8-压杆的稳定计算

2 2 d 0.04 Fcr cr A 235 235
4
4
295.3kN
子情境8.3 压杆的稳定计算
8.3.1 压杆稳定的实用计算方法 当压杆中的应力达到(或超过)其临界应力时，压杆 会丧失稳定。所以，正常工作的压杆，其横截面上的应 力应小于临界应力。在工程中，为了保证压杆具有足够 的稳定性，还必须考虑一定的安全储备，这就要求横截 面上的应力不能超过压杆的临界应力的许用值，即： cr Fcr cr n cr ≤ cr cr A 为计算方便写成： 强度计算时的许用应力 cr 稳定安全系数 cr n cr cr ncr 称为折减系数, 其值小于1
稳定的平衡： 能保持原有的 直线平衡状态 的平衡； 不稳定的平衡： 不能保持原有的 直线平衡状态的 平衡。
压杆的失稳现象是在纵向力的作用下，使杆发 生突然弯曲，所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现 象也称为屈曲。
子情境8.1 压杆的概念
压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡 时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力， 用Fcr表示 当压杆所受的轴向压力F小于临界力Fcr时，杆件就 能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定
2 Fcr EI 2 l
μ 称为长度系数。
两端铰支时： 1； 一端固定，另一端铰支时： 0.7 两端固定时： 0.5； 一端固定，另一端自由时： 2
两端铰支时： 1； 一端固定，另一端铰支时： 0.7 两端固定时： 0.5； 一端固定，另一端自由时： 2
临界力计算公式为： Fcr cr A a b A
8.2.2 中长压杆的临界力和临界应力计算 我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式：
cr a b
公式的适用范围：
cr a b ≤ s a a s s 或： 令： s ≥ b b 当临界应力等于材料的屈 ≥ s 服点应力时压杆的柔度值
F 30N
F 6000N
1000
30
轴心受压杆件从直线状态突然变为曲线状态的现 象，在结构上称为“失稳”。这种情况对结构安全是 F 30N 极为不利的。也是必须避免的。 截面形状也是轴心受压直杆 稳定性的又一个重要因素。
F 6000N 1000
30
子情境8.1 压杆的概念
Fcr 称为临界荷载
F 30N
F 6000N
1000
30
长木条: 非强度失效(丧失稳定)，由 稳定性不足引起
从谚语“直木顶千斤”谈轴心受压杆的稳定
这个试验告诉我们，同一材料、 同一截面尺寸和形状，当长度不同 时，其能承受的轴心压力值是不同 的。在结构计算中，构件有一个重 要特征，就是计算长度的影响。长 度越大，构件的计算长度也越大， 其能承受的轴心压力值越小，这就 是直木承受轴心压力的一个重要特 征。因此，笼统地说“直木顶千斤” 并不符合实际情况。
(2 2) 2
3701N 3.7kN
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 正方形 : Fcr 8.33kN 积相同的矩形、正方形和圆形)的 矩形 : Fcr 3.7kN 临界力。 ⑶当截面改为边长为30mm的 正方形时，其惯性矩：
3 3 hb 30 I y Iz 6.75 104 mm4 12 12 2 Fcr EI (l )2 2 9 8 200 10 6.75 10 (2 2) 2
【例8-2】求图示压杆在下面三种情况下的 临界力： ⑴杆长l=1.2m; Fcr 172kN ⑵杆长l=0.8m; ⑶杆长l=0.5m。 解: 两端铰支时长度系数：μ=1 圆形截面的惯性矩： i d 40 10mm 0.01m 4 4 ⑴当l=1.2m时: l 11.2 柔度： 120 100 属大柔度杆
应当明白, [σ cr]与[σ ]虽然都是“许用应力”, 但两者 却有很大的不同。[σ]只与材料有关, 当材料一定时, 其值为 定值；而[σcr]除了与材料有关外, 还与压杆的长细比有关。 所以，相同材料制成的不同(长细比)的压杆，其[σcr]值是不 同的。 cr Fcr 将 8 11 式 cr 代入 8-9 式 cr ≤ cr ncr A
3 9 2 2 2 200 10 0.04 E d Fcr cr A 2 4 1202 4
i
0.01
172kN
【例8-2】求图示压杆在下面三种情况下的 临界力： ⑴杆长l=1.2m; Fcr 172kN ⑵杆长l=0.8m; Fcr 269kN ⑶杆长l=0.5m。 解: 两端铰支时长度系数：μ=1 圆形截面的惯性矩： i d 40 10mm 0.01m 4 4 ⑵当l=0.8m时: l 1 0.8 柔度： 80 查表11-2得 : S 62
性；而当压杆所受的轴向压力F等于或者大于Fcr时,
杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
子情境8.2 各种压杆的临界力和临界应力计算
8.2.1 细长压杆的临界力和临界应力计算 ⒈ 细长压杆的临界力计算
⑴两端铰支细长杆的临界力计算公式—欧拉公式
2 EI Fcr 2
l
⑵其他约束情况下细长压杆的临界力计算公式—欧拉公式
i 0.01
2 d Fcr cr A a b
S P 属中长杆
4 2 0.04 6 6 269kN 304 10 1.12 10 80 4
【例8-2】求图示压杆在下面三种情况下的 临界力： ⑴杆长l=1.2m; Fcr 172kN ⑵杆长l=0.8m; Fcr 269kN ⑶杆长l=0.5m。 Fcr 295.3kN 解: 两端铰支时长度系数：μ=1 圆形截面的惯性矩： i d 40 10mm 0.01m 4 4 ⑶当l=0.5m时: l 1 0.5 柔度： 50 查表11-2得 : S 62 i 0.01 S 62 属粗短杆
2 E 令 , 则有： cr 2 i
l
i
2 E cr 2
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑵欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此 微分方程时，材料必须服从胡克定理。因此，欧拉公式的适 用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即：
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 积相同的矩形、正方形和圆形)的 临界力。 解：⑴计算截面的惯性矩
3 3 hb 45 20 I max I y 3.0 104 mm4 12 12 ⑵计算临界力 2 Fcr EI (l )2
矩形 : Fcr 3.7kN
2 9 8 200 10 3 10
30mm
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 正方形 : Fcr 8.33kN 积相同的矩形、正方形和圆形)的 矩形 : Fcr 3.7kN 临界力。
30mm
30mm
从以上三种情况的分析，其 截面面积相等、支承条件也相同, 但是，计算得到的临界力却不一 样。可见在材料用量相同的条件 下，选择恰当的截面形式可以提 高细长压杆的临界力。
屈服应力
与λ P一样, λ S也是一个与材料的性质有关的常数, 因此, 直线经验公式的适用范围为：
P S
8.2.3 粗短压杆的临界力和临界应力计算
柔度小于λS的压杆称为粗短杆或小柔度杆。 对于柔度小于λS的粗短杆或小柔度杆，其破坏 则是因为材料的抗压强度不足而造成的，如果 将这类杆也按照稳定问题进行处理,则对塑性 材料制成的压杆来说，可取临界应力σcr = σS 粗短压杆的临界力为：Fcr cr A S A
A
学习情境8
压杆的稳定计算
学习要点：压杆稳定的概念、临界压力和欧 拉公式等。
教学目标：了解压杆稳定的概念；会计算细 长杆、中长杆和短粗杆的临界力；会对各种压杆 进行稳定校核。了解提高压杆稳定性的措施。
引例
一个实验： 松木板条：截面尺寸5×30，抗压极 限应力40MPa。 短木条失效时： 6000 c 40MPa 30 5 长木条失效时： 30 c 0.2MPa 30 5 两者失效原因存在本质区别： 短木条: 强度失效，由强度不足引起
y
30mm 30mm
z
8330N 8.33kN
【例8-1】试计算图示压杆(截面面 正方形 : Fcr 8.33kN 积相同的矩形、正方形和圆形)的 矩形 : Fcr 3.7kN 临界力。 ⑷当截面改为面积相等的圆 Fcr 7.95kN 形时，其惯性矩： D2 b2 D 4 b 4 2 4 b4 4 2 D D I y Iz 64 64 4 4 y 2 30 4 4 6.45 10 mm 64 z 2 Fcr EI (l )2 30mm 2 9 8 10 200 10 6.45 (2 2)2 7950N 7.95kN
F ≤ 或 A ≤ 可得: A
应用压杆稳定条件, 可以对以下三个方面的问题进行计算： ⒈ 稳定校核 ⒉ 计算稳定时的许用荷载 ⒊ 进行截面设计
8.3.2 提高压杆稳定的措施 ⒈ 合理选择材料 ⒉ 选择合理的截面形状 ⒊ 改善约束条件、减小压杆长度
F ≤ 或 A ≤
2 E ≤ cr 2 P
≥
Βιβλιοθήκη BaiduP
E
E
设λ P为压杆临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即：
P =
P
2 E cr 2
则欧拉公式的适用范围为： ≥ P
8.2.2 中长压杆的临界力和临界应力计算 我国常用的临界应力经验计算公式为直线公式：
cr a b
Fcr 7.95kN
D y z
⒉ 细长压杆的临界应力计算
⑴细长压杆临界应力的计算公式 — 欧拉公式
Fcr cr A
2 1 cr EI A l 2
I i2 A 或 i2 I A
2 2 2 2 E 1 EI Ei cr A l 2 l 2 l 2