专题第一讲坐标系·二极坐标系》
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
第1讲坐标系种类及坐标转换
第1讲坐标系种类及坐标转换在数学和物理学中，坐标系是用于表示和定位点的一组数学规则。
它可以帮助我们在平面或空间中精确地描述和测量位置、方向和距离。
坐标系通常由坐标轴和原点组成，坐标轴是一条直线，它们与原点形成直角。
有多种类型的坐标系，每一种都有特定的用途和应用。
以下是常见的几种坐标系：1.直角坐标系：直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，是最常见的坐标系。
它由两条垂直的坐标轴和一个原点组成。
坐标轴可以是水平的x轴和垂直的y轴，或者在三维空间中可以加上一个垂直的z轴。
直角坐标系使用(x,y,z)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。
2.极坐标系：极坐标系用于描述平面上的点，它由一个原点和一个角度和距离组成。
极坐标系以原点为中心，用一个角度（通常用弧度表示）表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，用一个距离表示点与原点之间的距离。
极坐标系使用(r,θ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线之间的角度。
3.柱坐标系：柱坐标系是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个角度、一个距离和一个高度组成。
柱坐标系类似于极坐标系，但增加了一个垂直的z轴来表示高度。
柱坐标系使用(r,θ,z)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的水平距离，θ表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，z表示点的高度。
4.球坐标系：球坐标系也是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个纬度、一个经度和一个距离组成。
球坐标系使用(r,θ,φ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线（通常是z轴）之间的纬度，φ表示点在参考平面上的经度。
在不同的坐标系之间进行转换时，我们需要使用特定的转换公式。
以直角坐标系和极坐标系为例，我们可以使用以下公式进行转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)这些公式使我们能够在不同坐标系之间相互转换，并确保保持位置的准确性。
数学学案第一讲四柱坐标系与球坐标系简介
庖丁巧解牛知识·巧学一、柱坐标系定义：如图1—4—1，建立空间直角坐标系O —xyz ，设P 是空间任意一点,它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ<2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组（ρ，θ，z)(z∈R )表示.这样，就建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ,θ，z ）叫做点P 的柱坐标，记作P （ρ,θ,z），其中ρ≥0，0≤θ<2π,—∞<z〈+∞。
图1—4—1空间点P 的直角坐标（x,y ，z ）与柱坐标（ρ,θ,z）之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z y x θρθρ要点提示 柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的.二、球坐标系定义：如图1-4—2，建立空间直角坐标系O-xyz ，设P 是空间任意一点，连结OP,记｜OP|=r,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ。
这样点P 的位置就可以用有序数组（r ，φ,θ)表示。
这样，空间的点与有序数组（r ，φ，θ）之间就建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系或空间极坐标系，有序数组(r ，φ，θ）叫做点P 的球坐标,记作P （r,φ，θ）,其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ〈2π。
空间点P 的直角坐标（x,y ，z)与球坐标(r,φ,θ）之间的变换关系为 ⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r x图1-4-2要点提示 在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P （r,φ,θ)的方位角，90°-φ称为高低角。
三、坐标系的建立1.当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系;2。
《直角坐标系》 讲义
《直角坐标系》讲义一、什么是直角坐标系在数学的广袤天地里，直角坐标系就像是一座精确的地图，为我们指引着数与形的方向。
直角坐标系，也称为笛卡尔坐标系，是由法国数学家笛卡尔发明的。
它通过两条互相垂直的数轴，将平面分成了四个区域，让我们能够准确地描述和定位平面上的点。
想象一下，你站在一个空旷的广场上，想要告诉别人你的位置。
如果没有坐标系，你可能只能说“我在广场的左边或者右边”，这种描述是非常模糊的。
但是有了直角坐标系，你就可以清晰地说出“我在横坐标为 3，纵坐标为 4 的位置”，别人就能一下子准确地找到你。
直角坐标系由横轴（通常称为 x 轴）和纵轴（通常称为 y 轴）组成。
这两条轴互相垂直，并且在它们的交点处，我们称之为原点，其坐标为(0, 0)。
x 轴和 y 轴上的刻度可以根据需要进行设定，通常是以相等的间隔来划分。
二、直角坐标系中的点在直角坐标系中，每一个点都可以用一对有序的数来表示，这对数叫做该点的坐标。
比如点 P 的坐标为(x, y)，其中 x 表示点 P 在 x 轴上的位置，y 表示点 P 在 y 轴上的位置。
如果点 P 的坐标为(3, 2)，那么就意味着点 P 在 x 轴上的位置是 3，在 y 轴上的位置是 2。
我们从原点出发，先沿着 x 轴向右移动 3 个单位，再沿着 y 轴向上移动 2 个单位，就能找到点 P 的位置。
反过来，如果我们知道一个点在坐标系中的位置，也可以很容易地写出它的坐标。
比如，一个点在 x 轴上距离原点 5 个单位，在 y 轴上距离原点3 个单位，并且位于第一象限，那么这个点的坐标就是(5, 3)。
三、象限的划分直角坐标系将平面分成了四个象限，它们分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
第一象限中的点，其横坐标和纵坐标都是正数；第二象限中的点，横坐标是负数，纵坐标是正数；第三象限中的点，横坐标和纵坐标都是负数；第四象限中的点，横坐标是正数，纵坐标是负数。
象限的划分对于解决很多数学问题非常有帮助。
第一讲坐标系极坐标.ppt
2 例6. 将点M的极坐标 (5, )化成直角坐标. 2 53
解: x 5 cos
3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2 5 5 3 ) 所以, 点M的直角坐标为 ( , 2 2
2π M(-6, )化为直角坐标, 并在极坐标系中画出此点. 3
变式:
例7.将点M的直角坐标 化成极坐标.
2
(- 3,-1)
（ 1 ）2 解: ( 3 )
2
1 3 tan 3 3 7 因为点在第三象限, 所以 6 7 因此, 点M的极坐标为( 2, ) 6
例3. 将点M (sinα,1 cosα)α为锐角 的直角坐标化成极坐标.
ρ 0,- θ π
在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的 正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位.设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x = ρcosθ y = ρsinθ
ρ = x + y y tanθ = x
2 2
2
θ的象限由点P(x, y)的象限确定.
（1）求A、B两点之间的距离。 （2）求△ABO的面积（O为极点）。 （3）求直线AB与极轴的夹角。
π A(3, ) 例6、若 ρ> 0, 0 θ< 2 ，则点 6
⑴点A关于极点的对称点为
⑵点A关于极轴对称点的坐标为
；
⑶点A关于过极点且与极轴垂直的直线的对称 的点的极坐标是
四、极坐标与直角坐标的互化关系式:
新昌西环岛西昌路人民路对于平面上异于极点的任意一点m用表示线段om的长度用表示以ox为始边om为终边的角度
第一讲——坐标系 极坐标
2011.04.20
高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4
将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这 样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， 得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
数学素材：第一讲二极坐标系
教材习题点拨思考：下图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处,请回答下列问题：（1)他向东偏北60°方向走120 m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述?答：(1)向东偏北60°方向走120 m到达图书馆，该位置是惟一确定的；(2)向东走60 m到体育馆；向北偏西45°方向走50 m到达办公楼．习题1.21．写出图中A,B，C，D,E，F，G各点的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π）．解：A（3,0)，B错误!，C错误!，D错误!，E(2。
5，π)，F错误!，G错误!。
2．中央气象台在2004年7月15日10：30发布的一则台风消息:今年第9号热带风暴“圆规”的中心今天上午八点钟已经移到了广东省汕尾市东南方大约440公里的南海东北部海面上，中心附近最大风力有9级．请建立适当的坐标系，用坐标表示出该台风中心的位置．解：以汕尾市为极点，以正东方向为极轴，建立极坐标系,则台风中心的极坐标为（440，315°)．若以汕尾市为坐标原点，以东西方向为x轴，以南北方向为y轴建立直角坐标系，则台风中心的直角坐标为(220错误!,－220错误!）．3．在极坐标系中，已知两点A错误!,B错误!，求A，B两点间的距离．解：∠AOB＝π,这时A与B在同一条直线上，在极点的两侧,故A，B两点间的距离为d＝3＋1＝4。
4．已知点的极坐标分别为错误!,错误!，错误!，错误!，求它们的直角坐标．解:各点的直角坐标为错误!，（－1，错误!），（0,4）,错误!。
5．已知点的直角坐标分别为（3，错误!），错误!,错误!，（－2,－2错误!)，求它们的极坐标．解：各点的极坐标为错误!，错误!，错误!，错误!.。
数学素材：第一讲一平面直角坐标系
教材习题点拨思考：怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题?答：建立直角坐标系的原则是使直线或曲线的方程尽可能的简单，一般有以下一些规则．如：(1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上．思考:我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置．这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？答:点P的直角坐标为（－680错误!,680错误!），即巨响的位置在信息中心的西680错误!m，北680错误!m处，还可以说,巨响在信息中心的西偏北45°方向，距离680错误!m处，从以上的两种表述可以看出，对这个问题而言，第二种角与距离的方法更简单些．探究：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么?解：如图，以点F为坐标原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系．由已知，点A，B，F的坐标分别为A错误!，B错误!，F（0，0)．设点C的坐标为(x，y），则点E的坐标为错误!，即错误!.由b2＋c2＝5a2，可得|AC|2＋|AB|2＝5｜BC|2，即错误!2＋y2＋c2＝5错误!.整理得,2x2＋2y2－3cx＝0.因为BE＝错误!，CF＝（－x，－y），所以BE·CF＝－错误!＋错误!－错误!＝－错误!(2x2＋2y2－3cx)＝0。
因此，BE与CF互相垂直．以上这种建立直角坐标系的方法也可以,但是不如教科书上提供的建系方式好,因此在运算过程中出现了较多的分数，增加了运算的难度，也就增加了出错的概率．思考：在伸缩变换④下，椭圆是否可以变成圆？抛物线、双曲线变成什么曲线?答：由伸缩变换公式()()0,0x x y y λλμμ'=⋅>⎧⎪⎨'=⋅>⎪⎩可知，在伸缩变换下,平面直角坐标系保持不变，曲线(包括直线）的形状不变,直线、双曲线、抛物线还是变为直线、双曲线、抛物线．虽然圆可以变椭圆、椭圆也可以变成圆,但这是因为我们可以认为圆是椭圆的特例．习题1.11．两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平方和为26,求点M 的轨迹．解:设两个定点分别为A ，B ，以直线AB 为x 轴，以AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (－3,0),B （3，0)．设M (x ，y ）是轨迹上任意一点，则有｜MA |2＋|MB ｜2＝26，即（x ＋3)2＋y 2＋(x －3)2＋y 2＝26，化简得x 2＋y 2＝4。
第一讲 坐标系
第一讲 坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ (λ>0)，y ′＝ (μ>0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称__________． 2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个______O ，叫做极点；自极点O 引一条______Ox ，叫做极轴；再选定一个______单位、一个______单位(通常取______)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标设M 是平面内一点，极点O 与点M 的______叫做点M 的极径，记为____；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角______叫做点M 的极角，记为____．有序数对______叫做点M 的极坐标，记为______．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ____0，θ可取__________． (3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与______________表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为______________．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有______种表示．如果规定ρ>0，________，那么除______外，平面内的点可用______的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是______确定的．3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为______，x 轴的正半轴作为______，并在两种坐标系中取相同的__________．(2)互化公式：如图所示，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：4.1．在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别是(3，π3)，(4，－π6)，则△AOB 为________三角形．2．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．3．(课本习题改编)极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为________． 4．曲线ρ＝4sin θ与ρ＝2的交点坐标是________.题型一 平面直角坐标系中的伸缩变换例1 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得的直线l ′的方程；(3)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得到的曲线C ′的焦点坐标．椭圆x 24＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y后的曲线方程为________．题型二 极坐标与直角坐标的互化例2 (2012·湖南)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.(2013·北京)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 题型三 求曲线的极坐标方程例3 已知P ，Q 分别在∠AOB 的两边OA ，OB 上，∠AOB ＝π3，△POQ 的面积为8，则PQ 中点M 的极坐标方程为________．(1)(2012·上海)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.(2)(2012·江苏改编)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，则圆C的极坐标方程为________．转化与化归思想在坐标系中的应用典例：(5分)(2012·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6(ρ∈R )的距离是________．方法与技巧1．我们在使用伸缩变换时，要分清新旧坐标：P ′(x ′，y ′)是变换图形后的点的坐标，P (x ，y )是变换前图形的点的坐标．注意从三角函数的图象变换来理解抽象的坐标伸缩变换公式，以加深理解和记忆．2．曲线的极坐标方程与直角坐标系的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同时乘以ρ等．3．如果要判断曲线的形状，我们可以将方程化为直角坐标方程再进行判断，这时我们直接应用x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ即可． 失误与防范极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P 点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点.A 组 专项基础训练1．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________． 2．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是________．3．在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线x 2＋y 2＝16变换为椭圆x ′2＋y ′216＝1，此伸缩变换公式是________．4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为________． 5．已知点M 的极坐标为(6，11π6)，则点M 关于y 轴对称的点的直角坐标为________．6．直线ρcos θ＝2关于直线θ＝π4对称的直线极坐标方程为________．7．在极坐标系中，曲线ρ＝a sin θ与ρ＝a cos θ(a >0，ρ>0,0≤θ<π)的交点的极坐标为________． 8．在极坐标系中，直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22与圆ρ＝2cos θ的位置关系是________． 9．(2012·陕西)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．10．在极坐标系中，射线θ＝π3(ρ≥0)与曲线C 1：ρ＝4sin θ的异于极点的交点为A ，与曲线C 2：ρ＝8sin θ的异于极点的交点为B ，则|AB |＝________.B 组 专项能力提升1．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a 的值为________．2．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________． 3．在极坐标系中，曲线ρ＝4cos(θ－π3)与直线ρsin(θ＋π6)＝1的两个交点之间的距离为________．4．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，则|PQ |的最大值为________．5．圆心为C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为______________________． 6．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .则线段MN 的长为________．7．已知极坐标系中，极点为O ，将点A ⎝⎛⎭⎫4，π6绕极点逆时针旋转π4得到点B ，且OA ＝OB ，则点B 的直角坐标为________．答案基础知识自主学习 要点梳理1．λ·x μ·y 伸缩变换2．(1)定点 射线 长度 角度 弧度 逆时针 (2)距离|OM | ρ xOM θ (ρ，θ) M (ρ，θ) ≥ 任意实数(3)(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z ) (0，θ)(θ∈R ) 无数 0≤θ<2π 极点 惟一 惟一3．(1)极点 极轴 长度单位 (2)ρcos θ ρsin θ x 2＋y 2 yx(x ≠0) 4．ρ＝r (0≤θ<2π) ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2) ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) θ＝α(ρ∈R ) θ＝π＋α(ρ∈R )(2)θ＝π＋αρcos θ＝a (－π2<θ<π2) ρsin θ＝a (0<θ<π)夯基释疑1．直角 2.43 3.x 2＋y 2－2x －y ＝0 4.(2，π6)，(2，5π6)题型分类深度剖析例1 解 (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y ，由于A (x ，y )为(13，－2)，∴x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′的坐标为(1，－1)．(2)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13x ′，y ＝2y ′，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×(13x ′)，即y ′＝x ′，∴直线l ′的方程为y ＝x .(3)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，∴曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1.可见曲线C ′仍为双曲线，且焦点坐标为F 1(－5,0)、F 2(5,0)．跟踪训练1 x 2＋y 2＝1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝y ′.①将①代入x 24＋y 2＝1得4x ′24＋y ′2＝1，即x ′2＋y ′2＝1.因此椭圆x 24＋y 2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x 2＋y 2＝1.例222解析 将极坐标方程化为普通方程求解．ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 跟踪训练2 1解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1. 例3 ρ2＝23sin θsin (π3－θ)(0<θ<π3)解析 建立如图所示极坐标系，设动点M 坐标为(ρ，θ)(0<θ<π3)．P 、Q 两点坐标分别为(ρ1,0)，(ρ2，π3)．则有12ρ1ρ2sin π3＝8，①12ρρ1sin θ＝4，② 12ρρ2sin(π3－θ)＝4，③ ②×③得：14ρ2ρ1ρ2sin θsin(π3－θ)＝16，④由①得ρ1ρ2＝323代入④得 ρ2＝23sin θsin (π3－θ)(0<θ<π3)，即为所求极坐标方程．跟踪训练3 (1)1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ解析 如图，设P (ρ，θ)为直线上任一点， 在△OPM 中，|OM |sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρsin 56π，∴2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρ12.∴ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，即f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.(2)ρ＝2cos θ解析 在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 练出高分 A 组 1.⎝⎛⎭⎫1，－π2 解析 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2. 2．ρcos θ＝1解析 过点(1,0)且与极轴垂直的直线，在直角坐标系中的方程为x ＝1，其极坐标方程为ρcos θ＝1.3.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14xy ′＝y解析 设此伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (λ>0)代入x ′2＋y ′216＝1，得(λx )2＋(μy )216＝1，即16λ2x 2＋μ2x 2＝16.与x 2＋y 2＝16比较得⎩⎪⎨⎪⎧16λ2＝1(λ>0)，μ2＝1(μ>0)，故⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝14，μ＝1，即所求变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝14x ，y ′＝y . 4. 3解析 极坐标系中的点⎝⎛⎭⎫2，π3化为平面直角坐标系中的点为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2cos θ化为平面直角坐标系中的一般方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，其圆心为(1,0)． ∴所求两点间的距离为(1－1)2＋(3－0)2＝ 3. 5．(－33，－3)解析 点M 的直角坐标为x ＝ρcos θ＝6cos116π＝33，y ＝ρsin θ＝6sin 116π＝－3.即M (33，－3)，所以它关于y 轴对称的点为(－33，－3)． 6．ρsin θ＝2解析 直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2， 直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，所以所求的直线方程为y ＝2. 其极坐标方程为ρsin θ＝2. 7．(2a 2，π4) 解析 两式相除得tan θ＝1⇒θ＝π4⇒ρ＝a sin π4＝2a 2.8．相离解析 直线的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，圆心为C (1,0)，半径为r ＝1，圆心到直线的距离d ＝22＝2>1.故直线与圆相离． 9. 3解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32. ∴弦长为2×32＝ 3. 10．2 3解析 将射线与曲线C 1的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝4sin θ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝23，故点A 的极坐标为(23，π3)， 同理由⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝π3，ρ＝8sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，ρ＝43，可得点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，π3， 所以|AB |＝43－23＝2 3.B 组1．－8或2解析 将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1， 即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1， 解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.2．ρcos θ＝3解析 由ρ＝6cos θ得，ρ2＝6ρcos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.3．2 3解析 由极坐标系与直角坐标系的互化关系可知曲线ρ＝4cos(θ－π3)对应的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －23y ＝0，即(x －1)2＋(y －3)2＝4，直线ρsin(θ＋π6)＝1对应的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，所以两交点间的距离即为直线被圆截得的弦长的大小，由垂径定理可求得弦长为23，即两交点之间的距离为2 3.4．18解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36.又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6，∴ρ2＝12ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π6＋sin θsin π6，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，∴|PQ |max ＝6＋6＋(33)2＋32＝18.5．ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6解析 如图，设圆上任一点为P (ρ，θ)，则|OP |＝ρ，∠POA ＝θ－π6，|OA |＝2×3＝6，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |×cos ∠POA ，∴ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6.6．2解析 由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x .把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，∴y 1＝0，y 2＝1.∴|MN |＝(3)2＋1＝2.即线段MN 的长为2.7．(6－2，6＋2)解析 依题意，点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，5π12， ∵cos 5π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝cos π4cos π6－sin π4sin π6＝22×32－22×12＝6－24， sin5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6 ＝sin π4cos π6＋cos π4sin π6＝22×32＋22×12＝6＋24， ∴x ＝ρcos θ＝4×6－24＝6－2， y ＝ρsin θ＝4×6＋24＝6＋ 2.。
第一讲--坐标系-平面直角坐标系
x
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P ′(x ′,y ′)坐
标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
E
设A(m, 0), B(n, 0), C(0,p) 求出CF、BE的斜率即可
A
FO B x
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换:
x 2x
y
3
y
后的图形。
(1) 2x+3y=0;
(2) x2+y2=1
x 2x
解：(1)由伸缩变换
y
；
3
y
x
得到
y
1 x 2 1 y
代入
2x+3y=0;
3
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 x y 0
练习：CA、CO为半径为1的圆C上 y
互相垂直的两条半径，A、O为定
点，P是以O为端点的动弦的中点，
求A、P间的最短距离
O
分析:以O为原点，OC所在直线为x轴 建立坐标系
第一讲 坐标系 本讲优化总结
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坐标系
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坐标系
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设半圆半径为 r,P 点坐标为 (ρ,θ), ∵OQ－OP＝PR 且 PR＝ OP· sin θ, r ∴r－ ρ＝ρsin θ,∴ ρ＝ (0≤θ≤π). 1＋ sin θ
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第一讲
坐标系
【名师点评】
利用极坐标求动点的轨迹方程时 ,首先
应选择好极点与极轴,使问题尽量简化.
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第一讲
→ →
【解】 椭圆方程化为极坐标方程得 2 2 ρ2cos2θ ρ2sin2θ a b 2 ＋ ＝ 1, 即 ρ ＝ 2 2 2 2 2 , a b a － c cos θ ab ∴ ρ＝ 2 2 2 . a － c cos θ π 设 A(ρ1,θ),B(ρ2,θ＋ ), 2 1 ∴ S△ AOB＝ ρ1ρ2 2
a2b2 ＝ 2 2 . b sin θ＋ a2cos2θ 在 Rt△ AOB 中 ,|OH|· |AB|＝ |OA|· |OB|, |AB|2＝ |OA|2＋ |OB|2, 2 2 2 2 | OA | · | OB | ρ ρ2 1 1· 2 因此 |OH| ＝ ＝ 2 ＝ 1 1 |AB|2 ρ2＋ ρ2 1 2＋ 2 ρ1 ρ2
遇到不太熟悉的极坐标方程的曲线的
位置关系问题,可化为常见的直角坐标方程来解决.因此, 要正确进行点和方程的极坐标和直角坐标的互化.
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第一讲
坐标系
专题五
利用极坐标求轨迹方程
例5 已知半圆O,求所有与半圆直径AB相切,且和半圆 内切的动圆圆心P的轨迹方程.
第1讲 第1节平面直角坐标系
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 伸缩变换 ． 称__________
3．三角函数的伸缩变换 由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图 象，方法一(先平移后伸缩)： 向左φ>0或向右φ<0 y＝sin(x＋φ) y ＝ sin x 的图象 ―――――→ ________________ 平移|φ|个单位长度 1 横坐标变为原来的 倍 ω y＝sin(ωx＋φ) 的图象 ―――――→ _________________ 的图象 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 ――→ y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 横坐标不变
[思路点拨]
(1)建立适当坐标系；
(2)用坐标和方程表示出|PM|＝ 2|PN|； (3)代入坐标，求出(x，y)关系式．
• [解题过程] 如下图，以直线O1O2为x轴，线 段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐 标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)， O2(2,0)．
[变式训练]
2.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应 后的图形，
x′＝2x 的图形经过伸缩变换 y′＝4y
(1)2x＋4y＝a； (2)x2＋y2＝r2(r≠0)．
解析：
1 x＝2x′ x ′ ＝ 2 x (1)由伸缩变换 ，得到 y′＝4y y＝1y′ 4
第一 讲
坐标系
•第一节 平面直角坐标系
• 某村庄P处有一堆肥料，现要把这堆肥料沿 道路PA或PB送到成矩形的一块田地ABCD中 去，已知PA＝100米，PB＝150米，BC＝60 米，∠APB＝60°. • 能否在田中确定一条界线，使位于界线左侧 的点沿道路PA送肥料较近，而右侧的点沿PB 送肥料较近？