奥数新讲义-一元二次方程-根与系数的关系2(师)

第2讲 一元二次方程2：根与系数的关系

根与系数的关系应用很广，很多题目不仅涉及根与系数的关系，还综合了整数的性质（奇偶性、质数等）、因式分解等内容，具有一定的技巧性.

一、 基础知识

1．韦达定理

若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个根12,x x ，则12,x x 与方程的系数a 、b 、c 之间有以下

关系：

12b x x a +=-

；12c x x a

⋅= 这是法国数学家韦达（1540－1603年）发现的定理.

反之，若12x x p +=；12x x q ⋅=，则以12,x x 为根的一元二次方程为2

0x px q -+=

更一般地，如果一元n 次方程1

110...0(0)n n n n n a x a x a x a a --++++=≠的根为12,,...,n x x x ，那么

1122

121313123124

210

12...................................(1)n n n

n n n n

n n n n n

n n n a x x x a a x x x x x x a a x x x x x x x x x a a x x x a ------⎧

+++=-⎪⎪⎪+++=⎪⎪⎪

⎨+++=-⎪⎪

⎪

⎪⎪=-⎪⎩

2．根与系数的关系的应用

一元二次方程的根与系数的关系应用十分广泛，常见的类型如下: (1) 已知方程的一个根，求方程的另一根及方程中的字母系数；

(2) 已知两根之间的关系，求方程中字母的取值和取值范围或字母之间的关系； (3) 判断一元二次方程实根的符号；

(4) 不解方程，求一元二次方程两根的有关代数式的值； (5) 已知两根，求作一元二次方程；

(6) 非一元二次方程问题中构造一元二次方程解题.

二、 例题部分

例1（★）已知方程2

2760x x -+=的一个根为2，求另一个根；

【解】设另一个根为1x ，则1622x =

，132

x = 检验：1372222x +=+=，∴方程的另一根为3

2

例2（★）方程2

0x ax b ++=的两根的比为3:4，判别式的值等于2，求此方程的二根.

【解】：设方程的二根为3k ，4k ，则

3434k k a k k b +=-⎧⎨⋅=⎩，即2

712a k

b k

=-⎧⎨=⎩，又242a b ∆=-= ∴2

2

(7)4(12)2k k --=，解得2k =± ∴所求的二根为32,42或32,42--

例3（★）已知关于x 的二次方程2

20x px ++=的两个实根为12,x x ，且1222x x -=，那么p 的值为多少？ 【解】：依题意，得

280p ∆=->；12x x p +=-；122x x ⋅=

又22

121212()()48x x x x x x -=+-=

即2

88p -=，∴2

16,4p p ==±

例4（★，91年希望杯初二1试）当1a <-时，方程322

(1)(1)(1)0a x a x a +++-+=的根的情况是（ ） A ．两负根

B ．一正根、一负根且负根的绝对值大

C ．一正根、一负根且负根的绝对值小

D ．没有实数根

【解】当1a <-时，3

2

10,10,10a a a +<+>+<，易得0∆>

设方程两根为12,x x ，则123

1

01

a x x a +⋅=-

<+，表示方程两根一正一负； 又21231

01

a x x a ++=->+，表示负根绝对值小于正根，故选C

例5（★★）已知方程22320x x k -+-=，k 为实数，试证明此方程有两实根，并判断两实根与1的大小关系；

【解】：2130k ∆=+>，∴此方程有两实根；不妨设为,αβ，由韦达定理，得：

23,2k αβαβ+==-

考虑1,1αβ--的积的正负性，则有

2(1)(1)()1k αβαβαβ--=-++=-

当k ＝0时，方程化为2

320x x -+=，此时一根等于1，一根大于1；

当k ≠0时，2

(1)(1)0k αβ--=-<，知1,1αβ--一正一负，即,αβ中一个大于1，一个小于1.

例6（★★，第9届“祖冲之杯”）如果二次方程2

(2)2()20ab b x b a x a ab -+-+-=有两个相等的实根，

那么

11

a b

+=_________； 【解】：常规思路是根据判别式为0进行推导，化简得到2

()0a b ab +-=，则

11

1a b

+=，但是比较麻烦，观察可知方程系数和为0，说明1x =是方程的解，由于方程有两个相等的实根，∴另一根也是1，∴

212a ab ab b -=-，化简得a b ab +=，∴11

1a b

+=

例7（★★，94年希望杯初二2试）已知关于x 的二次方程22210x ax a +-+=的两个实数根的平方和为1

7

4

，则a 的值为_______； 【解】：设两根为12,x x ，则

2222

221212128(21)1680

()

2129()2()2()()

224

a a a a a a a x x x x x x

b ∆=--+=+-≥-++=+-=--=

整理（b ）得28330a a +-=，解得3a =或11a =- 将a ＝3代入(a)式，得2316380+⨯->；

将a ＝－11代入(a)式，得2

(11)16(11)80-+⨯--<，不满足； ∴a 的值为3

例8（★★，第七届“祖冲之杯”）若m 、n 是二次方程2199470x x ++=的两个根，试求

22(19936)(19958)m m n n ++++的值；

【解】：∵m 、n 是二次方程2199470x x ++=的两个根

∴22

199********m m n n ++=++=

∴2

19936(1)m m m ++=-+；2199581n n n ++=+ ∴22

(19936)(19958)(1)(1)m m n n m n ++++=-++ ∵1994,7m n mn +=-=

∴22

(19936)(19958)(1)(1)()11986m m n n m n mn m n ++++=-++=--+-=

例9（★★，98年江苏省竞赛）已知关于x 的一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠没有实数根，甲由于

看错了二次项系数，求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－1和4，那么