专题7-解直角三角形的实际应用(人教版含答案)

解直角三角形的实际应用

解直角三角形的实际应用题历年来在云南各地的中考中都有考查，几乎都以解答题的形式出现，主要有两种类型：一是利用视角测量长度(高度)，二是利用方向角测量距离．解题的一般步骤为：画出平面图形，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，即根据条件特征，选用勾股定理或适当的三角函数解直角三角形，得出数学问题的答案，然后作答(回归实际问题)．预计2016年一定会有考查，复习时应加强训练．类型1 利用视角测量长度(高度)

1．(2014·昆明)如图，在数学实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)

2．(2015·昆明西山区二模)如图：某新电视塔，塔高AB为600米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°，求大楼的高度CD.(结果精确到1米，参考数据：sin39°＝cos51°≈0.630，cos39°＝sin51°＝0.777，tan39°≈0.810，tan51°≈1.235)

3．(2015·昆明官渡区二模)如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲、乙两人分别在相距10米的A、B 两处测得点D和点C的仰角分别为30°和45°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE＝26米，求这块广告牌的高度．(结果精确到个位，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)

4．(2015·昆明二模)如图所示，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE的长．(参考数据：3≈1.732，2≈1.414，结果精确到0.1米)

类型2 利用方位角测量距离

1．(2015·昆明西山区一模)一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°的方向，距离灯塔80海里的A处，它正沿着正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449 5)

2．(2015·恩施)如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时，观测到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离．(结果精确到1海里，参考数据：3≈1.732)

3．(2015·荆门)如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方

在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1 000米到达C 处后．因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方，求拦截点D 处与公路的距离(结果不取近似值)．

4．(2015·泸州)如图，海中一小岛上有一个观测点A ，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A 的北偏西60°方向上的C 处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B 处开始航行多少小时，离观测点A 的距离最近？(结果保留一位小数，参考数据：3≈1.732，2≈1.414)

参考答案

类型1 利用视角测量长度(高度)

1.过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接BD.

在Rt △DEB 中，∠DEB ＝90°，BE ＝AC ＝22米，tan32°＝DE BE

， ∴DE ＝BEtan32°≈22×0.62＝13.64(米)．

∵EC ＝AB ＝1.5米，

∴CD ＝CE ＋ED ＝1.5＋13.64＝15.14≈15.1(米)．

答：旗杆CD 的高度为15.1米．

2.∵∠ACB ＝45°，∠A ＝90°.

∴AC ＝AB ＝600米．

延长DE 交AB 于点F ，则DF ⊥AB ，四边形DFAC 为矩形．

∴DF ＝AC ＝600米．在Rt △BDF 中，tan ∠BDF

＝BF DF . ∴BF ＝DFtan39°. ∵CD ＝AF

，

∴CD ＝AB －DF ·tan39°＝600－600×tan39°≈114(米)．

答：大楼的高度CD 约为114米．

3.∵AB ＝10 m ，BE ＝26 m ，∴AE ＝AB ＋BE ＝10＋26＝36(m)．∴CE ＝BE ·tan45°＝26 m ，DE ＝AE ·tan30°＝36×33

＝123(m)．∴CD ＝CE －DE ＝26－123≈5(m)．答：这块广告牌的高度约为5 m ． 4.(1)作AH ⊥CD 于点H ，由条件知，ABDH 为矩形，∴DH ＝AB ＝1.5米，BD ＝AH ＝6米．在Rt △ACH 中，

tan ∠CAH ＝CH AH ，∴CH ＝AH ·tan30°＝23米．∴CD ＝(23＋1.5)米．在Rt △CED 中，sin ∠CED ＝CD CE

，∴CE ＝CD sin60°＝(23＋1.5)÷32

≈5.7(米)．

类型2 利用方位角测量距离

1．过点P 作PC ⊥AB 于点C.由题意得，∠A ＝60°，AP ＝80海里，∠B ＝45°，∴PC ＝AP ·sin60°＝80×32＝403(海里)，PB ＝PC sinB ＝4032

2

＝406≈40×2.449 5≈98.0(海里)．答：海轮所在的B 处距离灯塔P 约98.0海里．

2.过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，则∠CDA ＝90°.由题意得：∠CBD ＝60°，∠CAD ＝30°，AB ＝20海里，∴∠ACD ＝60°，∠DCB ＝30°.∴∠BCA ＝∠CAB ＝30°.∴CB ＝AB ＝20海里．∴CD ＝BC ·sin60°＝103≈17(海里)．答：渔船到灯塔的距离约为17海里．

3.过点C 作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F.由题意得∠ABC ＝30°，∠FCD ＝45°，CD ＝CB ＝1 000米．在

Rt △BCE 中，CE ＝BC ·sin30°＝1 000×12＝500(米)．在Rt △DCF 中，DF ＝DC ·sin45°＝1 000×22

＝5002(米)．∵四边形AFCE 为矩形，∴AF ＝CE.∴AD ＝AF ＋FD ＝CE ＋FD ＝500＋5002(米)．故拦截点D 处与公路距离为(500＋5002)米．

4.过点A 作AP ⊥BC ，垂足为P ，设AP ＝x 海里．在Rt △APC 中，∵∠APC ＝90°，∠PAC ＝30°，∴tan

∠PAC ＝CP AP .∴CP ＝AP ·tan ∠PAC ＝33

x.在Rt △APB 中，∵∠APB ＝90°，∠PAB ＝45°，∴BP ＝AP ＝x.∵PC ＋BP ＝BC ＝30×12＝15(海里)，∴33x ＋x ＝15，解得x ＝15（3－3）2.∴PB ＝x ＝15（3－3）2

海里．∴航行时间为：15（3－3）2÷30＝3－34

≈0.3(小时)．答：该渔船从B 处开始航行0.3小时，离观测点A 的距离最近．