一类约束矩阵方程的迭代解法
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（＿）计 算 ｊ 一 十 ｌ ’ ｌ ｌ ． ｌ ’
Ｑ 若 Ｒ抖 一 。 ，
．
（ｉ ｉ）计 算 Ｒ 一 Ｂ—Ａｘ Ｐ － ＡＴ Ｑ 一 ｉ 抖 抖 ， 抖 一 Ｒ抖 ， 抖 １（ 抖 ＋ｓＰ ｓ ） Ｐ 一
＊
收 稿 日期 ：０ ０ ８—０ ２ １ —０ １
＋ ｌ Ｅ ＫＳ ， ＫＳ ” ｘ ∈ ， Ｒ 即 Ｒ 是 的子空 间．
构造 迭代 算 法 Ａ：
（ｉ 给定 ｘ Ｓ 椒 ， Ｒ ： Ｂ—Ａ Ｐ ＝ Ａ Ｒ ，１ 去（ｌ （ ， 一 １ ） ｌ Ｋ Ｒ 计算 ｌ Ｅ ｘ ，１＝ １Ｑ ＝ ＝ Ｐ ＋ＳＰ Ｓ）忌： ．
３ ０
吉首大学学报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ 卷 １
戤 有 Ｒｋ ｌ≠ ０， ＋ ＋ ｋ ｌ一 ０， 停 １ ； 则 意 ： ｋ十 １ 转 （¨） 则 １ 台 ＝ 一 ， ．
由迭 代算 法 Ａ 及 引理 ２显然可 知 Ｑ ∈ ＫＳ ， ∈ ＫＳ 舣 ， １ ２ …． Ｒ ”Ｘｉ Ｒ ”ｉ一 ， ， 引理 ３ 对 迭代算 法 Ａ 中 的 Ｒ ， ， ｉ Ｑ ，， 一 １ ２ … ， ， ， 有 ｔ（ Ｒ ）＝ ｔ（ ｊ 一 ｒ鼢 Ｊ ｒＲ ） ｔ（ ） ｒＱ ．
问题 Ⅱ 设 问题 Ｉ 相容 ， 且其 解 集 合 为 ｓ ， Ｘｏ∈ Ｒ ， 求 ∈ ｓ ， 得 Ｉ 一 ｘ０Ｉ 使 １ Ｉ— ｍｉ ｘ — ｎＩ Ｉ
Ｘ ∈ ＳＥ
ｘ０Ｉ 其 中 ｌ ｌ Ｆ ｏ ｅ ｉｓ ， Ｉ ｌ・ ｌ为 ｒ ｂ ｎｕ 范数 ， ｓ为 ＫＳ 椒” ＡＫＳ ” Ｒ 或 Ｒ ． 这 类 问题 的研 究情 况见 文献 ［ １—６ ． ］
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资助 项 目（０ ７０ ６ １６ １ ２ ）
作者 简 介 ： 汤
赛 （９ ８ ） 女 ， 南 醴 陵 人 ， 沙理 工 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院本 科 生 ， 要 从 事 数 值 代 数 研 究 ； １８ 一 ， 湖 长 主 周
富 照 （９ ４一 ， ， 南 涟 源 人 ， 沙 理 工 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院教 授 ， 要 从 事 数 值 代 数 研 究 ． １ ６ ）男 湖 长 主
示 所有 阶次反 对称 矩 阵 的集合 ；ｒＡ） ｔ（ 表示 矩 阵 Ａ 的迹 ；ｌ・Ｉ ｌ Ｉ表示 矩 阵的 Ｆ ｏ ｅ ｉｓ ｒ ｂ ｎｕ 范数 ；ｅ （ ） ｖ ｃ ・ 表示
矩 阵 的拉直 映射 ， Ｂ表示 矩 阵Ａ与 Ｂ的 Ｋｒｎ ｃ ｅ 积 ，ｅ （ ＝ （ Ｔ 口 … ， ， 中 Ａ＝ （ １ａ ．， Ａ ｏ ｅｋ ｒ ｖ ｃＡ） ＝ ａ ， ， 口 ） 其 ＝ ＝ ｎ ， ． ＝
引理 ４ 对迭 代算 法 Ａ 中的 Ｒ ， ｌ志≥ ２ 有 Ｑ ， ，
关键 词 ： 束 矩 阵 方 程 ； 代 解 法 ； 小 范数 解 ； 佳 逼 近 解 ； 对 称 矩 阵 约 迭 极 最 次
中图分类号 ： ５． １ Ｏ１ １ ２ 文献标志码 ： Ａ
令 Ｒ 表示 所 有 Ｍ ， ∈ Ｒ 实矩 阵 的集合 ； Ｒ 表示 所有 阶次 对称 矩 阵的集 合 ￣ ＫＳ 表 ” Ｎ ＫＳ Ａ Ｒ
２１ ０ ０年 ９月
文 章编 号 ：０ ７—２ ８ （０ ０ ０ ０ ２ —０ １０ ９ ５ ２ １ ） ５— ０ ９ ５
一
类 约束 矩 阵 方 程 的迭 代 解 法
汤 赛 ， 富 照 周
（ 沙 理 工 大 学 数 学 与计 算 科 学 学 院 ， 南 长 沙 长 湖 ４０ ７ ） １ ０ ６
摘
要 ： 次 对 称 和 次 反 对 称 矩 阵 约束 下 一 类 矩 阵 方 程 的 迭 代 解 法进 行 了讨 论 ， 用 次 对 称 矩 阵和 次 反 对 称 矩 阵 的 结 对 利
构 和 性 质 ， 别 构造 了迭 代 算 法 ， 用 矩 阵 范 数 的 性 质 和 拉 直 算 子证 明 了迭 代 算 法 的有 限 步 收 敛 性 ， 而得 到 了矩 阵 方程 的 分 并 从 极小范数解和最佳逼近解．
１ 当 Ｊ为 ＫＳ Ｓ
时 问题 工 的解 和 问题 Ⅱ 的解
引理 １３ 矩 阵 ｘ Ｒ ［ ］ Ｅ ＫＳ 的充要 条件 是 Ｘ 一 ＳＸＳ ．
引 理 ２。 若 矩 阵 ｘ ∈ Ｒ ， ｘ＋ ｓｘ Ｅ ＫＳ ， ［ ” 则 ｓ Ｒ 且若 矩 阵 ｘ， ｙ∈ ＫＳ ，１ Ｒ ，２∈ Ｒ， 则 １ ｘ
口 ）∈ Ｒ ， ∈ Ｒ （ ａ 一 １ ２ … ， ； ， ， ） Ｊ是 阶单位 矩 阵 ， 是 Ｉ的第 ｉ （ ｅ 列 一 １ ２ … ， ， 一 （ ｅ １ ， ， ）Ｓ ｅ ，， ， ｒ
…
，１ ． ｅ）
笔 者主要 研 究下 列 问题 的迭代 解法 ：
问题 Ｉ 已知 Ａ， ∈ Ｒ ， Ｒ ， ｘ ∈ Ｓ 使 Ａ ＝ Ｂ Ｂ Ｓｃ 求 ， Ｘ ＝ ． ＝
证 ｆ・一（－ 斗 一（－（ 一 ） ）ｔ 一 明ｔ Ｊ ｔ Ａ Ｊ ｔＢＡｉ｝ ） 一（ （Ｒ ｒ ｘ）） ｒ Ｘ ｒ Ｒ） （ Ｂ Ｔ （ ＋ Ｒ Ｒ （ Ｂ
Ｒ） ｊ 一 ｔ（ Ｔ ｒＲ Ｒ ｔ（Ａ ） ｒ （ Ｑｆ ｔ（ ｆ ｒＱＰ － ｔ（ ｒ ） 一 ｔ（ ）一 ｒＱ
第 ３ １卷
第 ５期
吉首大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｒ ａ ｆＪｓ ｏｕＵ ｎｖ ｒ ｉｙ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅＥｄｉｏ ｏ ｎ ｌ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｉｈ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｏ ｔ ｎ） ｉ
Ｖ０１ １ ＮＯ ５ ．３ ．
Ｓｅ ｔ ２ １ ｐ． ０ ０
Ｑ 若 Ｒ抖 一 。 ，
．
（ｉ ｉ）计 算 Ｒ 一 Ｂ—Ａｘ Ｐ － ＡＴ Ｑ 一 ｉ 抖 抖 ， 抖 一 Ｒ抖 ， 抖 １（ 抖 ＋ｓＰ ｓ ） Ｐ 一
＊
收 稿 日期 ：０ ０ ８—０ ２ １ —０ １
＋ ｌ Ｅ ＫＳ ， ＫＳ ” ｘ ∈ ， Ｒ 即 Ｒ 是 的子空 间．
构造 迭代 算 法 Ａ：
（ｉ 给定 ｘ Ｓ 椒 ， Ｒ ： Ｂ—Ａ Ｐ ＝ Ａ Ｒ ，１ 去（ｌ （ ， 一 １ ） ｌ Ｋ Ｒ 计算 ｌ Ｅ ｘ ，１＝ １Ｑ ＝ ＝ Ｐ ＋ＳＰ Ｓ）忌： ．
３ ０
吉首大学学报（ 自然 科 学 版 ）
第 ３ 卷 １
戤 有 Ｒｋ ｌ≠ ０， ＋ ＋ ｋ ｌ一 ０， 停 １ ； 则 意 ： ｋ十 １ 转 （¨） 则 １ 台 ＝ 一 ， ．
由迭 代算 法 Ａ 及 引理 ２显然可 知 Ｑ ∈ ＫＳ ， ∈ ＫＳ 舣 ， １ ２ …． Ｒ ”Ｘｉ Ｒ ”ｉ一 ， ， 引理 ３ 对 迭代算 法 Ａ 中 的 Ｒ ， ， ｉ Ｑ ，， 一 １ ２ … ， ， ， 有 ｔ（ Ｒ ）＝ ｔ（ ｊ 一 ｒ鼢 Ｊ ｒＲ ） ｔ（ ） ｒＱ ．
问题 Ⅱ 设 问题 Ｉ 相容 ， 且其 解 集 合 为 ｓ ， Ｘｏ∈ Ｒ ， 求 ∈ ｓ ， 得 Ｉ 一 ｘ０Ｉ 使 １ Ｉ— ｍｉ ｘ — ｎＩ Ｉ
Ｘ ∈ ＳＥ
ｘ０Ｉ 其 中 ｌ ｌ Ｆ ｏ ｅ ｉｓ ， Ｉ ｌ・ ｌ为 ｒ ｂ ｎｕ 范数 ， ｓ为 ＫＳ 椒” ＡＫＳ ” Ｒ 或 Ｒ ． 这 类 问题 的研 究情 况见 文献 ［ １—６ ． ］
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资助 项 目（０ ７０ ６ １６ １ ２ ）
作者 简 介 ： 汤
赛 （９ ８ ） 女 ， 南 醴 陵 人 ， 沙理 工 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院本 科 生 ， 要 从 事 数 值 代 数 研 究 ； １８ 一 ， 湖 长 主 周
富 照 （９ ４一 ， ， 南 涟 源 人 ， 沙 理 工 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院教 授 ， 要 从 事 数 值 代 数 研 究 ． １ ６ ）男 湖 长 主
示 所有 阶次反 对称 矩 阵 的集合 ；ｒＡ） ｔ（ 表示 矩 阵 Ａ 的迹 ；ｌ・Ｉ ｌ Ｉ表示 矩 阵的 Ｆ ｏ ｅ ｉｓ ｒ ｂ ｎｕ 范数 ；ｅ （ ） ｖ ｃ ・ 表示
矩 阵 的拉直 映射 ， Ｂ表示 矩 阵Ａ与 Ｂ的 Ｋｒｎ ｃ ｅ 积 ，ｅ （ ＝ （ Ｔ 口 … ， ， 中 Ａ＝ （ １ａ ．， Ａ ｏ ｅｋ ｒ ｖ ｃＡ） ＝ ａ ， ， 口 ） 其 ＝ ＝ ｎ ， ． ＝
引理 ４ 对迭 代算 法 Ａ 中的 Ｒ ， ｌ志≥ ２ 有 Ｑ ， ，
关键 词 ： 束 矩 阵 方 程 ； 代 解 法 ； 小 范数 解 ； 佳 逼 近 解 ； 对 称 矩 阵 约 迭 极 最 次
中图分类号 ： ５． １ Ｏ１ １ ２ 文献标志码 ： Ａ
令 Ｒ 表示 所 有 Ｍ ， ∈ Ｒ 实矩 阵 的集合 ； Ｒ 表示 所有 阶次 对称 矩 阵的集 合 ￣ ＫＳ 表 ” Ｎ ＫＳ Ａ Ｒ
２１ ０ ０年 ９月
文 章编 号 ：０ ７—２ ８ （０ ０ ０ ０ ２ —０ １０ ９ ５ ２ １ ） ５— ０ ９ ５
一
类 约束 矩 阵 方 程 的迭 代 解 法
汤 赛 ， 富 照 周
（ 沙 理 工 大 学 数 学 与计 算 科 学 学 院 ， 南 长 沙 长 湖 ４０ ７ ） １ ０ ６
摘
要 ： 次 对 称 和 次 反 对 称 矩 阵 约束 下 一 类 矩 阵 方 程 的 迭 代 解 法进 行 了讨 论 ， 用 次 对 称 矩 阵和 次 反 对 称 矩 阵 的 结 对 利
构 和 性 质 ， 别 构造 了迭 代 算 法 ， 用 矩 阵 范 数 的 性 质 和 拉 直 算 子证 明 了迭 代 算 法 的有 限 步 收 敛 性 ， 而得 到 了矩 阵 方程 的 分 并 从 极小范数解和最佳逼近解．
１ 当 Ｊ为 ＫＳ Ｓ
时 问题 工 的解 和 问题 Ⅱ 的解
引理 １３ 矩 阵 ｘ Ｒ ［ ］ Ｅ ＫＳ 的充要 条件 是 Ｘ 一 ＳＸＳ ．
引 理 ２。 若 矩 阵 ｘ ∈ Ｒ ， ｘ＋ ｓｘ Ｅ ＫＳ ， ［ ” 则 ｓ Ｒ 且若 矩 阵 ｘ， ｙ∈ ＫＳ ，１ Ｒ ，２∈ Ｒ， 则 １ ｘ
口 ）∈ Ｒ ， ∈ Ｒ （ ａ 一 １ ２ … ， ； ， ， ） Ｊ是 阶单位 矩 阵 ， 是 Ｉ的第 ｉ （ ｅ 列 一 １ ２ … ， ， 一 （ ｅ １ ， ， ）Ｓ ｅ ，， ， ｒ
…
，１ ． ｅ）
笔 者主要 研 究下 列 问题 的迭代 解法 ：
问题 Ｉ 已知 Ａ， ∈ Ｒ ， Ｒ ， ｘ ∈ Ｓ 使 Ａ ＝ Ｂ Ｂ Ｓｃ 求 ， Ｘ ＝ ． ＝
证 ｆ・一（－ 斗 一（－（ 一 ） ）ｔ 一 明ｔ Ｊ ｔ Ａ Ｊ ｔＢＡｉ｝ ） 一（ （Ｒ ｒ ｘ）） ｒ Ｘ ｒ Ｒ） （ Ｂ Ｔ （ ＋ Ｒ Ｒ （ Ｂ
Ｒ） ｊ 一 ｔ（ Ｔ ｒＲ Ｒ ｔ（Ａ ） ｒ （ Ｑｆ ｔ（ ｆ ｒＱＰ － ｔ（ ｒ ） 一 ｔ（ ）一 ｒＱ
第 ３ １卷
第 ５期
吉首大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕｒ ａ ｆＪｓ ｏｕＵ ｎｖ ｒ ｉｙ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅＥｄｉｏ ｏ ｎ ｌ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｉｈ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｏ ｔ ｎ） ｉ
Ｖ０１ １ ＮＯ ５ ．３ ．
Ｓｅ ｔ ２ １ ｐ． ０ ０