高中数学立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质

线面垂直

●知识点

1.直线和平面垂直定义

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.

判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

3.三垂线定理和它的逆定理.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

●题型示例

【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，

∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的

射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.

【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设

EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样

SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明

AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，

∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平

例1题图

面SBC的证明.

【规范解答】

【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.

【例2】已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.

【解前点津】由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a∥b,a⊥c⇒b⊥c;(2)a⊥α,b⊂α⇒a ⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理.

由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.

【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.

所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.

所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.

【例3】已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.

例3题图解(1)

【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C ，题设，题断有对答性，可在ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB 1与A 1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了.

【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：

（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.

利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.

证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.

【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 .

【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,

AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,

∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为

974)36(22222=++=+AH HD

【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.

例4题图

●对应训练 分阶提升

一、基础夯实

1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：

①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭

⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )

A.①②

B.①②③

C.②③④

D.①②④

2.下列命题中正确的是 ( )

A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面

B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面

C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线

D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面

3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )

A.DP ⊥平面PEF

B.DM ⊥平面PEF

C.PM ⊥平面DEF

D.PF ⊥平面DEF

4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )

A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交

B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直

C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直

D.过a 一定可以作一个平面与b 平行

5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( )

A.α⊥γ且l ⊥m

B.α⊥γ且m ∥β

C.m ∥β且l ⊥m

D.α∥β且α⊥γ

6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )

A.1

B.2

C.55

2 D.5

53 7.有三个命题：

①垂直于同一个平面的两条直线平行；

②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；

③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直

其中正确命题的个数为 ( )

A.0

B.1

C.2

D.3

8.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( ) 第3题图