平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（第1课时）

教材分析

本节内容是必修4第二章第4节的第1课时，平面向量的数量积是继向量的加法，减法，数乘等线性运算之后又一新的运算，也是高中数学的一个重要概念，是前面知识的延续，又是学好后续知识的基础，起承上启下的作用．此外它在数学、物理等学科中的广泛应用．本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力．数量积的概念既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点．

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要探讨平面向量数量积的概念、性质及运算律．

教学目标

重点：平面向量数量积的概念，性质、运算律的发现与论证．

难点：平面向量数量积的定义及运算率的理解，平面向量数量积的应用．

知识点：平面向量数量积的概念，性质、运算律．

能力点：通过对平面向量数量积性质及运算律的探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

教育点：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐，体会各学科之间是密不可分的．培养学生思考问题认真严谨的学习态度．自主探究点：有关向量数量积的性质及运算律的证明．

考试点：①考查向量数量积运算；②有关向量夹角的计算；③应用向量解决垂直问题．

易错易混点：向量的数量积与实数的乘法的区别．

拓展点：向量在几何中证明垂直的应用．

教具准备多媒体课件、直尺

课堂模式学案导学

一、创设情境、引入课题

任意两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量，我们自然地会想到：两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？

思考：

1．如右图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W 是多少？

W=F s

结论：cosθ

2．功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s的“数量积”．一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？

【设计意图】由旧知识引出新内容，同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系．

二、探究新知

1．平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，我们把数量cosθ

a b叫做a与b的数量积(inner product)（或内积），记作a b，即cosθ

a b=a b，其中θ是a与b的夹角．

特别强调：两个向量a，b的数量积与代数中两个数,a b的乘积ab是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量a 与b的数量积是记作a b，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“×”代替，写成⨯

a b．

思考1：对于两个非零向量a与b，其数量积a b是一个数量，那么它何时为正数？何时为负数？何时为零？

结论：cosθ

a b=a b，

当cos0

θ>，即090

θ

≤<时，0

a b>；

当cos0

θ=，即90

θ=时，0

a b=；

当cos0

θ<，即90180

θ

<≤时，0

a b<．

思考2：零向量与任一向量的数量积是多少？

结论：我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．

2．投影的定义

对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，cosθ

b叫做向量b在a方向上的投影．

如上图所示，

1

cos

OBθ

=b，即有向线段

1

OB的数量为cosθ

b．

特别强调：向量的投影是一个数量．

思考1：向量b在a方向上的投影cosθ

b一定是正数吗？向量a在b方向上的投影是什么？

结论：cosθ

b不一定是正数，其正负取决于cosθ，即θ的取值．向量a在b方向上的投影是cosθ

a．思考2：根据投影的概念，数量积cosθ

a b=a b的几何意义是什么？

结论：数量积a b等于a的长度a与b在a方向上的投影cosθ

b的乘积，或等于b的长度b与a在b方向上的投影cosθ

a的乘积．

【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义．通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，掌握相关的几何意义并加深对投影的认识．

3．平面向量数量积的运算性质

思考1：设a 与b 都是非零向量，若⊥a b ，则a b 等于多少？反之成立吗？ 结论：0⊥⇔=a b a b

思考2：当a 与b 同向时，a b 等于什么？当a 与b 反向时，a b 等于什么？特别地，a a 等于什么？ 结论：当a 与b 同向时，cos0=a b =a b a b ；

当a 与b 反向时，cos π=-a b =a b a b ；

2

cos0=a a =a a a ，所以=a ．通常a a 记作2a ．

思考3：设a 与b 都是非零向量，如何计算它们的夹角？ 结论：由cos θa b =a b 可得cos θa b

=

a b

，再结合[]0,θπ∈可求出θ． 思考4：a b 与a b 的大小关系如何？为什么？

结论：cos θa b =a b ，因为cos 1θ≤，所以≤a b a b

【设计意图】通过上述4个思考，在学生讨论交流的基础上，由教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动．这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情．

4．平面向量数量积的运算律 ①发现数量积的运算律

教师引导学生回顾实数运算中有关的运算律，并类比得出数量积的运算律，体会不同运算的运算律不)()λλ==a b a b )+=+b c a c b c

()=≠⇒=0b c b a c

（ 【设计意图】通过类比、探究使学生得到数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和探究问题的能力．

答案：(1)√；(2)×；(3)√；(4)√；(5)×．

对于上述表格，学生在处理的过程中(2)(5)出错率较高，需要老师着重分析：

(2)这是因为()a b c 表示一个与c 共线的向量，而()a b c 表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以()()=a b c a b c 一般不成立，即使c 与a 共线，此式也不一定成立．