 合
程 Ｙ一 （ ＿ ）＝ ， 厂 ０ 函数 有 意 义则 方 程 有 解 ， 程 有 解 则 函 数 有 方
． ．
故 该 数 列 的公 比为 ｑ ＝
ｑ ． １ｔ
＝ ， ＝。 ・ ． ３０ 。 ３
“
又
在 等 差 数 列 中有 。 ＝ｎ ＋（ 一１ ｄ 。 ），
口 １・３
Ｉ ２ Ｘ
Ａ 关 于 Ｐ 的对 称 点 的坐 标 为 Ａ （ ＋ ４ ｙ ． ２ ， ）
３＋ ４ ＝２，
３ ４ ｎ ，
故Ａ Ａ 。 ＝（ ， ） ２４ ． （ ） 曲线 ｃ是 函 数 Ｙ＝ （ 的 图像 ， ２设 ｇ ） 则
不 妨 设 ＝ １， ｌ ， 贝 有 Ｊ
函数 与方 程 、 等式 是通 过 函 数 值 等 于 、 于 或 小 于 零 不 大 而 相 互关 联 的 ， 它们 之 间 既有 区 别 又 有 联 系 ， 因此 函 数 与 方 程 思 想是 研 究 变 量 与 函 数 、 等 与 不 等 过 程 的 基 本 数 学 相
思想 ． 例 １ 已知 方程 （ 一２ ｘ＋ｍ）（ 一２ ｘ＋ｎ ）＝０的 四个
时 ，（ ｇ ）＝ （ ＋ ）一 ＿ ２ ４＝ｌ（ ＋２ ４ 厂 ｇ ）一 ．
回顾
本题 的解法 贯穿着 方程 思想． 当直 接 求 未 知 数
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
高中数学必修一 [论文]函数与方程思想在解题中的应用
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函数与方程思想在解题中的应用摘要：函数与方程思想是中学数学中的基本思想。
其中，函数思想是用变化的观点分析数学问题中的数量关系，建立函数、利用函数的性质解题；方程思想是将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型来解题。
它们还密切相关,有时需要互相转化来解决问题。
本文主要阐述函数与方程思想的地位和作用，函数与方程思想的概念及它们在解集合、不等式、数列等方面的应用，包括运用函数思想、方程思想，函数和方程统一思想。
关键词：数学思想；函数思想; 方程思想; 函数与方程思想数学知识可以记忆一时，但数学思想和方法却随时随地发挥作用，使人受益终身。
近年来我国许多考纲已明确提出不仅要考察学生的数学知识和思维能力，还要考察学生思想方法的运用能力。
其中函数与方程的思想是众多考试考查的最基本的数学思想方法之一。
学生仅仅学习了函数与方程的知识是不够的，应通过解题和对解题过程的反思来领悟函数与方程的思想。
一、函数与方程思想的地位和作用数学思想是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质认识，它是思维加工的产物，比一般的数学概念和数学方法具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻，更本质。
可以说，数学思想是数学知识的核心，是数学的精髓和灵魂。
目前高中阶段主要数学思想有：函数与方程、数形结合、分类与整合、划归与转化、特殊与一般、有限与无限、或然与必然。
函数与方程思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本数学思想。
函数与方程思想作为高中数学思想方法的重点，对学生的要求也越来越高。
考试中心指出：“高考把函数与方程的思想作为七种思想方法的重点来考查，使用选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的交汇处，从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查。
”我们仅仅学习了函数与方程知识，在解决问题时往往是被动的，而建立了函数与方程思想，才能主动地去思考一些问题。
数学与应用数学毕业论文--函数与方程思想在中学数学中的应用
毕业论文（设计）文献综述毕业论文（设计）翻译文章函数与方程思想在中学数学中的应用目录中文摘要、关键词 (Ⅰ)1引言 (1)2 方程中的函数思想 (1)3 函数中的方程观点 (3)4函数与方程思想在中学数学中的应用 (5)4.1函数与方程思想在数列中的应用 (6)4.2函数与方程思想在三角中的应用 (7)4.3函数与方程思想在不等式中的应用 (8)4.4函数与方程思想在解析几何中的应用 (8)4.5函数与方程思想在二项式定理中的应用 (12)4.6函数与方程思想在概率中的应用 (12)4.7函数与方程思想在多元问题中的应用 (13)4.8讨论方程f(x)=0在某个区间上根的个数 (13)4.9函数与方程思想在复数问题中的应用 (14)参考文献 (15)英文摘要、关键词 (Ⅱ)函数与方程思想在中学数学中的应用摘要：函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。
和函数有必然联系的是方程，方程f (x)＝0的解就是函数y＝f (x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y＝f (x)也可以看作二元方程f (x)-y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组)来求得这些量。
这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
在中学数学中，函数与方程是相互联系不可分割的，涉及这两个方面的问题可以相互转化。
许多方程问题常常可以运用函数思想去解决，而不少函数问题又往往须转化为方程来求解。
因此，在解决一些函数和方程问题时，既要善于运用函数思想解决方程问题，又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题。
关键词函数思想，方程思想，应用1引言函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决。
函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用.doc
函数与方程思想之“换元法”在高中数学解题中的应用一、换元法在问题解决中，引入一个或几个新“元”代换问题中的旧“元”，使关于新元的问题能够解决；解决以后再将结果反演回去，得出旧元问题的结果，这种方法叫做换元法，也叫代换法。
“元”可以是任何意义下的基本元素，如未知数、变量、常量、几何元素等，也可以是一个整体，如代数式、图形等。
本节来介绍下在解题过程中常用到的三种换元法。
第一换元法（旧式换为新元）模式：f [ ψ(x) ] = f ( u ) ，其代换为ψ(x) = u .例题1、已知例题1图（1）解：将已知等式改写为例题1图（2）注：解题的关键是能把t + 1/t 凑成t - 1/t 的表达式，所以这是凑法换元。
例题2、求函数例题2图（1）解：例题2图（2）注：由函数y = f ( x ）换元为y = ψ（u），不但转换解析式也要注意转换定义域。
第二换元法（旧元换为新式）模式：f（x）= f [ ψ（u）] ，其代换为x = ψ(u) .在方程的观点上，第二换元法是把方程y = f ( x ) 化为参数方程：x = ψ(u) ，u = f（u）, （u为参数）。
例题3、解不等式例题3图（1）解：例题3图（2）注：这是正切代换，遇见√（1+t ），可作代换t = tanθ , θ∈（-π/2 ，π/2），其中θ 的范围必须设出，保证代换是等价的。
例题4、求函数例题4图（1）解：函数的定义域是[-1/2 ，0 ）∪（0 ，1/2 ] ，例题4图（2）注：这是正弦代换，遇见√（1-x ），可作代换x = sinθ , 或x = cosθ，要根据x 的范围确定θ 的范围。
第三换元法（旧式换为新式，及广义换元）例题5、求函数例题5图（1）解：例题5图（2）例题6、已知复数z 满足∣2z + i∣= 2 , 求∣3z - 4i ∣的取值范围。
解：（轨迹代换法）设W = 3z - 4i （W 是所求轨迹的动点），则z =1/3（W + 4i）（z 是已知轨迹的动点）代入已知轨迹方程∣2z + i∣= 2 ，即∣2/3（W + 4i）+ i∣= 2 , 即∣W +11/2i∣= 3 .∴点W 的轨迹是圆：圆心为C （0，-11/2），半径为r = 3 ，如下图所示例题6图∴∣OA∣≤ ∣W∣≤ ∣OB∣其中∣OA∣= 11/2 - 3 = 5/2 ，∣OB∣= 11/2 + 3 = 17/2 .∴5/2 ≤ ∣3z - 4i∣≤ 17/2 .。
函数与方程思想在高中数学解题中的应用
函数与方程思想在高中数学解题中的应用在高中数学解题中，函数与方程思想是非常重要的。
函数思想是指将一组数据进行描述和表示的思想，是解决许多数学问题的基础。
方程思想是指通过建立方程来求解问题的思想。
函数与方程思想在高中数学解题中的应用主要体现在以下几个方面：
1、理解问题的本质：函数可以帮助我们理解问题的本质，更好地分析问题。
2、转化问题：方程可以帮助我们把问题转化为具体的数学模型，使问题变得更加可解。
3、解决问题：函数与方程的知识可以帮助我们使用数学工具解决问题。
4、描述实际问题：函数与方程可以帮助我们描述实际问题，并使用数学模型来分析问题。
总的来说，函数与方程思想在高中数学解题中起着重要的作用，帮助我们理解问题、转化问题、解决问题、描述实际问题。
函数与方程思想在高中数学解题中的应用
函数与方程思想在高中数学解题中的应用吴㊀强(江苏省宝应县氾水高级中学㊀２２５８１９)摘㊀要:函数与方程的思想是高中数学具体解题当中的基础思想.其中ꎬ函数是应用一动一变思想ꎬ对数学当中存有的变量关系实施分析与研究ꎬ并通过构造函数ꎬ应用函数的性质与图像进行问题的分析㊁转换与解决ꎬ而方程思想是以问题中的数量关系作为入手ꎬ应用数学语言把问题当中的条件转变成数学模型ꎬ从而实现数学问题的高效解决.关键词:高中数学ꎻ函数与方程思想ꎻ数学解题ꎻ教学ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)３３－００３２－０２收稿日期:２０２１－０８－２５作者简介:吴强(１９８３.６－)ꎬ男ꎬ江苏省扬州人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀函数与方程的数学思想通常包含了两方面ꎬ即函数思想和方程思想ꎬ所谓函数思想ꎬ其主要指通过函数的性质与概念进行数学问题的分析㊁转换与解决ꎬ而对于方程思想而言ꎬ则是依据数学问题当中存有的数量关系ꎬ应用学习与掌握的相关数学语言ꎬ将数学问题中已知的条件转变为可有效解决问题的数学模型.在教师教与学生学的过程当中ꎬ通常会遇到很多函数问题ꎬ教师需引导学生通过函数与方程的思想解决与理解相关数学问题ꎬ这不仅能促使学生实现灵活的运用相关解题思想ꎬ而且还能实现高效解题ꎬ从而使学生的解题正确率与效率得到有效提高.㊀㊀一㊁高中数学的函数与方程思想概述函数作为高中数学中的主线ꎬ其主要是通过运动㊁联系㊁变化的观点ꎬ对客观世界当中的关联量存在的关系实施研究与描述ꎬ并构成变量数学的重要分支与基础.函数思想主要是将相关函数知识作为基石ꎬ通过运动变化的数学观点ꎬ对数学对象之间存有的数量关系进行研究ꎬ以促使函数知识的具体应用得到广泛扩展ꎬ并实现解题活动丰富与优化的同时ꎬ为学生解决数学题提供强有力的创新能力ꎬ这就使函数与方程的解题思想逐渐成了高考中的考查热点.而方程思想则指通过数学问题当中的变量存在的直接关系分析ꎬ构建起相应的方程或者方程组ꎬ或通过构造方程ꎬ解方程或方程组ꎬ应用方程性质实现数学问题的分析㊁转化与解决.方程思想通常要求对于相关方程概念具有深刻认知ꎬ在解决数学题的时候ꎬ可通过方程或者方程组对相关数学问题实施分析与处理.对于函数与方程而言ꎬ其虽然是不同的两个数学概念ꎬ但二者却存有密切的联系ꎬ就高中数学的角度而言ꎬ函数与方程的思想通常在这两方面对于解题有着重要作用.首先ꎬ与初等函数有关的性质相联系ꎬ解决与求值㊁求解方程㊁解不等式与参数的取值范围等相关的问题ꎻ其次ꎬ可通过函数关系式与辅助函数的构造ꎬ将需求解出的数学问题转变为探讨函数有关性质的数学问题ꎬ最终实现数学题解答难度的降低.㊀㊀二㊁函数与方程思想在高中数学解题中的应用策略㊀㊀１.函数与方程思想在方程问题解答中的应用高中数学需要学习的函数通常有许多类型ꎬ如对数函数㊁二次函数㊁三角函数等.面对常规的方程问题ꎬ可经过分离变量转变成对应函数ꎬ以函数图像开展分析ꎬ面对较为复杂的方程问题ꎬ可通过换元法进行新函数的构建ꎬ通过新函数的研究找出数学问题的答案.在方程问题的教学中ꎬ不仅需注重理论知识的讲解ꎬ还需它能够结合具体例题ꎬ为学生更好的解题做好示范ꎬ以促使学生充分掌２３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.握与运用函数与方程彼此的转换思路.另外ꎬ数学教师还需引导学生在理论知识学习当中强化习题训练ꎬ并对经典习题进行认真剖析ꎬ从而实现举一反三的教学目的.例如ꎬ已知函数ｆ(ｘ)＝２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ－１ꎬｇ(ｘ)＝ｃｏｓ２ｘ＋ａ(ｃｏｓｘ＋１)－ｃｏｓｘ－３ꎬ设两个函数图像在(０ꎬπ)内至少存有一个公共点ꎬ求ａ的最小值.读懂题目且实施巧妙转化通常是运用函数与方程思想进行解题的关键ꎬ两函数图像在给出的区间中至少存有一个公共点ꎬ也就是若两函数相等的时候ꎬ就能将其转变成方程问题.已知ｆ(ｘ)＝ｇ(ｘ)在(０ꎬπ)内存有解ꎬ也就是２ｃｏｓ２ｘ＋ｃｏｓｘ－１＝ｃｏｓ２ｘ＋ａ(ｃｏｓｘ＋１)－ｃｏｓｘ－３ꎬ将其化简为:ａ(１＋ｃｏｓｘ)＝(ｃｏｓｘ＋１)２＋１.因为ｘɪ(０ꎬπ)ꎬ也就是０<１＋ｃｏｓｘ<２ꎬ那么ꎬａ＝１＋ｃｏｓｘ＋１/(１＋ｃｏｓｘ)ȡ２ꎬ当且仅当１＋ｃｏｓｘ＝１/(１＋ｃｏｓｘ)时ꎬ即ｃｏｓｘ＝０时ꎬａ取最小值２.２.函数与方程思想在求解参数范围中的应用求解参数的范围属于高中数学具体教学当中的典型题型ꎬ在对该类习题进行解答时ꎬ通常有两种思路:第一ꎬ认真审题ꎬ对已知条件当中存有的不等式关系进行深入挖掘ꎬ应用不等式的相关知识对参数范围进行求解ꎻ第二ꎬ通过题干当中存有的等量关系进行对应函数的构建ꎬ并在定义域中求解出函数的具体取值范围.数学教师在对参数范围求解的教学中ꎬ不仅需注重有关的例题选择与讲解ꎬ而且还需促使学生深刻理解与掌握函数与方程思想的运用步骤ꎬ并明确相关注意事项ꎬ引导与鼓励学生积极归纳总结出函数与方程思想在具体解题中的运用技巧ꎬ从而实现高效解题.已知ａ㊁ｂ是正数ꎬ满足ａｂ＝ａ＋ｂ＋３ꎬ求ａｂ的取值范围.㊀本题的题干较为简单ꎬ已知的条件十分明了ꎬ其解题的方法也比较多ꎬ但关键是找出最为简便的解法.根据题干的已知条件可知ꎬ其涉及两个参数的和与两个参数的积ꎬ据此可以联想出一元二次方程的两根之间的关系ꎬ通过函数知识加以解答.假设ａｂ＝ｔꎬ依据ａｂ＝ａ＋ｂ＋３可知ａ＋ｂ＝ｔ－３ꎬ因此ꎬ可进行方程构造:ｘ２－(ｔ－３)ｘ＋ｔ＝０ꎬ明显可知ａꎬｂ是其两个正根ꎬ由此可得出下述关系:Δ＝(ｔ－３)２－４ｔȡ０ꎬｔ－３>０ꎬｔ>０ꎬ解得:ｔȡ９.即ａｂ的取值范围是[９ꎬ＋¥).３.函数与方程思想在不等式问题解答中的应用高中数学的不等式问题通常与恒成立问题有着密切联系ꎬ不等式求解的时候ꎬ不仅需注重不等式的基本知识ꎬ还需注重通过函数与方程思想的运用实施解答.经过移项构造新函数㊁分离参数等各种方式ꎬ通过函数知识求取函数的最值属于较为常见的一种解题思路.不等式所反映出的不等量关系ꎬ通常需以等量关系进行解决ꎬ即方程.函数和不等式之间的互相转换ꎬ就函数ｙ＝ｆ(ｘ)而言ꎬ在ｙ>０的时候ꎬ就能转变成不等式ｆ(ｘ) >０ꎬ通过函数的性质与图像相辅助ꎬ就能实现不等式相关问题的解决ꎬ且函数性质的研究也和不等式有着直接关系.例如ꎬ设不等式２ｘ－１>ｍ(ｘ２－１)对满足｜ｍ｜ɤ２的所有实数ｍ都成立ꎬ求ｘ的取值范围.学生在对本题解决时ꎬ依据其思维定势ꎬ通常会将此题当做是与ｘ有关的不等式探讨ꎬ但是ꎬ如果换个角度ꎬ将ｍ当做变量ꎬ就是与ｍ有关的一次不等式ꎬ即(ｘ２－１)ｍ－(２ｘ－１)<０在ｍɪ[－２ꎬ２]上恒成立ꎬ由此可转变成ꎬ设ｆ(ｍ)＝(ｘ２－１)ｍ－(２ｘ－１)ꎬ那么问题就能转变成函数ｆ(ｍ)的值在ｍɪ[－２ꎬ２]上为负值ꎬ则参数ｘ需满足条件ｆ(－２)<０ꎬｆ(２)<０.㊀综上所述ꎬ函数与方程思想作为高中数学解题中的一种重要思想ꎬ其在数学解题中有着较高的应用率.因此ꎬ在数学解题的教学中ꎬ教师需注重引导学生深刻掌握该思想ꎬ将其灵活运用于具体解题中ꎬ并在函数与方程思想的运用中ꎬ注重各种类型数学题的汇总ꎬ通过经典例题的分析ꎬ准确理解与掌握函数与方程思想位于不同题型当中的运用技巧与方法ꎬ从而使学生的解题效率与准确率得到有效提高.㊀㊀参考文献:[１]栾秀平ꎬ崔贤顺ꎬ朴勇杰.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].林区教学ꎬ２０１７(０３):７９－８０.[２]卓雅.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].中学数学ꎬ２０１７(１５):５７－５９.[３]段蕾.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].中学生数理化(自主招生)ꎬ２０２０(４):９.[４]窦剑眉.高中数学重要的思想方法 函数与方程思想[Ｊ].数学大世界(小学五六年级版)ꎬ２０１６(９Ｘ):６２.[５]郭国山.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].中学生数理化(学研版)ꎬ２０２０(０１):１０.[责任编辑:李㊀璟]３３Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
函数与方程思想在解题中的应用
课例研究KELIYANJIU函数与方程思想在解题中的应用山东省荷泽市曹县第一中学杨玉丽【摘要】本文以新课程改革与素质教育为研究背景，将提高学生的解题能九培养学生的数学学科素养作为研究目的，围绕高中数学课程教学中函数与方程思想在解题中的应用，从不等式、数列、立体几何等方面展开分析。
【关键词】函数与方程思想高中数学解题函数思想主要指的是学生能基于运动、变化、集合、对应的观点去分析数学问题中所存在的数量关系,能基于函数的性质、函数图形去转化数学问题、解答数学问题。
而方程思想主要指的是学生在解决数学问题的过程中，将未知量设定去分析未知量与已知量之间的关系，即利用方程解决实际的数学问题。
从本质上讲，函数与方程思想就是将两种思想合并，利用函数与方程之间的密切联系去解决实际的数学问题。
一、函数思想与方程思想的联系为了更好地分析函数思想与方程思想之间存在的密切联系，在求解某些数学问题时，函数思想与方程思想是相互渗透的。
以函数y=/(0)为例：方程_/•&)=0的根为函数y=/&)的图像与%轴交点的横坐标；函数y=/(%)也可以看做方程/(%)-y=0。
二、函数与方程思想在解题中的应用意义函数与方程思想具备一定的工具性,在数学解题的过程中,学生需要具备两个关键因素,第一关键因素为学生的数学知识基础，第二关键因素为学生的数学解题思想。
学生作为主体参与数学解题活动,其知识基础与解题思想则决定着他们参与解题活动的效果。
从数学学科与学生发展双方来看，高中数学学科作为重要学科，其考试分数影响着学生的发展，历年高考数学试题中关于函数与方程方面的数学问题所占比例较大，因此，学生掌握并在解题中能够灵活地应用函数与方程思想，不仅会有利于进一步提升学生解题能力，还有助于学生在考试中获取高分。
三、函数与方程思想方法在解题中的应用以例题分析的方式对函数与方程思想方法在高中数学解题中的应用展开研究,具体内容如下所述: (—)函数与方程转化例题:函数f(X)^x2-4\x\+2-k有两个零点，求％的取值范围。
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函数与方程思想在解题中的应用
【思想方法诠释】
函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。
而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
1．函数的思想
函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。
经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。
2．方程的思想
方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
3．函数思想与方程思想的联系
函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)=0，就是求函数y=f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y=f(x)的正负区间，再如方程f(x)=g(x)的交点问题，也可以转化为函数y=f(x)-g(x)与x轴交点问题，方程f(x)=a有解，当且公当a属于函数f(x)的值域，函
数与方程的这种相互转化关系十分重要。
4．函数与方程思想解决的相关问题
（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：
①借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；
②在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
【核心要点突破】
要点考向1：运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1：若a、b是正数，且满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。
要点考向2：运用函数与方程思想解决方程问题
例2：已知函数2
11
()2cos cos
cos 2,222
x f x x x =+-2()cos (1cos )cos 3.g x x a x =++--或()y f x =与()y g x =的图象在(0,)π内至少有一个公共点，试求a 的取值范围。
要点考向3：运用函数与方程思想解决不等式问题
例3：（1）已知
且
那么（）
（2）设不等式对满足m ∈[-2，2]的一切实数m 都成立，求x 的取值
范围．
要点考向4：运用函数与方程思想解决最优化问题
例4：图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CmD是半圆，凹槽的横截面的周长为4.已知凹槽的强度与横截面的面积成正比，比例系数为3,设AB=2x,BC=y.
（Ⅰ）写出y关于x函数表达式，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）求当x取何值时，凹槽的强度最大.
【跟踪模拟训练】
一、选择题
1.已知正数x,y满足xy=x+9y+7，则xy的最小值为( )
(A)32 (B)43 (C)49 (D)60
2．方程有解，则m的最大值为（）
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)-2
3.一个高为h0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，
满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为h时，鱼缸内剩余水的体积
为V,则函数V=f(h)的大致图象可能是（）
4.对任意a∈［-1,1］，函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零，则x的取值范围是( )
(A)1<x<3 (B)x<1或x>3 (C)1<x<2 (D)x<1或x>2
6．已知圆上任意一点P(x,y)都使不等式恒成立，则m的取值
范围是（）
A B C D
-+∞ -∞ +∞ -+∞
.[21,).(,0].(2,).[12,)
二、填空题
7．的定义域和值域都是[1，k]，则k=
8．已知数列中，，若数列的前30项中最大项是，最小项是，则m= ,n= 9.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时，f′(x)·g(x)+f(x)g′(x)>0,
且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是______.
三、解答题
10.已知函数f(x)=ln(2x)和g(x)=2ln(2x+m-2)，m∈R的图象在x=2处的切线互相平行.
(1)求m的值；(2)设F(x)=g(x)-f(x).当x∈［1,4］时,F(x)≥2tln4恒成立,求t的取值范围.
习题答案
1．C 2．A 3. A 4．B 6．A 7．3 8．10、9 9．（-∞,-3）∪（0，3）10.（1）6 (2) t≤1。