APOS理论的内涵及其对中学数学概念教学的启示
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“ 象 阶 段 ” 随着 学 习深 入 ， 对 ； 以此 为对 象 进 行 新 的活 如何求二面角？二面角与其他角的联系等并不清晰 ， ｌ
动， 进入到 “ 型阶段 ”。包括反映概念 的特例 、 概 抽象 对 “ 对象０ 的认 识还是孤立 的， ” 还必 须要 在新 的活 动
过程 、 义和符号 ， 终形成综合的心理图式 。 定 最 二 、 Ｐ Ｓ理 论 的 内涵 分 析 Ａ ０
事实 上 ， 概念 学 习中的 “ 操作 Ａ 与 “ ” 过程Ｐ 阶 ” 性 。研究如何将 Ａ Ｏ 理论与传统教学 中成 功的变式 段并没有明显的分界。 “ ＰＳ ｌ 在 操作Ａ 发生的同时， ” 也发
教学 和双基教学有机结 合 ，完善数学 概念 的教 学方 生着 “ ： 过程Ｐ ”。 “ 过程Ｐ 阶段虽然并不显现 ， ” 但是其 法， 提高教学 的有效性 ， 具有积极 的现实意义 。
“ 对象 （ ｂ ｃ ） “ Ｏ ｊ ｔ ”、 概型 （ ｃｅ ｅ） ｅ Ｓｈ ｍ ”的第 一个 字母 中看不见的思考 比显现 的操作要更重要 。 ｌ
Ｉ 组合而成 ， 该理论认为数学概念的学习需要经历这四 ３
．
“ 对象 ０ 既是概括的结果 ， ” 又是新概括 的起点
个 阶段 。
ｌ
一
Ｉ 短暂或缺失 ， 影响学生 的学 习效果 ， 导致学 都会 甚至 ｌ 生没有真正意义上的参与。如学习二面角概 念时 ， 折
、
ＡＯ Ｐ Ｓ理 论概 述
杜 宾 斯 基 等 人 在 ２ 世 纪 ８ 年 代 针 对 数 学 学 习 的 的纸片展示 出一个 二面角的几何造 型 ， Ｏ Ｏ ｝ 学生拉动一个
１ 中进行新的概括 。 所以 ， 对象Ｏ 又是新概括 的起点 。 “ ” Ｊ ４概念 学习中的 “ 型 Ｓ 往往不能一次形成 ． 概 ” Ａ Ｏ 理论运用于 中学概念教 学 ，需要结合 中学 ＰＳ ！ 在概念 学习中 ， ～般一 次 “ — 一 一 ” Ａ Ｐ ０ Ｓ 是不能形 的数 学 概 念 对 其 内涵 作 进 一 步 的 分 析 。 ｌ 成完整 的 “ 概型ｓ ”的 。 比如函数 概念 的学 习就贯穿在 １ 学概 念 学 习 中 学 生 的 “ 作 Ａ” 广 义 上 的 初 中、 ． 数 操 是 ｌ 高中 、 大学的 阶段 。再如 已经 获得奇偶性 的概 活动 ｌ 念，还需要进一步把握其 单调性等其他性质的联
使数学 教师倾 向于让 学生在运用概 念 中深化 对概念 应该指头脑中的思维操作，比如学习函数奇偶性时， ｌ
的理 解 ， 学 过 程 往 往 被 简 约 ， 乎 大 容 量 就 带 来 了 对与对应值的运算中感受与关系， 教 似 ｌ 学习等差数列时给
学 习的高效率 。事实上 ， 数学学 习往往具有很大的隐
学 生经历 多次 “ 操作”和 “ 过程 ” ， 后 抽象 概括出
“ 动 阶段 ” 生 理 解 了 概 念 的 直 观 背 景 和 概念 “ 活 学 ｌ 对象０ 。此时 ， 对象０ 虽已形成 ， 概念 也有 了 ” “ ” 对
间的关 系 ； 过程阶段 ” “ 学生对 “ 活动操作 阶段 ” 进行 完整的形式化表述， Ｊ 但是学生与其原有的认知结构可 思考 ， 历 内化压缩 的过程 ； 经 学生在头脑 中对活动进 能 还处于一种分 离的状态 ，所以 ，认识需 要上升 到 行描述和反思 ， 抽象 出概念所特有 的性质 ， 对其赋予 概型ｓ ｌ“ ”阶段 。如二面角的学 习 ， 学生概括出二面角 形 式化 的定义 和符号 ， 时成 为 “ 象 ”， 这 对 认识 进入 平面角的形式定义， ｌ 认识进入 “ 对象０ 阶段。但关于 ”
特点 ， 建构主义背景小发 生着变 在 ＰＳ ＰＳ ：
别 是 由 英 文 “ 作 （ ｃｉ ”、“ 程 （ ｒｃｓ ） 化 ， 操 Ａ ｔ ｎ） ｏ 过 Ｐｏｅｓ ”、ｌ 该如何去刻画这个三维空间 的角 的大小？ 过程 ” “
特别需要指出的是， 概念初级 “ 概型ｓ 的形成 ， ”
ｌ 要经历两次关键性 的飞跃 。一是认识到达 “ 需 对象
我 们 认 为 ， 里 学 生 的 “ 作 ”应 该 指 广 义 上 的 Ｏ”阶段 ， 这 操 ｌ 就脱离 了具 体的内容 ， 具有形 式化符号化特 活动。既有具体 的动作操作 ， 如学 习二 面角概念 时学 征 ， ｌ 独立而稳定； 二是认识从 “ 对象０ 上升到 “ ” 概型
一
几列数列归纳提炼特点等 。
１ 蔽性 ， 会求解 运算 并不一定 意味着真正 的理 解 ， 教学
２学生概念学 习的关键是 “ ． 过程 Ｐ 阶段 ”
环节 的缺失给学生概念 建构 的丰 富与全面带来 了影 ｌ “ 操作 ” 阶段学生 获得 了感 觉印象 ，在随后 的 ”阶 就 “ 响 。美 国教育家杜宾斯基针对数学学科提 出了Ａ Ｏ 过 程 Ｐ 段 ， 对 其 进 行 处 理 组 织 ， 过 程 ”阶 段 Ｐ Ｓ Ｊ“ 学 习理论 ， 其概念建构 的层次性观点为数学概念教学 学 生 才 有 思 考 与 顿 悟 ， 是 概 念 学 习 的关 键 。 Ｉ 这 应逐层渐进提供 了理论基础 ， 并且具有现实的可操作 １
“ 作Ａ 阶段应是学 生建构数学概 念的起点 ， 系 ，学 生对 奇偶 性的认识才能进入更 高层 次的 “ 操 ” 概 ｛ Ｉ ” 它为 “ 程Ｐ 过 ”阶段提供 了感性的素材 ， 生在 “ 学 过程 型ｓ
。
Ｉ
Ｐ ”中观察 、 联想 、 纳 、 括 ， 归 概 需要 以其 作为对 象 ， ｊ 建 构的概 念才会有所依托 。
《 学 与管理 》 教
２１ ００年 ８月 ２ Ｏ日
ＡＯ理ｉ 内 及 ＰＳ 仑 涵 萁对巾 数 腮 教 帕 示 酌 学 学 意 学 启 术
⑧ 陕西成 阳师 范学 院 程 华
概 念 教 学 举 足 重 轻 。 数 学 概 念 的基 础性 工具 性 ，ｌ 生观看 门的开合与墙位置的变化的活动。更普遍的 ，
动， 进入到 “ 型阶段 ”。包括反映概念 的特例 、 概 抽象 对 “ 对象０ 的认 识还是孤立 的， ” 还必 须要 在新 的活 动
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事实 上 ， 概念 学 习中的 “ 操作 Ａ 与 “ ” 过程Ｐ 阶 ” 性 。研究如何将 Ａ Ｏ 理论与传统教学 中成 功的变式 段并没有明显的分界。 “ ＰＳ ｌ 在 操作Ａ 发生的同时， ” 也发
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“ 作Ａ 阶段应是学 生建构数学概 念的起点 ， 系 ，学 生对 奇偶 性的认识才能进入更 高层 次的 “ 操 ” 概 ｛ Ｉ ” 它为 “ 程Ｐ 过 ”阶段提供 了感性的素材 ， 生在 “ 学 过程 型ｓ
。
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