三角形法计算截面特性

A123
0 A123 0
x22 y22 x32 y32 0
11
结构设202计0年原8月理18日星期二
8 9
10 5
11 4
12
3
1
2
7 6
A
n1
Ai
i 1
S
x
n1 i 1
Ai
d
i x
Yx
Sx A
n1
n1
I
o
i1
I oi
i1
Ai
d
i x
Yx
2
12
结构设202计0年原8月理18日星期二
H
hH
3
h
w 2
1 2
H
h
w
Biblioteka Baidu
H
3
h
A
1 3
y2
y3
2
y1
7
结构设202计0年原8月理18日星期二
运用梯形公式计算任意三角形对底边的惯性矩
Y 3
H
2
h
1
4
w
O
X
123
Iw
143
Iw
142
Iw
H3 4
0
w 3
h3 4
0
w 3
H 3 h3 4
w 3
1 2
H
h
w
H 2 Hh h2
Yx123
1
3
y2
y3
I 123 0
A 18
y32 y2 y3 y22
1
2
三角 形
A Io Yx
1 △123
2 △134
3
4
△145 △156
15
A Yx Io
结构设202计0年原8月理18日星期二
4 5
6
3
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
Yx123
1
3
y2
y3
I 123 0
Yx123
1 3
y2
y3
2
y1
w
h
4
I
123 x
1 6
A
y32 y2 y3 y22
A1 9
y2 y3 2 y1 2
X
将坐标轴取在1点 x1 0, y1 0
3
H
1O
中性轴
2
w
h
4
X
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
Yx123
1 3
y2 y3
I
123 x
5
4
6
3
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
Yx123
1
3
y2
y3
I 123 0
A 18
y32 y2 y3 y22
1
2
节点 1
X
0
Y
0
2
3
4
5
6
0.5 0.5 1.25 -0.75 0
0
2
2.5 2.5
2
14
结构设202计0年原8月理18日星期二
4 5
6
3
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
x3 y3
x2 y2
y1
y2
x2
x1
y3
y2
1 2
x3
x2
y1
y2
x1
x2
y3
y2
1 2
x2
x1
y3
y1
x3
x1
y2
y1
6
结构设202计0年原8月理18日星期二
运用梯形公式计算任意三角形对底边的面积矩
Y 3
H
2
h
1 O
4
w
X
123
Sw
143
Sw
142
Sw
H2 3
0
w 2
h2 3
0
w 2
A 18
y32 y2 y3 y22
10
结构设202计0年原8月理18日星期二
Y
证明：逆时针编写三角形节点可确保截面
面积为“正”！
3
2
证明：设α=∠X12，β= ∠X13
1O
X
因为节点1、2、3按逆时针方向编写，显然有α＞ β， α -β ＞0
因为α -β 为三角形内角，得α -β ＜2π
因为0＜ α -β ＜ 2π，得sin(α -β )＞0
A 18
y32 y2 y3 y22
1
2
三角形
A Io Yx
1 △123
0.5 0.1111 0.6667
2 △134 -0.625 -0.1823
1.5
3 △145
2.5 0.8681 1.6667
4 △156 -0.75 -0.2188
y1
y2
x2
x1
H y3 y1
5
h y2 y1 结构设202计0年原8月理18日星期二
Y
H
1 O
计算任意三角形面积
3
A123 A143 A142 1 w H 1 w h
2
2
1 2
wH
h
1 2
w
y3
y2
2
h
w
4
w
x3 y3
x2 y2
y1
y2
x2
x1
X
A123
1 2
sin 0 sin cos cos sin 0
sin y3 cos x2
x32 y32 x32 y32
y3
x2 x3
y2 0
x2 y3 x3 y2 A1230
x32 y32 x22 y22
x32 y32 x22 y22
x22 y22 x32 y32
T形算例
5
4
A123
1 2
x2 y3 x3 y2
6
3
Yx123
1 3
y2 y3
I
123 x
A123 6
y32 y2 y3 y22
1
2
A
n1
Ai
i 1
Sx
n1 i 1
Ai
d
i x
Yx
Sx A
n1
n1
I
o
i1
I oi
i1
Ai
d
i x
Yx
2
13
结构设202计0年原8月理18日星期二
2
结构设202计0年原8月理18日星期二
8 9
10 5
7 6
左图为常见T梁横断面。
截面性质具体包括：
中性轴
面积A（m2）
截面惯性矩I （m4）
中性轴位置Ys和Yx（m）
11 4
12
3
由于有翼板和马蹄的存在， 无法直接应用简单的矩形截面 性质计算公式。
1
2
三角形法进行截面性质的计算
把断面划分成若干个有共同顶点的三角形小块，计算每个三角形的截 面性质，然后将每个三角形的性质累加，获得整个断面的截面性质。
123
Io
123
Iw
AYx2
1 A 6
y32 y2 y3 y22
A1 9
y2 y3 2 y1 2
9
结构设202计0年原8月理18日星期二
任意三角形截面性质计算公式汇总
Y
H
1 O
Y
3 中性轴
A123
1 2
x2 x1 y3 y1 x3 x1 y2 y1
2
3
结构设202计0年原8月理18日星期二
任意三角形截面性质计算
Y 3
H
1 O
2 w
4
h 4
X 结构设202计0年原8月理18日星期二
计算任意三角形面积
Y 3
H
1
O
l23：x
x3 y3
x2 y2
y
y2
x2
2
h
4
w
x4
x3 y3
x2 y2
X
y1 y2
x2
w
x4
x1
x3 y3
x2 y2
A
H 2 Hh h2
1 A 6
y32 y2 y3 y22
8
结构设202计0年原8月理18日星期二
计算任意三角形中性轴位置和绕中性轴惯性矩
Y 3
中性轴
H
2
h
1
4
w
O
X
Y 123 x
S 123 w
A123
A123 1 3
y2 A123
y3
2 y1
1 3
y2 y3 2 y1
第一章 断面几何特性计算
1
2020年8月18日星期二
本节主要内容
1、引言（说明计算结构截面特性的必要性）。 2、介绍三角形法计算截面性质整体思路。 3、推导任意三角形截面性质计算方法和公式。 4、归纳三角形法计算截面性质步骤及方法。 5、给出三角形法计算截面性质程序流。 6、复习使用CAD计算截面性质。