大学物理习题课答案 (1)

平衡态 平衡态 物态参量 物态方程
一气体系统若不受外界影响（无物质 和能量交换）或只受恒定的外力场作用 的条件下，气体系统的宏观特性（如温 度、压强等）长时间不随时间改变的状 态称为平衡态。 处于平衡态中的气体，其分子仍不停 作热运动，但其总体平均效果不随时间 改变，是一种动态平衡。
物态参量 不受（或忽略）恒定外力场作用时， 平衡态气体各部分的宏观性质是均匀的； 只受恒定外力场作用时，平衡态气体的 密度并不均匀。但这两种情况下气体的 宏观性质都不随时间变化。
描述平衡态的参量称为物态参量或态 参量。如体积、压强、温度等。
物态参量之间所满足的关系式称为物态方程 物态方程
理想气体的物态方程：
气体的压强 单位： 帕 单位： 立方米
气体的体积
气体的质量
气体的热力学温度
单位： 开
单位： 千克
气体的摩尔质量 单位： 千克 摩尔 气体常数
注
mol
8.31 J mol
K
10 Pa
1标准大气压（1atm)=1.103
热力学温度
=（摄氏温度t +273.15)
续4 理想气体的物态方程：
对一定量(mol)的气体
三者只要给定 两个就确定了一个平衡态
图中的一点 代表一个平衡态
若气体受外界影响，某平衡态被 破坏，变为非平衡态。物态随时间 而变化称为过程。
图不能表示非平衡态，也不能表示这种非 平衡情况下的动态变化过程。
理想气体压强的统计意义 气体微观模型
一、理想气体的微观模型
气体分子的大小与分子间的平均距离相 比可以忽略。 分子除碰撞瞬间外，无其它相互作用。
碰撞视为完全弹性碰撞。
这是由气体的共性抽象出来的一个理想 模型。在压力不太大、温度不太低时，与 实际情况附合得很好。
续14 理想气体的压强公式
气对壁
定义
为大量 气体分子的平均平动动能
由于分子向 X、Y、Z方向运动概率相等 可推知
气对壁
15的统计意义 理想气体压强的统计意义
理想气体的压强公式
气对壁
定义
为大量 气体分子的平均平动动能
气体的宏观量压强，是大量气体分子作用于器壁的平均冲 力，由微观量的统计平均值 和 决定。 理想气体压强公式是反应大量分子行为的一种统计规律， 并非力学定律，只对个别分子而言，气体压强没有意义。
注： 推导过程中的 在宏观上很小，但在微观上相对于分子的大小 和 和作用时间应当足够大，保证在 时间内有大量分子与 发生 碰撞。 平衡态中同种气体的分子全同，其出现位置和各向运动概率相等，这已 包含了分子之间相互碰撞因素的一种动平衡，推导中不必考虑此类碰撞。
气体温度公式 气体温度的统计意义
理想气体 物态方程 可用另一形式表达
其中
分子质量 总分子数 阿伏伽德罗常数 分子数密度
玻耳兹曼常数
即
理想气体 压强公式
理想气体的
温度公式
气体分子的平均平动动能
注：
阿伏伽德罗常数 玻耳兹曼常数
6.02 10 23 mol 1 23 1.38 10 J K 1
气 体 温 度 的
17的统计意义理想气体的
温度公式
气体分子的平均平动动能
统计意义
气体的热力学温度
与 气体分子的平均平动动能
成正比。
气体的热力学温度可看作是对分子热运动剧 烈程度的量度。 气体的温度是大量分子热运动的集体表现， 离开大量分子，温度失去意义。 具有统计意义。
速率分布含义
速率分布函数 （速率 附近单位间隔内 的分子数与总分子数之比）
到 + 速率间隔内的分子数
处于
总分 子数
分布曲线
速率分布函数
p p
玻耳兹曼常数， 若m、T 给定， 函数的形式可概括为
曲线
快减
快增
速率分布曲线 有单峰，不对称
两者相乘
速率
恒取正
最概然速率
与此函数的极大值对应的速率
令 即
称为最概然速率
易得
因
则
或
不同条件比较
（或 用
） 进行比较
相同
相同
平均速率 平均速率（算术平均速率）
类似
也有
或
方均根速率
（
的统计平均值的开平方） 类似 也有 或
独立坐标的数目（
确定某物体空间位置所需的 自由度 ），称为该物体的自由度数。
单原子分子
平动自由度
双原子分子
平动自由度
转动自由度
三及多原子分子
平动自由度 转动自由度
能量均分定理
理想气体，平衡态，分子平均平动动能 因 故
每个平动自由度的平均平动动能均为
将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的 转动能量相等，而且亦均等于
（能量按自由度均分定理）
在温度为 的平衡态下，气体分子的每一 个自由度，都平均地具有 的动能。
（能量按自由度均分定理） 分子平均动能
在温度为 的平衡态下，气体分子的每一 个自由度，都平均地具有 的动能。 理想气体，平衡态，分子平均平动动能
因 处于平衡态温度为 的理想气体，若将气体分子看作刚 故 性分子，如果分子有 个平动自由度， 个转动自由度，则
每个平动自由度的平均平动动能均为
将等概率假设推广到转动动能，每个转动自由度的 分 子 转动能量相等，而且亦均等于
（能量按自由度均分定理）
动动能，按一定的原则确定振动自由度。（略）
在温度为 的平衡态下，气体分子的每一 若将分子看作非刚性分子，还要考虑分子的振 个自由度，都平均地具有 的动能。
理想气体内能
某一定量理想气体的内能 分子的平均动能之和。
分子的平均动能
组成气体的全部
mol 气体有
个分子 （阿伏伽德罗常数）
mol
mol 理想气体的内能
理想气体
mol 理想气体的内能
理想气体
内能算例
mol 理想气体的内能
平均自由程
自由程算式 平均碰撞频率
相对速率修正
证明略
若
恒定
则
练习十五 气体动理论基础（一）
1．如图1所示，两个大小不同的容器用均匀的细管相连，管中有一水银滴作 活塞，大容器装有氧气，小容器装有氢气. 当温度相同时，水银滴静止于细 管中央，则此时这两种气体中 ［］ A (A) 氧气的密度较大． (B) 氢气的密度较大． (C) 密度一样大． (D) 那种的密度较大是无法判断的.
pV
m M mol
RT ,
H2 O2

m V
p M mol RT
图1
M mol H 2 M mol O2 , P， T 相 等 ，
2. 分子平均平动动能与温度的关系式 适应条件为： [ D ]
1 2
m
2
3 2
kT
(A)处于任何状态的气体 ； (C)平衡态下的气体 ；
(B)理想气体 ； (D)平衡态下的理想气体 。
理想气体的
温度公式
气体分子的平均平动动能
3. 在一密闭容器中，储有A、B、C三种理想气体，处于平衡状态．A种气体的
分子数密度为n1，它产生的压强为p1，B种气体的分子数密度为2n1，C种气体的 分子数密度为3n1，则混合气体的压强p为
［ D ］
(A) 3 p1． (C) 5 p1． (B) 4 p1． (D) 6 p1．
总 分 子 数 n n1 2 n1 3 n1 6 n1 p nkT 6 n1 kT 6 p1
4. 在容积为102 m3 的容器中，装有质量100 g 的气体，若气体分子的方均根速 率为200 m /s，则气体的压强为________________．
v 1.73
2
RT

,
pV
M

RT
5
两 式 联 立 ， 得 ： p 1.33 10 Pa
5. 有一瓶质量为M的氢气(视作刚性双原子分子的理想气体)，温度为T，则氢
kT kT 分子的平均平动动能为____________，氢分子的平均动能为______________ 2 2 3
5
，该瓶氢气的内能为____________________．
2 M m ol
5 M RT
=

1 2
气体分子的平均平动动能
( t r ) kT i 2
kT ,
对于双原子分子，i 5

M i RT 5 M 2 M mol
M mol 2
RT
6. 容器内有M = 2.66 kg氧气，已知其气体分子的平动动能总和是
EK=4.14×105 J，求：
(1) 气体分子的平均平动动能；
(2) 气体温度． (阿伏伽德罗常量NA＝6.02×1023 /mol，玻尔兹曼常量k＝1.38×10-23 J·K1 )
1
E
M
i
M mol 2 i 2
RT E k
2
由 k 得T
3 2
kT 400 K
k R N A R kN A
k
kT
E k M mol MN A
2 k 3k
8.27 10
21
练习
十六 气体动理论基础（二）
1． 已知一定量的某种理想气体，在温度为T1与T2时的分子最概然速率分别为vp1 和vp2，分子速率分布函数的最大值分别为f(vp1)和f(vp2)．若T1>T2，则 (A) vp1 > vp2， f(vp1)> f(vp2)． [ B ] (B) vp1 > vp2， f(vp1)< f(vp2)．
(C) vp1 < vp2， f(vp1)> f(vp2)．
(D) vp1 < vp2， f(vp1)< f(vp2)．
最概然速率vp
2 kT m
, T1 T2 , 得 v p 1 v p 2
根据麦克斯韦分布曲线的性质中温度与分子速率关系知道
当增大温度时，最概然速率增大，由于归一化，要求曲线下的总面积不变， 故此处的值必将变小。
C
p nkT

Z
1 2 np d
2

kT 2 np d p
2
2 np d v
2
2 pp d v
2
kT
当 T 不 变 ， p增 大 一 倍 时 ，
变 为 原 来 的 一 半 ，
Z增 大 一 倍 。
3. 若N表示分子总数，T表示气体温度，m表示气体分子的质量，那么当分子速 率v确定后，决定麦克斯韦速率分布函数f(v)的数值的因素是 (A) m，T． (C) N，m． (E) N，m，T． (B) N． (D) N，T ． ［A ］
麦克斯韦速率分布规律为 f v 4p ( m 2p kT
3 mv
2
)2 e
2 kT
v
2
4．图1示曲线为处于同一温度T时氦（原子量4）、氖（原子量20）和氩 （原子量40）三种气体分子的速率分布曲线。其中
氩 曲线（c）是 氦
曲线（a）是
vp 2 RT M mol 即 vp
气分子的速率分布曲线；
气分子的速率分布曲线；
f (v)
1 M mol
(a) (b) (c)
v
图1
5． 一定量的理想气体，经等压过程从体积V0膨胀到2V0，则描述分子运动的 下列各量与原来的量值之比是
(1) 平均自由程
0
＝______________． (2) 平均速率
2：1

0
2 :1 ＝____________．
(3) 平均动能
K K0
2：1 ＝______________．
n N V , v 1.60 RT M mol 2 n
1 2 np d
2
1.60 3 pV 2 N
pV M
k
3 2
kT
3 p
6. 一氧气瓶的容积为V，充了气未使用时压强为p1，温度为T1；使用后瓶内氧气 的质量减少为原来的一半，其压强降为p2，试求此时瓶内氧气的温度T2．及使用
．
前后分子热运动平均速率之比
使 用 前 ： p1V 使 用 后 ： p 2V 得 ： T2 v 得 v1 v2 8 kT 2T1 p 2 p1 M M mol 1 M 2 M mol
1
/2
RT1 RT2
pm
T1 T2 p1 2 p2