现代心理与教育统计学第九章：方差分析

X
k n j 1 i 1
ij
X t X ij X j n X j X t
2 j 1 i 1 j 1

2
k
n


k


2
根据上述可得：
令SST X ij X t ; SSW X ij X j
j 1 i 1 k j 1 i 1
例如：取A组X4=10这个被试。 组间变异=13-6.67=6.33

组内变异=10-13=-3
可以知道：总变异=组间变异+组内变异
所以总变异=组间变异+组内变异

一般而言:

1.组间变异是我们想要的结果，即实验条件产生了作用才会令
各组之间的数值存在差异。它越大越好！

2.组内变异不是我们研究的目的，但是需要分解它，借助它分
第二节 完全随机设计的方差分析

简介： 完全随机设计方差分析就是对单因素组间设计的方差分析。 在这种实验设计中，只有一个实验变量，这个实验变量有
多个水平，每个被试只接受一种实验处理。
一、各实验处理组样本容量相同

各个样本容量相等时意味着对于每一种实验处理它们的被
重复次数相同，或者说被试相同。
对公式做整理
X
n i 1
ij
Xt
X
2 n i 1
ij
X j X j Xt

j

2

利用平均数离差和等于零，上式可以简化为
X
n i 1
ij
Xt
X
2 n i 1
ij
Xj
nX
2
Xt

2

然后将K组的这种关系全加起来：
析实验是否成功。组内变异其实是实验的误差。它越小越好！

3.那章老师的问题来了：组间差异多大，组内差异多小才好？
（二）数据变异的数学层面的分解

1.数学上如何表示变异？
X ij 总变异的数学意义是每一原始分数（ ）与总平均数（ X t）的
离差，记为： ( X ij
Xt )

组间变异的数学意义是每一组的平均数（ X j）与总平均数的离
2
n nk 6400 792 258.67 12
SSW X 2
SSB
X X
2
2
2704 400 64 (52 20 8) 2 ( ) 4 4 4 3 4
X
n
2
816 792 24
（二）自由度的分解

B 5 3 4
C 5 6 7
1.计算SST，SSB，SSW
2.计算MSB，MSW

3.检验F
三、方差分析的基本假定
1. 总体正态分布
2. 变异的相互独立性
3. 各实验处理内方差要一致（最重要）
四、方差分析中的方差齐性检验

方差齐性检验就是检验各总体方差是否一致的统计方法。 其虚无假设是假设各个总体的方差相等（即无显著差异） 或是各个样本方差来自相同的总体，其表达方式记为：
1

2.计算各组的方差
S
2 A
696 522 / 4 5 4 1
102 202 / 4 0.66 4 1
S
2 B
S
2 C
18 8 2 / 4 0.66 4 1

3.计算Fmax的值和决策
5 Fmax 7.5 0.66 当k 3, df n 1 3(因为两组样本相同） 查附表5 Fmax 15.5 （0.05） 取df 4时的值，因为附表没有 df 3 Fmax Fmax , 接受虚无假设 H 0，即方差齐性。 （0.05）
后让所有的被试都参加一个自尊测验，测验总分为10分，
得到的分数越高，表示自尊心越强。实验结果如下表所示，
试检验不同反馈类型与自尊之间的关系如何？
原始数据与计算的中间结果如下表
积极反馈组 消极反馈组 控制组
X
8 7 9 10 6
X
64 49 81 100 36 330
MSB=SSB/dfB MSw=SSw/dfw
其中：dfB为组间自由度=k-1 dfw为组内自由度=k(n-1)
dfT=dfB+dfw

因为主要关心MSB是否显著大于MSW，当MSB小于MSW时， 无需检验。因此总是将组间方差放在分子位置，进行单侧 检验，即： F= MSB / MSW

F<1，说明组间方差比例很小； F=1，说明组间方差和组内的方差比例差不多；
（四）计算F值
F= MSB / MSW=129.34 / 2.67=48.44

（五）查F分布临界值做出判断


当dfB=2, dfW=9，设定p=0.01，
查表F0.01（2,9）=8.02，检验值是F=48.44>8.02，p<0.01。
F0.01（2,9）=8.02
（六）陈列方差分析表
变异来源 变异来源 平方和 平方和 自由度 自由度 均方 均方 F

F>1, 且落入到临界区域，说明组间方差够大了。
二、方差分析的基本过程与步骤

（一）求平方和 （二）计算自由度 （三）计算均方（方差） （四）计算F值 （五）查F表进行F检验并做决断 （六）列方差分析表
以表9-1为例


（一）求平方和
2 总平方和： SS T X ij X t X k n 2 j 1 i 1

思考：
1.如果想要分析A总体和B总体平均数的差异，可以用什么方法
来检验？

2.如果想要分析A、B、C三个总体平均数的差异，又该用什么
方法来证明？

如果是两个总体，用Z和t检验。

那是不是三个总体A、B、C的比较就是拿A和B做比较，然后那
A与C做比较，然后再拿B和C做比较？
一、方差分析的基本原理：综合的F检验

如例9-1，每一种学习方法均重复了4次。
例题：9-2

有人研究自尊与对个人表现的反馈类型之间的关系。让15
名被试参加一项知识测验，每组各5个被试。在积极反馈
组，不管被试在测验中实际表现如何，都告诉他们水平很
高。对消极反馈组的被试，告诉他们表现很差。对控制组
的被试，不管测验分数如何，都不提供任何反馈信息。最
噪音（分贝） 强（100（A） 中（50）（B） 16 4 无（C） 1 K=3
n=4
14
12 10
5
5 6 5
2
2 3 2
Xj
13
X t 6.67
图9-1 数据变异示意图
强噪音组 中噪音组 无噪音组
X t 6.67
X j 13
X j 5
Xj2
（一）数据变异文字层面上的分解

从数据可知：不仅组与组之间数据存在不同，而且同一组被试 内部也存在着不同。 总变异=10-6.67=3.33 1.前者称组间变异，因听了不同的噪音而不同。 2.后者称组内变异，因个案本身的不同而造成的不同。 3.而每个数据之间的差异叫做总变异。
k
n


2
k
n


2
令SSB n X j X t
j 1


2
则SST SSB SSW

SS表示平方和，SST表示总平方和，指实验产生的总变异； SSB表示组间平方和，指不同实验处理造成的变异；SSW表示 组内平方和，指实验误差（个体差异）造成的误差。

在SST一定的情况下，SSB所占比例越大，则SSW的值就越小，相
5
5 6
25
25 36
2
2 3
4
4 9

X
2
10
52
2704
696
20
400
102
8
64
18
nk 80 6400 816 816 282.67 12 12
T 2
SS X
2
X
2
(52 20 8) (696 102 18) 3 4
总自由度为总容量减去1。本例有12个数据，所以：
dfT=12-1=11=nk-1 组间自由度为组数（k）减1，本例有3个组，所以：
dfB=3-1=2=k-1
组内自由度为总容量减组数或用总自由度减去组间自由度，
即有：dfW=dfT-dfB=11-2=9=k(n-1)
（三）计算均方 均方是平方和除以自由度 组间均方：MSB=SSB/dfB=258.67 / 2=129.34 组内均分：MSw=SSw/dfw=24 / 9=2.67
X
nk
2
2

组间平方和： SSB n X j X t
j 1
k


2
X X
n nk
SST SSB
2
2

组内平方和：
SSW X ij X j
j 1 i 1
k
n


2
X 2
X
n
SS SSBT 2nk (X ) 3 4 SSW X 816 4 792 24 n nk 4 4 3 4 2 n 80 6400 6400 816 816 282.67 792 258.67 12 12 12
差，记为： X

j
Xt