函数的单调性典型例题精析
精析三角函数单调性的应用
精析三角函数单调性的应用三角函数的单调性是三角函数的重要性质，在三角函数的各类问题中都能见到单调性的独特应用的地方，特别是在比较大小、求三角函数的单调区间，解不等式等方面有着不可替代的作用。
应用1.利用三角函数的单调性比较大小例1.比较下列各组数的大小（1）33sin(sin ),sin(cos )88ππ; (2)13tan 4π与17tan 5π 分析：将各个值化为同名的三角函数,且角在同一单调区间内,再利用三角函数的单调性求解.解：(1) ∵3cos sin 88ππ=,∴330cos sin 188ππ<<<.而sin y x =在(0,1)内递增, ∴33sin(sin )sin(cos )88ππ<. (2) 13tan tan 4π=4π，172tan tan 55ππ=，⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增，2tan tan .45ππ∴<。
点评：比较两个三角函数值的大小常常先将它们化为同名函数，然后将角化为在该函数的同一单调区间内的角．最后利用函数的单调性来比较函数值的大小．应用2.利用三角函数的单调性求单调区间例2.求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π的单调区间。
分析：把⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π转化为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=432sin 21πx y ，然后把234x π-看成一个整体求解即可。
解:(1)原函数变形为⎪⎭⎫ ⎝⎛--=432sin 21πx y 令432π-=x u ,则只需求u y sin =的单调区间即可.2243222sin πππππ+≤-=≤-=k x u k u y 在 (Z k ∈)上单调递增 即893833ππππ+≤≤-k x k ,(Z k ∈)上单调递增, u y sin =在2322()2342x k u k k Z πππππ+≤=-≤+∈上单调递减即)(,8213893Z k k x k ∈+≤≤+ππππ上单调递减 故⎪⎭⎫ ⎝⎛-=324sin 21x y π的递减区间为:,893,833⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππk k ()k Z ∈ 递增区间为:)(,8213,893Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πππ. 点评：研究三角函数的性质时常常利用整体的思想。
利用导数求函数的单调性-高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第六篇函数与导数专题02利用导数求函数的单调性类型对应典例不含参数的函数单调性典例1含参函数中主导函数是一次函数典例2含参函数中主导函数是类一次函数典例3含参函数中主导函数是二次函数（不能因式分解）典例4含参函数中主导函数是二次函数（能因式分解）典例5含参函数中主导函数是类二次函数典例6利用函数单调性求参数取值范围典例7【典例1】已知函数()()1ln f x x a R ax=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行．(1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>．【典例2】已知函数op =−En −.（1）讨论函数op 的单调性.（2）若∀>0，op ≥0，求B 的最大值.【典例3】已知函数ln ()(,)x af x bx a b R x-=-∈.（1）当0b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()()f x g x x=在x =e 为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x 在(0,)e 上有两个零点，求实数b 的取值范围.【典例4】已知函数()()21ln 2f x x x ax a R =++∈，()232x g x e x x =+-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）定义：对于函数()f x ，若存在0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数()f x 的不动点.如果函数()()()F x f x g x =-存在不动点，求实数a 的取值范围.【典例5】已知函数22()ln f x x ax a x =--.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【典例6】已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．【典例7】已知函数()ln ()x e f x x x ax a R =-+∈.（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，求()f x 的最大值.1.已知函数()()22122()2xf x x x e ax a R =-+-∈.（1）当a e =时，求函数()f x 的单调区间；（2）证明：当2a ≤-时，()2f x ≥.2.已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．3.已知函数()()2()1ln 1(0)f x a x x x ax a =++-->是减函数.（1）试确定a 的值；（2）已知数列{}()()*123ln 11n n n n n a a T a a a a n N n +==∈+ ，求证：()ln 212n nn T +<-⎡⎤⎣⎦.4.已知函数()22ln .f x a x x =-()1讨论函数()f x 的单调性；()2当0a >时，求函数()f x 在区间()21,e 上的零点个数.5.已知函数()()ln f x x ax a R =-∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a =-，当0x >时，函数()()()220g x x mf x m =->有且只有一个零点，求m 的值.6.设22(),()11x e f x xe ax g x nx x x a=-=+-+-．（1）求()g x 的单调区间；（2）讨论()f x 零点的个数；（3）当0a >时，设()()()0h x f x ag x =-恒成立，求实数a 的取值范围．7.已知函数2()2ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，当a ≥()()21f x f x -的最大值.参考答案【典例1】【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,+∞，()11112f a =-='，解得2a =，()1ln 2f x x x ∴=+，()22112122x f x x x x -∴=-='令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；令()0f x '>，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增.（2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x xx x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=，2121212ln x x x x x -=令12x t x =，由12x x <，得01t <<.则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=，构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，则()()22211210t h t t t t -=+-=>'所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->.故命题121x x +>得证.【典例2】解：（1）函数op 的定义域为(0,+∞)，由op =−En −，得n(p =1−=K，当≤0时，n(p >0，所以函数op 在(0,+∞)上单调递增.当>0时，则∈(0,p 时，n(p <0，函数op 在(0,p 上单调递减；∈(s +∞)时，n(p >0，函数op 在(s +∞)上单调递增.（2）由（1）可知，当<0时，函数op 在(0,+∞)上单调递增，当→0时，op →−∞与op ≥0相矛盾；当=0时，∀>0，op ≥0，所以≤0，此时B =0.当>0时，函数op 在(0,p 上单调递减，函数op 在(s +∞)上单调递增.op min =op =−En −≥0，即−En ≥，则B ≤2−2lno >0).令op =2−2lno >0)，则n(p =o1−2lnp .令n(p >0，则0<<，令n(p <0，则>，当=时，op =2，即当=，=B 的最大值为2.综上，B 的最大值为2.【典例3】【详解】（1）当0b =时，()ln x af x x-=，()()221ln 1ln x x a a x x f x x x ⋅--+-=='，令()0f x '=，得1a x e +=，当()10,ax e+∈时，()0f x '>，当()1,ax e+∈+∞时，()0f x '<.所以函数()f x 在()10,ae+上单调递增，在()1,ae++∞上单调递减.（2）()()2ln f x x a g x b x x-==-，()()2431ln 2122ln x x a xa x x g x x x ⋅--⋅-=='+，∵()g x在x =∴0g '=即1210a +-=，∴0a =.所以()2ln x g x b x =-，()312ln xg x x-'=，函数()g x在(上单调递增，在)+∞上单调递减，得函数的极大值12gb e=-，∴当函数()g x 在()0,e 上有两个零点时，必有()0,10,2g e b e ⎧<⎪⎨->⎪⎩得2112b e e<<.当2112b e e <<时，210g e b e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭.∴()g x的两个零点分别在区间1e ⎛ ⎝与)e 中.∴的取值范围是211,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭.【典例4】【详解】(1)()f x 的定义域为()()()210,0x ax f x x x，+++∞=>'，对于函数210y x ax =++≥，①当240a ∆=-≤时，即22a -≤≤时，210x ax ++≥在0x >恒成立.()210x ax f x x++∴=≥'在()0,+∞恒成立.()f x ∴在()0,+∞为增函数；②当0∆>，即2a <-或2a >时，当2a <-时，由()0f x '>，得42a x --<或42a x ->，44022a a --<<，()f x ∴在40,2a ⎛-- ⎪⎝⎭为增函数，44,22a a ⎛--+ ⎪⎝⎭减函数.,2a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭为增函数，当2a >时，由()210x ax f x x++=>'在()0,+∞恒成立，()f x ∴在()0,+∞为增函数。
高中数学选择性必修二 精讲精炼 5 1 函的单调性(精讲)(含答案)
5.3.1 函数的单调性(精讲)考点一导数与单调性图像问题【例1】(2021·全国高二课时练习)()'f x是函数y＝f(x)的导函数，若y＝()'f x的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由导函数的图象可知，当x＜0时，()'f x＞0，即函数f(x)为增函数；当0＜x＜2时，()'f x＜0，即f(x)为减函数；当x＞2时，()'f x＞0，即函数f(x)为增函数.观察选项易知D正确.故选：D【一隅三反】1(2021·全国高二课时练习)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数()y f x '=的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】∵函数f (x )在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数， ∴当x ＞0时，f ′(x )＜0，当x ＜0时，f ′(x )＜0.故选：D2．(2021·全国高二课时练习)如果函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么导函数y ＝()'f x 的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负，只有选项A 满足．故选：A ． 3．(2021·西藏日喀则区南木林高级中学)如图所示是函数()f x 的导函数()'f x 的图象，则下列判断中正确的是( )A ．函数()f x 在区间(3,0)-上是减函数B ．函数()f x 在区间(3,2)-上是减函数C ．函数()f x 在区间(0,2)上是减函数D ．函数()f x 在区间(3,2)-上是单调函数 【答案】A【解析】由函数()y f x =的导函数()'f x 的图像知，A ：(30)x ∈-，时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，故A 正确； B ：(32)x ∈-，时，()0f x '<或()0f x '>， 所以函数()f x 先单调递减，再单调递增，故B 错误；C ：(02)x ∈，时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，故C 错误； D ：(32)x ∈-，时，()0f x '<或()0f x '>， 所以函数()f x 先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D 错误.故选：A考点二 无参单调性区间【例2】(2021·全国高二课时练习)求下列函数的单调区间.(1)f (x )＝x 3－3x ＋1；(2)y ＝x ＋2x.(3)32223y x x =-+3；(4)y ＝ln(2x ＋3)＋x 2.【答案】(1)增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1)；(2)增区间为(－∞，)和)，减区间为(，0)和(0(3)单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)； (4)单调递增区间为3(,1)2--，1(,)2-+∞，单调递减区间为1(1,)2--.【解析】(1)()'f x ＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 令()'f x >0，得x >1，或x <－1.令()'f x <0，得－1<x <1.∴f (x )的增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，减区间是(－1，1).(2)y '＝1－22x由y '>0，解得x <x 由y '<0<x (x ≠0).∴函数的增区间为(和)，减区间为(，0)和(0(3)函数的定义域为R.y ′＝2x 2－4x ＝2x (x －2)．令y ′＞0，则2x (x －2)＞0，解得x ＜0或x ＞2.所以函数的单调递增区间为(－ ∞，0)，(2，＋∞)．令y ′＜0，则2x (x －2)＜0，解得0＜x ＜2.所以函数的单调递减区间为(0，2)．(4) 函数y ＝ln(2x ＋3)＋x 2的定义域为3(,)2-+∞.y ′＝223x +＋2x ＝246223x x x +++＝2(21)(1)23x x x +++.令y ′＞0，解得－32＜x ＜－1或x ＞－12.所以函数的单调递增区间为3(,1)2--，1(,)2-+∞.令y ′＜0，解得－1＜x ＜－12，所以函数的单调递减区间为1(1,)2--.【一隅三反】1(2021·全国高二单元测试)设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-，且f x 是偶函数，则()f x 的单调递增区间为( ) A ．(0,)+∞ B ．(,1)-∞-，(1,)+∞ C ．(1,1)- D ．(3,)+∞【答案】B【解析】因为32()(3)f x x ax a x =++-，所以()2323f x x ax a '=++-，因为f x 是偶函数，所以()()f x f x ''-=对x ∈R 恒成立，即223()2()3323x a x a x ax a -+-+-=++-，即40ax =，所以0a =，所以()233f x x ='-，令0fx，解得1x >或1x <-，所以()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-，(1,)+∞． 故选：B ．2．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．单调递增 D ．单调递减【答案】D【解析】f ′(x )＝－sin x －1，x ∈(0，π)，∴f ′(x )<0，则f (x )＝cos x －x 在(0，π)上单调递减.选：D3．(2021·绥德中学高二月考(理))若曲线()21x e f x ax -=+在点()()1,1f 处的切线过点()1,0-，则函数()f x 的单调递减区间为( ) A ．(),0-∞ B ．()0,∞+C ．()(),11,0-∞--D ．(),1-∞-，()1,0-【答案】D【解析】由题意得22(1)()(1)x ax a e f x ax -+-'=+，所以12(1)(1)e k f a -='=+，且()111ef a -=+．故函数()f x 在(1,()1f )处的切线为：211(1)(1)(1)y x e a e a -=-++，将点(1,0)-代入得1a =． 则22()(1)x xe f x x -'=+，由()0f x '<得0x <且1x ≠-．故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-，(1,0)-． 故选：D ．4．(2021·全国)求下列函数的单调区间(1)f (x )＝211+-x x ；(2)y ＝12x 2－ln x ．(3)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1；(4)f (x )＝sin x －x (0<x <π)．(5)()()22e xf x x x -=+；(6)()sin 2cos x f x x=+．【答案】(1)单调递增区间是(－∞，1和(1＋∞)；单调递减区间是(1，1)和(1，1) ；(2)单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1) ． (3)增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2) ； (4)单调递减区间为(0，π) ．(5)函数的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(；(6)单调递增区间为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，单调递减区间242,233k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(k ∈Z ).【解析】(1)f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠1}，f ′(x )＝222(1)(1)(1)x x x x --+-＝2221(1)x x x ---＝2(1(1(1)x x x ⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦-．令f ′(x )>0，解得x >1或x <1f ′(x )<0，解得1<x <1或1<x <1．所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1和(1＋∞)；单调递减区间是(11)和(1，1． (2)函数y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，又y ′＝(1)(1)x x x+-． 若y ′>0，即(1)(1)0,0,x x x +->⎧⎨>⎩解得x >1；若y ′<0，即(1)(1)0,0,x x x +-<⎧⎨>⎩解得0<x <1．故函数y ＝12x 2－ln x 的单调递增区间为(1，＋∞)；单调递减区间为(0，1)． (3)()'f x ＝6x 2＋6x －36．由()'f x >0得6x 2＋6x －36>0，解得x <－3或x >2；由()'f x <0解得 －3<x <2．故f (x )的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)；减区间是(－3，2)．(4)()'f x ＝cos x －1．因为0<x <π，所以cos x －1<0恒成立，故函数f (x )的单调递减区间为(0，π)，无增区间．(5)由题得函数的定义域为R .()()2()222x x f x x e x x e --'=+-+()22xx e -=--，令()0f x '>，即()220xe x --->，解得x <<令()0f x '<，即()220xe x ---<，解得x <x >故所求函数的单调递减区间为(,-∞，)+∞，单调递增区间为(．(6)由题得函数的定义域为R .()()()()()222cos cos sin sin 2cos 12cos 2cos x x x x x x f x x +--+==+'+令()0f x '>，得1cos 2x >-，即222233k x k ππππ-<<+(k ∈Z )，令()0f x '<，得1cos 2x <-，即242233k x k ππππ+<<+(k ∈Z )，故()f x 的单调递增区间为222,233ππk πk π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )，单调递减区间242,233k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭(k ∈Z )． 考点三 已知单调性求参数【例3-1】(2021·河南高二期末)若函数()222ln f x x a x x=++在[]2,1上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．[)0,+∞ B ．(],0-∞C ．7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．5,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】由()222ln f x x a x x =++，得()2222a f x x x x'=-++， 由()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，得()22220a f x x x x '=-++≤在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即21a x x ≤-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立.令()21g x x x =-，在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()2120g x x x '=--<，∴()g x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，即()()min 10g x g ==，∴0a ≤，故a 的取值范围(],0-∞.故选：B .【例3-2】(2021·全国高二单元测试)已知函数21()2ln 2f x ax ax x =-+，则()f x 在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是( )A ．1,8a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭B ．[1,)a ∈+∞C ．(,0]a ∈-∞D ．(,1)a ∈-∞-【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()21212ax ax f x ax a x x-+'=-+=，令2()21g x ax ax =-+，若()f x 在(2,4)上不单调，则函数2()21g x ax ax =-+与x 轴在(2,4)上有交点， 又(0)(2)1g g ==，则(2)(4)0g g <，解得18a <-，故()f x 在(2,4)上不单调的一个充分不必要条件是(,1)a ∈-∞-．故选：D ． 【一隅三反】1．(2021·重庆市广益中学校高二月考)若函数()2cos f x x a x =+在()0,π上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．[]22-,B ．(2,2)-C ．(),2-∞D ．(],2-∞【答案】D【解析】由()'2cos ()2sin f x x a x f x a x =+⇒=-，函数()2cos f x x a x =+在()0,π上单调递增，所以'()2sin 0f x a x =-≥在()0,π上恒成立，即2sin a x≤在()0,π上恒成立， 因为()0,x π∈，所以sin (0,1]x ∈，因此22sin x ≥，要想2sin a x≤在()0,π上恒成立，只需2a ≤，故选：D 2．(2021·山西运城·高二期中(理))已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围为( ) A ．12,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．21,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由()11ax f x a x x+'=+=，①当0a ≥时函数()f x 单调递增，不合题意；②当0a <时，函数()f x 的极值点为1x a =-，若函数()f x 在区间()1,2不单调，必有112a <-<，解得112a -<<-.故选：C.3．(2021·宁夏大学附属中学高二月考)已知函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(,-∞B ．⎡⎣C ．)+∞D ．(【答案】B【解析】由32()1f x x ax x =-+--，得'2()321f x x ax =-+-， 因为函数32()1f x x ax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数， 所以'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，因为'2()321f x x ax =-+-的图像开口向下，所以'()0f x ≥恒成立不可能， 所以'()0f x ≤恒成立，所以2244(3)(1)4120a a ∆=-⨯-⨯-=-≤，解得a ≤ 故选：B4．(2021·江苏金湖·高二月考)函数21()9ln 2f x x x =-在区间(,1)m m +上单调递减，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．[0,2]C ．[0,1)D ．(0,2)【答案】B【解析】函数定义域是(0,)+∞，由题意9(3)(3)()x x f x x x x +-'=-=，03x <<时()0f x '<，3x >时，()0f x '>， 所以()f x 的减区间是(0,3)，又(,1)(0,3)m m +⊆，所以013m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得02m ≤≤．故选：B ．5．(2021·全国高二课时练习)若函数()312f x x x =-在区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．(][][),31,13,-∞-⋃-⋃+∞B ．()()3,11,3--⋃C ．()2,2-D ．不存在这样的实数k【答案】B【解析】由题意得，()23120x x f '=-=在区间()1,1k k -+上至少有一个实数根， 而()23120x x f '=-=的根为2x =±，区间()1,1k k -+的长度为2，故区间()1,1k k -+内必含有2或2-．∴121k k -<<+或121k k -<-<+， ∴13k <<或31k -<<-，故选：B ．考点四 利用单调性比较大小【例4】(1)(2021·全国高二单元测试)已知奇函数f (x )的导函数为()'f x ，当x ≠0时，x ()'f x +f (x )＞0，若a ＝1e f 1e ⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝﹣e f (﹣e)，c ＝f (1)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b(2)(2021·全国高二单元测试)函数()ln xf x x=，当01x <<时，下列式子大小关系正确的是( ) A ．()()()22f x f x f x <<B ．()()()22f x f x f x <<C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<【答案】(1)C(2)C【解析】(1)令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )+xf ′(x )＞0，所以g (x )为递增函数， 因为e ＞1＞1e ，∴g (e)＞g (1)＞g (1e )，∴e f (e)＞f (1)＞1e f (1e)，又f (x )为奇函数，所以﹣e f (﹣e)＝e f (e)，∴b ＞c ＞a ，故选：C.(2)()2210x x x x x x -=-<⇒<，()()'2ln 10ln x f x x -=<，()f x 在()0,1上递减，所以()()2f x f x >.()()()()()22222222ln 20ln ln 2ln x x x x f x f x x x x --=-=<，所以()()22f x f x <，所以()()()22f x f x f x <<.故选：C 【一隅三反】1．(2021·全国高二课时练习)设函数()2sin f x x x =+，则( ) A ．()()12f f > B ．()()12f f < C ．()()12f f = D ．以上都不正确【答案】B【解析】由题可知()2sin ()f x x x x R =+∈，()2cos f x x '∴=+， 又当x ∈R ，则1cos 1x -≤≤，()2cos 0f x x '∴=+>， 故()f x 是R 上的增函数，故()()12f f <.故选：B.2．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知函数f (x )的导函数为()'f x ，且()()f x f x '<，对任意的x ∈R 恒成立，则( )A ．f (ln2)<2f (0)B ．f (2)<e 2f (0)C ．f (ln2)>2f (0)D ．f (2)>e 2f (0) 【答案】AB 【解析】依题意，令()()e x f xg x =，则()()()0e x f x f x g x '-=<，于是得()g x 在R 上单调递减， 而ln2>0，2>0，则(ln 2)(0)g g <，(2)(0)g g <，即ln 20(ln 2)(0)(0)e e f f f <=，20(2)(0)(0)e ef f f <=， 所以f (ln2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0).故选：AB 3．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数y ＝f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (a )B ．f (d )>f (e )C ．f (a )>f (d )D ．f (c )>f (e )【答案】ABD 【解析】由题图可得，当x ∈(－∞，c )∪(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0，故f (x )在(－∞，c )，(e ，＋∞)上是增函数，在(c ，e )上是减函数， 且a b c d e <<<<， 所以f (b )>f (a )，f (d )>f (e )，f (c )>f (e ).故选：ABD4．(2021·全国高二课时练习)(多选题)已知定义在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上的函数f (x )的导函数为()f x '，且()00f =，()()cos sin 0f x x f x x '+<，则下列判断中正确的是( )A ．64f f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．ln 03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．43f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】CD 【解析】令()()cos f x g x x =，[0,)2x π∈，因为()cos ()sin 0f x x f x x '+<，则2()cos ()sin ()0f x x f x x g x cos x '+'=<在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， 故()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减， 因为(0)0f =，则()(0)00cos 0f g ==，所以()()0cos f x g x x =≤在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立， 结合选项可知，由于64ππ<，所以()()64g g ππ>，()()f f ππ>，即()()64f f ππ>，故A 选项错误； 因为13π>，则03ln π>，结合()g x 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，且()0g x ≤， 可知03g ln π⎛⎫< ⎪⎝⎭，从而有()30cos 3f ln ln ππ<， 由于0132ln ππ<<<，则cos 03ln π>，可得03f ln π⎛⎫< ⎪⎝⎭，故B 选项错误； 又因为63ππ<，所以()()63g g ππ>()()312f f ππ>，即()()63f ππ，故C 选项正确； 又因为43ππ<，所以()()43g g ππ>()()312f f ππ>，即()()43f ππ>，故D 选项正确． 故选：CD ．考点五 利用单调性解不等式【例5】(2021·全国高二课时练习)已知()f x 的定义域为()0,∞+，()f x '为()f x 的导函数，且满足()()f x xf x <-'，则不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是( )A ．()0,1B ．()2,+∞C ．()1,2D ．()1,+∞【答案】B【解析】构造函数()y xf x =，()0,x ∈+∞，则()()0y f x xf x +''=<，所以函数()y xf x =的图象在()0,∞+上单调递减．又因为()()()2111f x x f x +>--， 所以()()()()221111x f x x f x ++>--， 所以211x x +<-，解得2x >或1x <-(舍)．所以不等式()()()2111f x x f x +>--的解集是()2,+∞． 故选：B【一隅三反】1．(2021·全国高二单元测试)定义域为R 的函数()2(0x f x x a a =+>且1)a ≠，且()f x 的导函数()2f x '>，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,)+∞C ．(2,)+∞D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由()2f x '>可知()20f x '->，设()()2F x f x x =-， ()0F x '∴>，()F x ∴是R 上的单调递增函数．由()2(0x f x x a a =+>且1)a ≠，可知()()2(0x F x f x x a a =-=>且1)a ≠，1a ∴>.故选：B ．2．(2021·全国高二单元测试)已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()0f x f x '->，2022(2022)e 0f -=，则不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭( ) A ．()6063e ,+∞ B ．()20220,e C ．()8088e ,+∞ D ．()80880,e【答案】D 【解析】由题可设()()e xf x F x =，因为()()0f x f x '->， 则2()e ()e ()()()0e e x x x xf x f x f x f x F x ''--'==>， 所以函数()F x 在R 上单调递增，又2022(2022)(2022)1e f F ==，不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 41ln 41e x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭<， ∴1ln 1(2022)4F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 所以1ln 20224x <，解得80880e x <<，所以不等式1ln 4f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()80880,e ． 故选：D.3．(2021·广西蒙山中学高二月考(理))已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)=20，且f (x )的导函数()'f x 满足2()62f x x '>+，则不等式f (x )>2x 3+2x 的解集为( )A ．{x |x >-2}B ．{x |x >2}C ．{x |x <2}D ．{x |x <-2或x >2}【答案】B【解析】 令3()()22g x f x x x =--，因2()62f x x '>+，则2()()620g x f x x ''=-->，即()g x 在R 上单调递增， 因3(2)(2)22220g f =-⋅-⋅=，则不等式f (x )>2x 3+2x 等价于()(2)g x g >，于是得x >2，所以原不等式的解集为{x |x >2}.故选：B4．(2021·山东任城·)已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x >'+，()03f =，则不等式()21x f x e >+的解集为( )A ．(),0-∞B ．()0,∞+C ．(),1-∞D ．()1,+∞ 【答案】A【解析】设()g x ＝()1x f x e -，则()g x '＝()()1xf x f x e '---， ∵()()1f x f x >'+，∴()()10f x f x '-->，∴()0g x '<，∴y ＝g (x )在定义域上单调递减，∵()21x f x e >+∴()g x ＝()12xf x e ->， 又()0g ＝0(0)12f e -=，∴()()0g x g >， ∴0x <，∴()21x f x e >+的解集为(),0-∞．故选：A ．5(2021·全国高二课时练习)已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x ∈R 恒成立，则( )A ．()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f >B ．()()1e 0f f >，()()20202020e 0f f >C ．()()1e 0f f >，()()20202020e 0f f <D ．()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f <【答案】D【解析】令()()x f x g x =e ，则()()()()()()()2e e 0e e e x x x x x f x f x f x f x f x g x '''-'-⎡⎤'===<⎢⎥⎣⎦， 所以函数()()x f x g x =e 在R 上单调递减，所以()()10g g <，()()20200<g g ， 即()()110e 1f f <，()()202020200e 1f f <，故()()1e 0f f <，()()20202020e 0f f <． 故选：D.。
函数的单调区间典例精讲
函数的单调区间典例精讲例1：下列函数中，在()0,+∞上为增函数的是（）A.()sin 2f x x= B.()xf x xe= C.()3f x x x =- D.()ln f x x x=-+思路：本题只需分析各个函数在()0,+∞上的单调性即可。
A 选项()sin 2f x x =通过其图像可知显然在()0,+∞不单调；B 选项()()'1x x x fx e xe x e =+=+，当()0,x ∈+∞时，()'0f x >，所以()f x 在()0,+∞单调递增；C 选项()23331=333f x x x x ⎛⎫⎛=--+ ⎪⎝⎭⎝⎭‘可得()f x 在3⎛ ⎝⎭单调递减，在,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；D 选项()'111x f x x x -=-+=，可得()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减。
综上，B 符合条件答案：B例2：函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是（）A.()0,+∞ B.(),0-∞ C.()2,+∞ D.(),2-∞-思路：先分析()f x 的定义域：()()240,22,x x ->⇒∈-∞-+∞ ，再观察解析式可得()f x 可视为函数212log ,4y t t x ==-的复合函数，根据复合函数单调性同增异减的特点，可分别分析两个函数的单调性，对于12log y t =而言，y 对t 是减函数。
所以如要求得增区间，则24t x =-中t 对x 也应为减函数。
结合定义域可得()f x 的单调增区间为(),2-∞-答案：D例3：求函数()()32333xf x x x x e-=+--的单调区间（2009宁夏，21题（1））思路：第一步：先确定定义域，()f x 定义域为R ，第二步：求导：()()'232()363333xxf x x x ex x x e --=+--+--()()()3933x x x x e x x x e --=--=--+,第三步：令'()0f x >,即()()330xx x x e---+>第四步：处理恒正恒负的因式，可得()()330x x x -+<第五步：求解()()3,03,x ∈-+∞ ,列出表格x (),3-∞-()3,0-()0,3()3,+∞'()f x -+-+()f x 减增减增例4：求函数()()ln ln 2f x x x x =+-+的单调区间解：定义域()0,2x ∈()()()()(()2'221121=2222x x x x x x x f x x x x x x x x x -+-++--=++==----()0,2x ∈ 20,0x x ∴-<+∴令导数()'0f x >解得：0xx -<⇒<（通过定义域大大化简解不等式的过程）∴例5：求函数()2f x =的单调区间解：()()122'32112ln ln ln 4ln 122x x xx x x f x x x -⋅-==令()'0fx >，即解不等式()ln ln 40x x -<，解得40ln 41x x e <<⇒<<()f x ∴的单调区间为x ()0,1()41,e ()4,e +∞()'f x -+-()f x ↘↗↘例6：求函数()1ln f x x x =--的单调区间思路：函数还有绝对值，从而考虑先通过分类讨论去掉绝对值，在求导进行单调性分析解：()1ln ,11ln ,01x x x f x x x x -->⎧=⎨--<<⎩，当()0,1x ∈时，()1ln f x x x =--为减函数当()1,x ∈+∞时，()'111x f x x x-=-=1x > ()'0f x ∴>()f x ∴在()1,+∞单调递增综上所述：()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增（1）对于含绝对值的函数，可通过对绝对值内表达式的符号进行分类讨论可去掉绝对值，从而将函数转变为一个分段函数。
导数的应用之与三角函数有关的函数单调性解析版
导数的应用之与三角函数有关的函数单调性
【知识导图】
【例题精讲】
一、可因式分解求函数单调性
二、可因式分解求函数单调性类型1、二次求导求函数单调性
类型2、放缩(指对函数值域)求函数单调性
例3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数()e cos 2x f x ax x =-+-.若()f x 在()0,∞+上单调递增，求实
数a 的取值范围；
【分析】根据题意转化为e sin x a x ≤-在()0,∞+上恒成立，然后转化为最值问题，求导即可得到结果；
【详解】因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()e sin 0x f x a x '=--≥在()0,∞+上恒成立，
即e sin x a x ≤-.令()e sin x h x x =-.
因为e 1x >且cos 1≤x ，
所以()e cos 0x h x x =->'在()0,∞+上恒成立.
所以()h x 在()0,∞+上单调递增，所以()()01h x h >=，所以1a ≤.
三、三角函数有关的函数应用
类型1、零点的判定与证明问题
例2.已知函数()=sin +ln (1+).
证明：（1）()在区间(0,)存在唯一极大值点;
（2）()有且仅有1个零点.。
(精华)函数的单调性经典题型归纳总结讲义老师版(含答案)
课时一：函数的单调性一、单调性定义1、图形描述：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。
2、定量描述对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当___1x <2x 时____，都有_____1()f x <)(2x f ,______则说)(x f 在区间D 上是增函数；（2）若当____1x <2x 时_____，都有___)(1x f >)(2x f ,_______则说)(x f 在区间D 上是减函数。
3、单调性与单调区间若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）____单调性____，这一区间叫做函数)(x f 的____单调区间____。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。
特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。
有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(],0x ∈-∞时是减函数。
而有的函数在整个定义域上都是单调的。
2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。
二、常见函数的单调性 （1）一次函数：)0(,≠+=k b kx y{上单调递增时，函数在上单调递减时，函数在R k R k 00><（2）反比例函数：xk y ={）上单调递减，），（，时，函数在（）上单调递增，），（，时，函数在（∞+∞>∞+∞<00-000-0k k（3）一元二次函数：)0(,2≠++=a c bx ax y上单减，时，在（]2--0aba ∞>上单增在),2[+∞-ab上单增，时，在（]2--0aba ∞<上单减在),2[+∞-ab（4）对勾函数：xa x y +=上单增，时，在),[],a --(0+∞∞>a a上单减在),0(),0,(a a -三、证明函数单调性步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； ⑵作差：)()(21x f x f -； ⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。
函数单调性的习题及答案
函数的单调性〔一〕一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是〔 〕A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 〔 〕 A ．－7 B ．1 C ．17 D ．25 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是〔 〕A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是〔 〕A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥310．已知函数()()2212f x x a x =+-+的单调递减区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是〔 〕 A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥3二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) 〔1〕求f (1)的值．〔2〕假设f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试讨论函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］〔1〕当a =21时，求函数f (x )的最小值；〔2〕假设对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)，又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x xx18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满足f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①判断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须讨论0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的表达．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
5.3.1 函数的单调性(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练选择性必修二
3．（2022·天津一中高二期中）已知函数 f x mx3 3m 1 x2 m2 1m 0 的单调递减区间是 0, 4 ，则
m（ ） A．3 【答案】B
B．
1 3
C．2
D．
1 2
【解析】函数 f x mx3 3m 1 x2 m2 1m 0 ，则导数 f x 3mx2 6m 1 x
）
A．2,
B．
1 8
,
C．
1 8
,
2
D． 2,
【答案】D
【解析】∵ f (x) ln x ax2 2 ，
∴ f (x) 1 2ax，
x
若
f
x
在区间
1 2
,
2
内存在单调递增区间，则
f
(x)
0,
x
1 2
,
2
有解，
故a
1 2x2
，
令
g(x)
1 2x2
，则
g(x)
1 2x2
在
h x ax2 2ax 1的对称轴为 x 1，由零点存在性定理可得：
h3 h4 0 ，故 9a 6a 116a 8a 1 0 ，
解得：
a
1 8
,
1 3
，
故
a
的取值范围
1 8
,
1 3
.
故选：C
10．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（理））函数 f x x2 a 2 x a ln x 在区间 1, 2 上
的取值范围是（ ）
A． , 2
B． , 1
C．2,
D．1,
【答案】D
【解析】由
y
x
a
函数单调性经典题目含解析及答案
13、函数 y f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (2m) f (m 9) ，则实数 m 的取值范围 解析：函数的单调性。
答案： (3,)
14、对任意的 x [1,) ，不等式 x2 2x a 0 恒成立，求实数 a 的取值
范围
解 析 ： 将 不 等 式 转 化 为 a x2 2x, x [1,) 恒 成 立 ， 即 求
ax 5, a,x 1 x
x
1
是
R
上的增函数，则
a
的取值范围
解析：分段函数单调性，分别求各段的单调性，再比较分界点的大小
答案： 3 a 2 24、已知函数 f (x) ax2 2x 2 ，若对一切 x [1 ,2] ， f (x) 0 都成立，
2
则实数 a 的取值范围
解析：（1）根据对称轴与区间端点的关系与二次函数的性质（2）二
次函数专题的最小值的三点三分法
17 10a, a 4
答案：（1） a 6或a 4 （2） a2 2a 1,4 a 6
37 10a, a 6
23、已知函数
f
(x)
x2
x
x
1
(x
2)
的最大值
解析：分离常数，利用函数单调性
答案：2
27、设函数 f (x) 是定义在 R 上的增函数，且 f (xy) f (x) f ( y), f (3) 1则
不等式 f (x) f (2) 1 的解集
解析： f (x) f (2) f (2x) ，利用函数单调性 答案： x 3
1、求函数 f (x) 8 2x x2 的单调区间
单调性考试题目及答案
单调性考试题目及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=x^3-3x在区间(-∞, +∞)上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案：C2. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则下列说法正确的是：A. f(a) > f(b)B. f(a) < f(b)C. f(a) ≥ f(b)D. f(a) ≤ f(b)答案：B3. 函数f(x)=2x-1在R上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 非单调D. 无法确定答案：A4. 函数f(x)=x^2在区间[0, +∞)上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案：A5. 函数f(x)=-x^3+3x^2-2在区间(-∞, +∞)上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案：D二、填空题（每题3分，共15分）6. 若函数f(x)在区间(a, b)上单调递增，则对于任意x1, x2∈(a,b)，若x1 < x2，则有f(x1) ______ f(x2)。
答案：<7. 函数f(x)=x^3在R上的单调性是_________。
答案：单调递增8. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递减，则f(a)与f(b)的大小关系是f(a) ______ f(b)。
答案：>9. 函数f(x)=1/x在区间(-∞, 0)和(0, +∞)上的单调性分别是_________。
答案：单调递减，单调递减10. 若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 3]上的单调性是_________。
答案：单调递减三、解答题（每题10分，共20分）11. 证明函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 3]上是单调递减的。
证明：函数f(x)=x^2-4x+3的导数为f'(x)=2x-4。
在区间[1, 3]上，f'(x)≤0，因此函数f(x)在区间[1, 3]上单调递减。
函数的单调性·典型例题精析
函数的单调性·例题解析1 2．3．】求下列函数的增区间与减区间【例123|2x(1)y＝|x－＋2x2?x＝(2)y|1x?1?|23xx??2(3)y＝?224＋1)．x－＋2x－3＝(x(1)解令f(x)＝轴轴下方的图像翻到x轴及x轴上方部分，把它在x先作出f(x)的图像，保留其在x2 1所示．．3－＋2x－3|的图像，如图2＝就得到y|x 由图像易得：) [1，＋∞，－1]，递增区间是[－31]，[，－1递减区间是(－∞，－3] 分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．(2) ．＝－xy且x≠2，则函数0≥且x－1≠1时，得x≥1解当x－1 ．－2时，则函数y＝x1≠－时，得x＜1且x≠01当x－＜0且x－11) (0，(－∞，0)和∴增区间是)(2，＋∞[1，2)和减区间是2 ．1≤x≤2x＋3≥0，得－(3)解：由－x3－2在x∈[－1，－4．在x∈[3，－1]1]上是＋xu令＝＝g(x)＝－＋－2x3＝－(x1)2＋上是．而y＝u在u≥0上是增函数．∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．22在[－1，＋∞a1)x(3a＝函数2【例】f(x)ax－－＋]上是增函数，求实数a的取值范围．上是增函数．，＋∞)＝0时，f(x)＝x在区间[1解当a1?3a，＝时，对称轴x当a≠0a2?0 ＞a ?．1a≤a＞0时，由得0＜若?1?3a，1≤?a2? 0时，无解．若a＜1．∴a的取值范围是0≤a ≤的抛物线，＝3＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x【例3】已知二次函数y 试比较大小：f(4)(1)f(6)与15)(2)f(2)与f(6时，f(x)为减函数，又＝3，∴x≥3解(1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是xf(4)f(6)＜＞4＞3，∴3在x≥＜15＜4，函数f(x)(2)∵对称轴x＝3，∴f(2)＝f(4)，而3时为减函数．∴f(15)＞f(4)，即f(15)＞f(2)．ax(a≠0)在区间(－1，1)上的单调性．【例4】判断函数f(x)＝2?1x解任取两个值x、x∈(－1，1)，且x＜x．2121a(xx?1)(x?x)1122＝f(x))∵f(x－2212?1x)x?1)((2122∵－1＜x＜x＜1，xx＋1＞0，x－x＞0，x－1＜0，x－1＜0．11222111(xx?1)(x?x)1212＞0∴22?1)(x)(x?121当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．x【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－证取任意两个值x，x∈(－∞，＋∞)且x＜x．211222＋xx＋x))＝(x－x)(x这里有三种证法：∵f(x)－f(x11122221222＝(x＋x)－x＋时，0x＋xxxx＞0x)证法(一当x＜212122112122＞x0x时，x＋x＋≥当xx0212121又∵x－x＜0，∴f(x)＜f(x) 1122 上是减函数．)－∞，＋∞(在f(x)故．1312222＝(x＋x)＋＋xx，这里x＋x证法(二)∵x＋xx2112122122241与x不会同时为0，否则若x＋x＝0且x＝0，则x＝0这与x＜x2112122222．x0＞矛盾，∴x＋xx＋2112上是减函数．(－∞，＋∞)得f(x)在222223x＝－x－4x＋x，其判别式Δ(三)令t＝x＝＋xx证法1122111223x ＝－，若＝xΔ＞0时，则x＝0，那么x≠0，∴t≤0，若Δ＝0112222＋xx＋x＞0，从而f(x)＜f(x)，∴f(x)在(＜0，则t＞0，即x－∞，121212＋∞)上是减函数．1的单调性，并画出它的大致图像．x＋【例6】讨论函数f(x)＝x解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x、x，且x＜x．2211xx 121∵f(x)－f(x)＝(x－x)，又x－x＜0，221211xx21∴当0＜x＜x≤1或－1≤x＜x＜0时，有xx－1＜0，xx＞0，f(x)＞f(x) 2211221112∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x＜x或x＜x≤－1时，有xx－1＞0，xx＞0，f(x)＞f(x)，∴f(x)在(－2211112212∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)maxmin＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致1的图像如图2．3＋－2．x画出y＝x说明1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)是分层讨论，要逐步培养．6°例4．例题：已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，求：当-3≤x≤3时，求f(x)的最大值与最小值。
单调性常考典例好题集含详解
单调性好题一、单选题1．设a R ∈，函数()f x 在区间(0,)+∞上是增函数，则（）A ．()2724f a a f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．()2724f a a f ⎛⎫++<⎪⎝⎭C ．()2724f a a f ⎛⎫++≥⎪⎝⎭D ．()2724f a a f ⎛⎫++≤⎪⎝⎭2．设函数()22,2,2x x f x x x ⎧<=⎨≥⎩，若()()121f a f a +≥-，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．(],2-∞C ．[]2,6D ．[)2,+∞3．对任意x ∈R ，函数()f x 表示2313,,4322x x x x -++-+中较大者，则()f x 的最小值为()A ．2B ．3C ．4D ．54．若()2()21f x x a x =-+-与1()1a g x x -=+在区间[12]，上都是减函数，则a 的取值范围是（）A ．B ．(1,0)(0,2]-⋃C ．(]1,2D ．[)1,25．函数()23f x x a =+的单调增区间为[)1,+∞，则a 为(）A ．－1B ．1C ．23D ．23-6．函数在闭区间上有最大值3，最小值为2，的取值范围是（）A.B.C.D.7．已知函数，若对上的任意实数，恒有成立，那么的取值范围是（）A.B.C.D.8．若函数()(31)5f x k x =-+在R 上是增函数，则k 的范围是()A ．1(,)3-∞-B ．1(,)3-+∞C ．1(,)3+∞D ．1(,)3-∞9．已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（）A. B. C. D.10．已知函数f （x ）=x 2-kx -6在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．11．函数在区间[2,-+∞）上是增函数，在区间(,2]-∞-上是减函数，则(1)f 等于A ．－7B ．1C ．17D ．2512．若函数213,22y x x =-+定义域和值域都是[1,b ],则b 的值为（）A ．１或３B ．１或32C ．32D ．３13．函数2()23f x x x =--在[1,]m -内的值域为[4,0]-，则实数m 需满足（）A ．3m =B ．1m =C ．m 1≥D ．13m ≤≤14．已知，函数，若，则A ．B ．C ．D ．15．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是()A ．B ．C ．D ．16．函数y =的单调减区间和图象的对称中心分别为A ．（–∞，0），（0，+∞）；（1，1）B ．（–∞，–1），（–1，+∞）；（1，0）C ．（–∞，1），（1，+∞）；（1，0）D ．（–∞，1），（1，+∞）；（1，1）17．已知函数()21f x x =-，若0a b <<且()()f a f b =，则b 的取值范围是（）A ．()0,+∞B ．()1,+∞C ．(D ．()1,218．若函数y=f(x)的图象过点（1,-1），则y=f(x-1)-1的图像必过点（）A ．(2,-2)B ．(1,-1)C ．(2,-1)D ．（-1,-2）19．已知函数的图象关于点对称，则（）A．B ．C．D ．二、填空题20．函数()211,0128,30x f x x x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪+-≤≤⎩的值域是______．21．已知()()2212f x x a x =+-+在[1,5]上的最大值为()1f ，则a 的取值范围是_______．22．函数()f x =的单调递增区间是_________．23．函数()2f x x x =-的单调减区间为______．24．若一次函数()f x 的定义域为[3,2]-，值域为[2,7]，则()f x =________．25．若函数()221f x ax ax =++在[1,2]上有最大值4，则a 的值为________．26．不等式2210x kx -->对一切13x ≤≤都成立.则k 的取值范围_______．27．若对任意[]x 1,3∈-，都有()2ax a 1x 20-++≥成立，则实数a 的取值范围用区间表示为：______________28．若二次函数()2f x mx x m =+-在区间(),l ∞-上是单调増函数，则实数m 的取值范围是______．29．已知函数满足关系：，则的大小关系为___________30．若函数y ＝f (x ＋3)的图象经过点P (1,4)，则函数y ＝f (x )的图象必经过点________．三、解答题31．已知函数()(0)1axf x a x =≠-．（1）判断函数()f x 在(1,1)-上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（2）若1a =，求函数()f x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．32．已知函数()f x 的定义域是R ，对任意实数x y ，，均有()()()f x y f x f y +=+，。
5.3.1 函数的单调性(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练选择性必修二
2．（2022·四川·成都市温江区新世纪光华学校高二期中（文））已知函数 f x x3 x2 ax 1在 R 上为单调
递增函数，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．
,
1 3
B．
,
1 3
【答案】A
C．
1 3
,
D．
1 3
,
【解析】 f x 3x2 2x a ，
A． 2 2,
B． 2 2,
C． , 2 2
D． ,2 2
【答案】D
【解析】由题可知， f x 0 在 2, 1 内存在解，因为 f x x2 ax 2 ，所以 f x 0 在 2, 1 内存在
解，等价于 x 2 a 在 2, 1 内存在解，易知函数 y x 2 在 2, 2 上递增，在 2, 1 上递减，所
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若函数 f x 单调递增，有 f x e2x 2ex a ex 1 2 a 1 0 恒成立，
可得 a 1 0 ，解得： a 1 ，
因为 a 1 a 0 ，但 a 0 a 1 ，所以“ a<0 ”是“函数 f x 1 e2x 2ex ax 为增函数”的必要不充分条
x
x
以
x
2 x
max
2
2 ，当且仅当 x
2 时取得，所以 a 2
2 ．故选：D．
4．（2022·广西）已知函数 f (x) ln x ax 2 在区间 (1, 2) 上不单调，则实数 a 的取值范围为（ ）
A．
1 2
,1
B．
1 2
,1
C．
1 3
,
1 2
函数的单调性与最值(含例题详解)
函数的单调性与最值一、知识梳理1．增函数、减函数一般地，设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I ，如果对于任意x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2，则 有：(1)f (x )在区间D 上是增函数⇔f (x 1)<f (x 2)； (2)f (x )在区间D 上是减函数⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调区间的定义若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格 的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间． 3．函数的最值 前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ；②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 M 为最大值M 为最小值注意：1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间 只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集 符号“∪”联结，也不能用“或”联结．2．两函数f (x )，g (x )在x ∈(a ，b )上都是增(减)函数，则f (x )＋g (x )也为增(减)函数，但 f (x )·g (x )，()1f x 等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比． [试一试]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．y ＝x ＋1x解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为______；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8二、方法归纳1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数； (3)图像法：如果f (x )是以图像形式给出的，或者f (x )的图像易作出，可由图像的直观性 判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不 等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域． [练一练]1．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D. y ＝lg|x |答案：C2．函数f (x )＝1x 2＋1在区间[2,3]上的最大值是________，最小值是________．答案：15 110三、考点精练考点一 求函数的单调区间1、函数()()5log 21f x x =+的单调增区间是________． 解析：要使()5log 21y x =+有意义，则210x +>，即12x >-，而5l og y u =为()0,+∞上的增函数，当12x >-时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.答案：1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2．函数y ＝x －|1－x |的单调增区间为________．解析：y ＝x －|1－x |＝1,121,1x x x ≥⎧⎨-<⎩作出该函数的图像如图所示．由图像可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]． 答案：(－∞，1]3．设函数y ＝f (x )在(),-∞+∞内有定义．对于给定的正数k ，定义函数()()()(),,k f x f x k f x k f x k ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩取函数()2xf x -=，当k ＝12时，函数()k f x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：选C 由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以()122,11,1122,1x x x f x x x -⎧≥⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≤-⎩，故()12f x 的单调递增区间为(－∞，－1)．[解题通法]求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即： (1)定义法；(2)复合法；(3)图像法；(4)导数法．考点二 函数单调性的判断 [典例] 试讨论函数()()0kf x x k x=+>的单调性． [解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞．在(0，＋∞)内任取1x ，2x ，令12x x <，那么()()()()122121212121211211x x k k k f x f x x x x x k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >. 故当()12,,x x k ∈+∞时，()()12f x f x <，即函数在(),k +∞上单调递增．当()12,0,x x k ∈时，()()12f x f x >，即函数在()0,k 上单调递减． 考虑到函数()()0kf x x k x=+>是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调 性，故在(),k -∞-单调递增，在(),0k -上单调递减． 综上，函数f (x )在(),k -∞-和(),k +∞上单调递增，在(),0k -和()0,k 上单调递减． [解题通法]1．利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后要注意差式的分解变形彻底． 2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确． [针对训练]判断函数g (x )＝－2xx －1在 (1，＋∞)上的单调性．解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则()()()()()12121212122221111x x x x g x g x x x x x ----=-=----， 由于1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 考点三 函数单调性的应用 角度一 求函数的值域或最值1．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0， f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解：(1)证明：∵函数f (x )对于任意x ，y ∈R ， 总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，∴令x ＝y ＝0，得f (0)＝0.再令y ＝－x ，得f (－x )＝－f (x )． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0， f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵当x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0，∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 因此f (x )在R 上是减函数．(2)∵f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)． 而f (3)＝3f (1)＝－2，f (－3)＝－f (3)＝2. ∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B ∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0，当x 2∈(2，＋∞) 时，f (x 2)>f (2)＝0，即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度三 解函数不等式3．已知函数()2243,023,0x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：选B 作出函数f (x )的图像，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．角度四 求参数的取值范围或值4．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：选B 函数f (x )是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤- ⎪⎪⎝⎭⎩，由此解得a ≤138， 即实数a 的取值范围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. [解题通法]1．含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．2．比较函数值大小的思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解．巩固练习一、选择题1．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A 解析：f (x )对称轴x ＝a ，当a ≤1时f (x )在[1，＋∞)上单调递增．∴“a ＝1”为 f (x )在[1，＋∞)上递增的充分不必要条件．2．已知函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案：C 解析：由题知f (x )在R 上是增函数，由题得2－a 2>a ，解得－2<a <1. 3．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4B ．5C ．6D ．7答案：C解析：由题意知函数f (x )是三个函数y 1＝2x ，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一坐标系之下的图象(如图中实线部分为f (x )的图象)可知A (4,6)为函数f (x )图 象的最高点．4．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1)D ．(0,1]答案：D 解析:f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区 间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0<a ≤1.5．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能答案：A 解析：∵f (－x )＋f (x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．又∵x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，∴x 1>－x 2，x 2>－x 3，x 3>－x 1. 又∵f (x 1)>f (－x 2)＝－f (x 2)，f (x 2)>f (－x 3)＝－f (x 3)，f (x 3)>f (－x 1)＝－f (x 1)， ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>－f (x 2)－f (x 3)－f (x 1)． ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0.] 二、填空题6．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________．7．设f (x )是增函数，则下列结论一定正确的是________(填序号)． ①y ＝[f (x )]2是增函数；②y ＝1f (x )是减函数；③y ＝－f (x )是减函数；④y ＝|f (x )|是增函数． 答案：[0，32]解析：()()()()3030x x x y x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩画图象如图所示：可知递增区间为[0，32]．8．设0<x <1，则函数y ＝1x ＋11－x 的最小值是________．答案：4解析 y ＝1x ＋11－x ＝1x (1－x )，当0<x <1时，x (1－x )＝－(x －12)2＋14≤14，∴y ≥4.三、解答题9．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0.f (x 1)－f (x 2)＝(a －1x 1)－(a －1x 2)＝1x 2－1x 1＝x 1－x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解：由题意a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x ，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2，x ∈(1，＋∞)，∴2－1x 2>0，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]．10．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0， 由题意知，f (x )的对称轴为－a2.(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73.又a >4，故此时的a 不存在．(2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f (－a 2)＝3－a －a 24≥0得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0得a ≥－7.又a <－4，故－7≤a <－4.综上得所求a 的取值范围是－7≤a ≤2.11．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时， 有()()0f a f b a b+>+成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f (x ＋12)<f (1x －1)；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数， ∴()()()()()()()()1212121212f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=-+-由已知得()()()12120f x f x x x +->+-，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴112111121111x x x x ⎧+<⎪-⎪⎪-≤+≤⎨⎪⎪-≤<⎪-⎩∴－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1， 即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立． 下面来求m 的取值范围． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m＝0，则g(a)＝0≥0，自然对a∈[－1,1]恒成立．②若m≠0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)≥0，对a∈[－1,1]恒成立，必须g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2，或m≥2.∴m的取值范围是m＝0或|m|≥2.。
函数的性质(精讲)(解析版)
3.2 函数的性质【典例精讲】考法一 性质法求单调性（单调区间）【例1】（2020·全国高一课时练习）函数6y x=的减区间是（ ） A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．(,0)-∞，(0,)+∞D ．(,0)(0,)-∞+∞【答案】C 【解析】由图象知单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞【一隅三反】1.函数()2f x x 2x 3=--的单调递减区间为( )A ．(),1∞-B ．(),2∞-C ．()1,∞D ．()2,∞+【答案】A 【解析】函数()2f x x 2x 3=--的二次项的系数大于零，∴抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是x 1=，∴函数的单调递减区间是(),1∞- 故选：A ． 2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是( ) A. y ＝1 B. y ＝－1x＋2 C. y ＝－x 2－2x －1 D. y ＝1＋x 2 【答案】B【解析】y=1 在区间（－∞,0）上不增不减; y=－1x+2在区间（－∞,0）上单调递增; y=－x 2－2x －1在区间（－∞,0）上有增有减; y=1+x 2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B. 3．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2，4)上是( ) A. 递减函数 B. 递增函数 C. 先递减再递增 D. 先递增再递减 【答案】C【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.考法二 定义法求单调性（单调区间）单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”【例2】（2020·全国高一课时练习）求证：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数. 【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间[)1,+∞上任取12x x <， 则()()12121211f x f x x x x x -=-+-()121211x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()()1212121x x x x x x -=-⨯ 因为12x x <，故可得120x x -<；又因为121,1x x >>，故可得121211,0x x x x ->>. 故()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.故()f x 在区间[)1,+∞上单调递增.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）证明()f x =.【答案】证明见解析； 【解析】证明：函数()f x =[)0,+∞设[)12,0,x x ∀∈+∞且12x x <，()()12f x f x -===因为120x x ≤<，所以120x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < 所以()f x =[)0,+∞上是增函数.2．（2020·浙江高一课时练习）用定义法证明函数()f x x =在定义域内是减函数．【答案】见解析【解析】设在R 上任取两个数x 1，x 2，且x 1>x 2；则f （x 1）–f （x 2）–x 1–2）+（x 2–x 1）x x x x -++（x 2–x 1）=（x 1–x 2））∵x 1>x 2，∴x 1–x 2>0–1<0，则f （x 1）–f （x 2）<0，∴函数()f x x =在R 上是减函数．考法三 图像法求单调性（单调区间）【例3】（2020·全国高一）求下列函数的单调区间． （1）f （x ）＝3|x |； （2）f （x ）＝|x 2＋2x －3|．【答案】（1）减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；（2）增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【解析】（1）由题意，函数()3,033,0x x f x x x x ≥⎧==⎨-<⎩，图象如图所示，所以函数f （x ）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．（2）令()2223(1)4g x x x x =+-=+-，作出()g x 的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方， 即可得到函数()223f x x x =+-的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【一隅三反】1．（2020·全国高一专题练习）求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f （x ）＝－1x； （2）f （x ）＝21,15,1x x x x +≥⎧⎨-<⎩（3）f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3.【答案】（1）单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；（2）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；（3）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． 【解析】（1）函数f （x ）＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)， 其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．（2）当x ≥1时，f （x ）是增函数，当x <1时，f （x ）是减函数， 所以f （x ）的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f （x ）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．（3）因为f （x ）＝－x 2＋2|x |＋3＝2223,023,0x x x x x x ⎧-++≥⎨--+<⎩根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f （x ）的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)． f （x ）在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．考法四 利用单调性求参数【例4】（1）（2020·浙江高一课时练习）若函数()22f x x ax =-+与()1ag x x =+在区间[]1,2上都是减函数，则a 的取值范围 （ ） A ．()()1,00,1- B ．()(]1,00,1- C ．()0,1 D ．(]0,1（2）（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知奇函数()f x 是定义域[]22-,上的减函数，若()()21430f a f a ++->，求实数a 的取值范围 .【答案】（1）D （2）11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】对于，开口向下，对称轴为x=a 若函数在区间[]1,2上都是减函数，则区间[]1,2在对称轴的右侧，所以可得：a<=1；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a>0时，则函数在第一象限为单调递减，而在单调递减，故a 的取值范围是(0,1]（2）由()()21430f a f a ++->，得()()2143f a f a +>--，又()f x 为奇函数，得()()4334f a f a --=-，∴()()2134f a f a +>-，又()f x 是定义域[]22-,上的减函数，所以2343421212a a a a ≥-⎧⎪->+⎨⎪+≥-⎩， 所以141332a a a ⎧≥⎪⎪⎪<⎨⎪⎪≥-⎪⎩，所以实数a 的取值范围为11,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【一隅三反】1．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则（ ） A ．12m >B ．12m < C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数，则有210m -＜，解可得12m <，故选B ．2．（2020·浙江高一课时练习）已知22(2)5y x a x =+-+ 在区间(4,)+∞ 上是增函数，则a 的范围是（ ）A ．2a ≤-B ．2a ≥-C ．6a ≥-D ．6a ≤-【答案】B【解析】∵函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣2）x +5的图象是开口方向朝上，以x ＝2﹣a 为对称轴的抛物线， 若函数f （x ）＝x 2+2（a ﹣2）x +5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a ≤4，解得a ≥﹣2．故选：B ． 3．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A.考法五 奇偶性的判断【例5】（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．（1）f (x )＝2x ＋1x； （2）f (x )＝2－|x |； （3）f (x ) （4）f (x )＝1x x -. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数. 【解析】（1）函数的定义域为{}0x x ≠，由()()1122⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭f x x x f x x x ， 所以函数()f x 为奇函数（2）函数的定义域为R 由()()22-=--=-=f x x x f x 所以函数()f x 为偶函数（3）由2210110x x x ⎧-≥⇒=±⎨-≥⎩，所以函数的定义域为{}1,1-又()()110f f -==，所以函数()f x 既是奇函数又是偶函数 （4）由101x x -≠⇒≠，所以函数的定义域为{}1x x ≠ 因为定义域不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数.【一隅三反】1（2020·全国）判断下列函数的奇偶性:(1)32()1x x f x x -=-;(2)31()f x x x =-;(3)23()f x x x =-;(4)()|2||2|f x x x =++-.【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数.【解析】(1)函数32()1x x f x x -=-的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数. (2) 31()f x x x=-的定义域是(,0)(0,)-∞+∞. 当(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞时,显然,(,0)(0,)x -∈-∞⋃+∞.333111()()()()f x x x x f x x x x ⎛⎫-=--=-+=--=- ⎪-⎝⎭,31()f x x x ∴=-是奇函数. (3)23()f x x x =-的定义域为R .23(1)(1)(1)112f -=---=+=,23(1)110f =-=,(1)(1)f f ∴-≠. ()f x ∴不是偶函数.又(1)(1)f f -≠-,()f x ∴不是奇函数.23()f x x x ∴=-既不是奇函数也不是偶函数.(4) ()|2||2|f x x x =++-的定义域为R .()|2||2||2||2|()f x x x x x f x -=-++--=-++=, ()|2||2|f x x x ∴=++-是偶函数.2．（2020·浙江高一课时练习）判断下列函数的奇偶性： （1）()f x =．（2）()f x ．（3）2()2||1,[1,1]f x x x x =-+∈-．（4）22(0)()(0).x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩，【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数. 【解析】（1）由10,10x x -⎧⎨-⎩得1x =，∴函数()f x 的定义域为{1}，不关于原点对称．故()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10x x ⎧-⎨-⎩得21x =，即1x =±． ∴函数()f x 的定义域是{1,1}-，关于原点对称． 又()0f x =，∴()f x 既是奇函数又是偶函数． （3）函数的定义域为[1,1]-，关于原点对称．又∵22()()2||12||1()f x x x x x f x -=---+=-+=， ∴()f x 是偶函数．（4）当0x <时，0x ->，则()22()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()f x x x x x f x -=--=-=-综上，对(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，都有()()f x f x -=-． ∴()f x 为奇函数．考法六 利用奇偶性求解析式【例6】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()321f x x x =+-，则当0x <时，()f x = 。
函数单调性常考题型含详解
函数单调性常考题型题型一：初等函数中含参数的单调性问题典例1、如果函数 在R 上是增函数，那么a 的取值范围______. 解：根据一次函数的性质，得到，即可求解实数a 的取值范围. 详解：由题意，函数 在R 上是增函数， 根据一次函数的性质，可得，解得即实数a【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及一次函数的性质，其中解答中根据一次函数的性质，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 变式题：1、已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.2、函数在上是增函数，在上是减函数，则_________．3、若函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．4、若函数f （x [m，+∞）上为增函数，则实数m 的取值范围是_____． 题型二、函数单调性与不等式典例2、若函数f(x)为R 上的减函数，则满足f(1)的实数x 的取值范围为________.【解析】先根据单调性化简不等式，再解分式不等式得结果.详解：因为函数f(x)为R 上的减函数，所以由f(1)或故答案为：【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式、解分式不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.21()y a x b =-+210a ->21()y a x b =-+210a ->()223f x x ax =-++(),4-∞a 2()34f x x mx =-+[5,)-+∞(,5]-∞-(1)f -=2()(24)1f x ax a x =--+(1,5)0x <(,0)[1,)-∞⋃+∞变式题：已知是定义在上的增函数，若，则的取值范围是______________．题型三、复合函数的单调性典例3__________. 【解析】首先求出函数的定义域，令，分别求出的单调区间，再利用符合函数单调性的性质即可求出的单调递增区间. 详解：因为，得，得或， 解得函数的定义域为. 令，在单调递增. 因为函数在单调递增， 在单调递增. 故答案为：【点睛】本题主要考查符合函数的单调性，特别注意先求定义域，利用复合函数“同增异减”为解题的关键，属于容易题.变式题：1、若函数的单调递增区间是，则=________. 2在是增函数，则实数的取值范围是______.3、函数f （x ）=x|x|-4x 的单调递增区间是______．题型四、函数单调性概念拓展应用典例4、已知满足对任意都有成立，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意，函数在定义域R 上是增函数，故可得到，解出即可．【详解】 ()y f x =()2,2-112f m f m m ()f x 256t x x =-+256t x x =-+()f x 2560x x -+≥(2)(3)0x x --≥2x ≤3x ≥()f x (,2][3,)-∞⋃+∞256t x x =-+[0,)+∞256t x x =-+[3,)+∞[3,)+∞[3,)+∞()2f x x a =+a [)2,+∞a ()()2111a x x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩12x x ≠a ()()2111a x x f x ax x ⎧-+<=⎨≥⎩02021a a a a ⎧⎪-⎨⎪-+≤⎩＞＞。
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2．3．1 函数的单调性·例题解析
【例1】求下列函数的增区间与减区间
(1)y ＝|x 2＋2x －3|
(2)y (3)y ＝＝x
x x x x 2221123-----+||
解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．
先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．
由图像易得：
递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)
递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]
(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间． 解 当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ． 当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1)
减区间是[1，2)和(2，＋∞)
(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．
令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x
∈[－1，1]上是． 而＝在≥上是增函数．y u 0u
∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．
【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数
a 的取值范围．
解 当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．
当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a a
a
--⎧⎨⎪⎩⎪ 若a ＜0时，无解．
∴a 的取值范围是0≤a ≤1．
【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：
(1)f(6)与f(4)
(2)f(2)f(15)与
解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)
(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15 时为减函数．
∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)
【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21
- 解 任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．
∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()
()()
()()()()12211222
12121
221122
2111111+---+---
当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．
当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．
【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
证 取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．
∵－＝－＋＋这里有三种证法：
当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 0
211222
121212121222
1221212121222
证法一
又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)
故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 01212221222212
2122112121222
∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．
12341212
得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22
121212121
21222
1
222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，
＋∞上是减函数．)
【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2．
∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 22
1 ∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)
∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．
当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．
根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致
画出＝＋的图像如图．－．y x 2321x
说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．
2°注意对参数的讨论(如例4)．
3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)
4°例6是分层讨论，要逐步培养．。