常微分方程定性理论6

证 线性近似系统的系数矩阵是
0 1 1
q=1,p=-μ ,Δ =μ 2-4.当μ ＜２时，Ｏ为不 稳焦点， μ ≥２时Ｏ是不稳定结点（包括 退化），都为负向渐近型稳定奇点，起内境 界线作用．
x2 y 2 d , |(3.3) (1 x2 ) y 2 0, | x | 1, y 0. 或者取 因为 dt 2 2
定理３若轨线所确定的映射把正y轴上某一 不含原点（唯一奇点）的闭区间映到它自己， 则方程存在闭轨．
证 由轨线唯一性及解对初值的连续性知， 此映射为拓扑映射．再使用Brouwer不动点 定理． 此定理可用于研究非线性振动中常出现的分 区线性系统或不连续系统的闭轨存在性．因 此时的拓扑映射可用分析式子表示．
例 Van der Pol方程
d2 x 2 dx (1 x ) x0 2 dt dt (3.2)
的等价方程组
dx y dt d y x (1 x 2 ) y dt
(3.3)
对一切μ >0 (μ <0)有稳定（不稳定）极限 环．
(注：μ <0 时，可作变换x→-x，t→-t)
所以当c足够小时,圆λ =c上除使y=0的两点 与轨线相切外，其余均由内到外．
下面作外境界线． 水平等倾线Q(x,y)≡-x+μ (1-x2)y=0有三分支 L1L2L3,分别被三渐近线y=0,x=-1,x=1所分 割． 方程组(3.3)的等价方程是
d y x (1 x 2 ) y dx y d y (1 x 2 ) y (1 x 2 ) dx y (3.4)
dx y
也对称于原点,所以上述所作 ABC H 关于 原点对称弧段 ABC H 上,(3.3)具有对称 原点的方向场.
这两段曲线弧,再补上 HA 与 H A 就构成了 所需的环域的外境界线.
A
G
B
H
C
F
E
D
D
E
F
H
C G
B
A
定理２（对称原理）设方程（3.1）满足 ①Ｏ是y轴（x轴）上唯一奇点． ② 方向场关于y轴对称:X(-x,y)=X(x,y), Y(-x,y)=-Y(x,y)；或方向场关于x轴对称: X(x,-y)=-X(x,y), Y(x,-y)=Y(x,y). ③轨线Γ 从正y轴（正x轴）出发绕Ｏ回到 负y轴（负x轴），则是闭轨． 条件③较难验证．
dy dy x (1 x ) y x |(3.4) |CD ( ) dx dx y y
2
(1 x ) 0
2
(3.6)
(等号仅在C处成立). 所以 CD 上出发的(3.3)的轨线均由下向上 穿过(仅在C处与圆弧相切).
过D 作铅垂线交L1于E点.取y1足够大,由向量 场的连续性知, DE上除D点(方向与 DE 重合) 外,向量均从左到右. 沿L1取 EF ,过F以O为圆心的圆弧交x=-1于G. 沿FG (3.6)成立,所以 FG上向量自左到右(仅 在G处与圆弧相切). d y x y 过G 作方程 (3.7)
在y轴的负半轴上取A(0,-y0)，过A作
(3.5)
的积分曲线,交L2于点B．显然 AB 有正斜率．
dy dy x |(3.4) |(3.5) 0 dx dx y
方程组(3.3)在 AB 上出发的轨线均自左向 B C 右穿过．
A
G
H
F
E
D
D
E
F
H
C G
B
A
过B 作水平线交x=-1于C(-1,y1).注意到上 (3.3)的第二方程右边>wenku.baidu.com,所以上向量场由下 指向右上(点B处水平向右). 过C作以O为圆心的圆弧交负x轴于D(-x3,0). 注意到沿 CD
定义3 对(3.1)的闭轨Γ ,若存在Γ 的外(内) 邻域,它全部被闭轨所充满,则称Γ 为(3.1) 的Γ 为外侧(内侧)周期环. 定义4 对(3.1)的闭轨Γ ,若Γ 的外(内)侧邻 域中出发的轨线以Γ 为ω 极限集,则称Γ 为 (3.1)的外侧(内侧)稳定极限环.若以Γ 为α 极限集,则称Γ 为(3.1)的外侧(内侧)不稳定 极限环. 定义5 若Γ 的两侧都是稳定(不稳定)的,则 称Γ 是(3.1)的稳定(不稳定)极限环;若Γ 的 两侧的稳定性不同,则称Γ 是(3.1)的半稳定 极限环.
第三章
极限环
§1 基本概念及极限环的存在性 一、 x X ( x, y),
y Y ( x, y),
(3.1)
定义1 若(3.1)的解是非常数周期函数,则 称此解在相平面上的轨迹为(3.1)的闭轨 线.由奇点及两端进入奇点的轨线构成的 单闭曲线称为(3.1)的奇闭轨线.
定义2 若(3.1)的闭轨Γ 的任意小的外(内) 邻域中都存在非闭轨线,则称Γ 为外侧 (内侧)极限环.
dx y
的积分曲线,交y轴的正半轴于H(0,y7).因 dy dy x (1 x2 ) y x y | | x2 0.
dx
(3.4)
dx
(3.7)
y
y
(等号仅在H处成立)
所以GH 上(3.3)向量均自左到右(仅在H处与GH 相切).
注意 FGH 由点F唯一确定, ABCDE由点A唯 一确定.且A下移时,E左移.因此,可调整A,F的 位置,使E在F左边,且y0>y7>0. 注意(3.4),(3.5),(3.7)方向场对称于原点.圆弧 dy x 方向场
定义6 若Γ 的任意外(内)侧邻域中既存在 闭轨又存在非闭轨,则称Γ 为(3.1)的外侧 (内侧)复合环.
解析系统不可能有复合环,这是由于后继函 数也是解析的.
定理1 Poincaré-Bendixson环域定理. 设Ω 为一环域，其中不含奇点，凡与Ω 的境 界线相交的轨线都从它的外（内）部进入 （跑出）它的内（外）部，则Ω 中至少存在 一包含内境界线在内部的外稳（不稳）极限 环和一条内稳（不稳）极限环．它们可能均 为双侧环，也可能重合为一稳（不稳）极限 环． 注1 Ω 的内境界线可缩为一个负向（正向） 渐近稳定奇点； 注２Ω 的外境界线可以有部分是轨线，其上 也可有鞍点或负向（正向）渐近稳定奇点．