高三数学二轮复习专题二

专题二 万能答题模板——助你解题得高分

数学解答题题型解读

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．

针对不少同学答题格式不规范，出现“会而不对，对而不全”的问题，规范每种题型的万能答题模板，按照规范的解题程序和答题格式分步解答，实现答题步骤的最优化．

万能答题模板以数学方法为载体，清晰梳理解题思路，完美展现解题程序，把所有零散的解题方法与技巧整合到不同的模块中，再把所有的题目归纳到不同的答题模板中，真正做到题题有方法，道道有模板，使学生从题海中上岸，知点通面，在高考中处于不败之地，解题得高分．

模板1 三角函数的性质问题

例1 已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭

⎪⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．

审题破题 (1)由x ＝x 0是y ＝f (x )的对称轴可得g (x 0)取到f (x )的最值；(2)将h (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．

解 (1)f (x )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，

所以2x 0＋π

6＝k π (k ∈Z )，

即2x 0＝k π－π

6

(k ∈Z )．

所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝

⎛

⎭⎪⎫kπ－π6，k ∈Z .

当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝1－14＝3

4.

当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝5

4.

(2)h (x )＝f (x )＋g (x )

＝12[1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6]＋1＋12sin 2x

＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋3

2

＝12sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3＋32.

当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π

2 (k ∈Z )，

即k π－5π12≤x ≤k π＋π

12

(k ∈Z )时，

函数h (x )＝12sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3＋32是增函数．

故函数h (x )的单调递增区间为

⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－5π12，kπ＋π12 (k ∈Z )．

第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，即化为“一角、 一次、一函数”的形式；

第二步：由y ＝sin x 、y ＝cos x 的性质，将ωx ＋φ看做一个整体，解不等式，求角的 范围或函数值的范围；

第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．

跟踪训练1 已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1.

(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的最大值及最小值；

(3)写出函数f (x )的单调递增区间．

解 f (x )＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x ·cos x ＋1

＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＋1 ＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1

＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为

2π

2

＝π. (2)∵－1≤sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1≤3.

∴当2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π

12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值3；

当2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π

12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1.

(3)由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π

2＋2k π，k ∈Z ，

得－5π12＋k π≤x ≤π

12

＋k π，k ∈Z .

∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋kπ (k ∈Z )． 模板2 三角函数与向量、三角形 例2

在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且

3(tan A －tan

B )＝1＋tan A ·tan

B ，又已知向量m ＝(sin

A ，cos

A )，n ＝(cos

B ，sin

B )，求|3m －2n |的取值范围．

审题破题 由已知A ，B 关系式化简，利用向量的数量积求出|3m －2n |并化简为一个角的三角函数形式．

解 因为3(tan A －tan B )＝1＋tan A ·tan B ，

所以tan A －tan B 1＋tan A·tan B ＝33，即tan(A －B )＝33

，

又△ABC 为锐角三角形，则0

2

，

所以－π2

又|3m －2n |2＝9m 2＋4n 2－12m·n

＝13－12sin(A ＋B )＝13－12sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2B ＋π6.

又0

2

，

所以π6

.

所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以|3m －2n |2∈(1,7)． 故|3m －2n |的取值范围是(1，7)．

第一步：进行三角变换，求出某个角的值或者范围；

第二步：脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数 问题；

第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．