3 静定结构的内力计算

P m q
A
l /2 P/2 Q
C
l /2
B
A
C
l /2 m/l l /2
B
A
l
ql /2
B
P/2 M Pl /4
m/2
ql /2
m/2
ql 2/8
1、集中荷载作用点 M图有一折点； Q 图突变，从左至右荷 载向下突变亦向下。
2、集中力矩作用点 M图突变，从左至右力 偶为顺时针向下突变； Q 图没有变化。
二、几何组成
基本部分：在竖向荷载作用下本身可以维持平衡的部分； 附属部分：在竖向荷载作用下需要依靠基本部分的支撑才能维 持平衡的部分。 分层图（层叠图）：表达力的传递过程。 基本部分 （basic part）：作用在基本部分上的荷载对附属部分没有影
响，即不使附属部分产生内力；
附属部分（dependent part）：作用在附属部分上的荷载将使附属部分
作图规律： ⑴无荷载段（q=0）：Q图平直线；M图斜直线； ⑵有荷载段（q=C）：Q图斜直线；M图抛物线且凸出方向与荷 载指向相同； ⑶集中荷载P作用点处：Q图突变，突变值=P；M图折点（连 续不光滑）； ⑷集中力偶m作用点处：Q图无变化，M图突变，突变值=m； ⑸ Mmax：Q=0或Q变号处；或集中力偶作用处等。
一、截面的内力分量：
轴力N（normal force）：应力沿杆件轴线（横截面法向）方向的合
力；拉为正，压为负；
剪力Q（shearing force）：应力沿横截面切线方向的合力；绕脱离体
顺时针转为正，反之为负； 弯矩M（bending moment）：应力对截面形心的力矩；使杆件下拉上 压为正，反之为负。
第3章 静定结构的受力分析
例3-3-1: 求图示刚架的内力图。 解：⑴求支座反力：
3kN/m
B
C
4m
x 0：X
Y y 0：
D
3 4 12 kN ()
3 4 2 4 kN () 6
A
YA
D 6m
YD
XD
M A 0：YD
A
4 kN ()
⑵将刚架拆成杆件，求杆端弯矩，作M图：
3kN/m
B C
24
M12 - BC NBC B QBC
MCB
B NCB QBA
+ 4C
QCB
QB NBA
A 4kN
D
12kN
M 4kN
(kNm)
Q
(kN)
N
(kN)
第3章 静定结构的受力分析 48
3kN/m
3kN/m
B
C
B
C
CM
BC
4m
NBC D 4kN 12kN
D
A
4kN
D 6m
A 12kN 4kN 4kN
B QBC
12 +
C
MCB 4 - N QCB
CB
M
Q
N
24
48
B
M
(kNm)
C
B
12
C
+ 12
B
4 +
4 -
Q
(kN)
C
A
D
A
D
A
N
(kN)
D
第3章 静定结构的受力分析
24
48
B
M
(kNm)
C
B
12
C
+ 12
B
4 + 4 -
Q
(kN)
C
A
D
A
D
A
N
(kN)
D
BC杆杆端弯矩由刚结点B、C的平衡求得。
q
C
A a B
D
NA
mA A QA
q B
mB NB QB
mA A RA
q B RB
mB
M m A
mB QA=RA QB=RB
qa2/8+ (mA+mB)/2
例：P137题3-1（f）（g）
第3章 静定结构的受力分析
3. 静定单跨梁内力求解步骤：
① 求支座反力（务必正确）； ② 分段求控制截面的内力值，按规律作内力图； ③ 需要叠加的，利用叠加法。 内力图三要素：① 图名； ② 控制截面内力值（单位）；
45
第3章 静定结构的受力分析
§3-3 静定平面刚架
一、基本概念：
静定平面刚架 （statically determinate plane frame）： 直杆 ＋ 全部或部分刚结点。
静定平面桁架（truss）：直杆 ＋ 全部铰结点
刚架
桁架
刚结点基本假设：刚结点处各杆不发生相对转动，故各杆 间夹角保持不变。
B
M
(kNm)
C
B
12
-
4
C
+ 12
B
4 +
12 4 -
C
A
D
A
Q
(kN)
D
A
N
(kN)
D
⑶由杆端弯矩取杆件为脱离体，求剪力，作Q图：
M BC NBC B QBC C Q CB MCB NCB
Q M B 0： CB M BC MCB 24 48 4 kN lCB 6
⑷由杆端剪力取结点为脱离体，求轴力，作N图：
40kN A 2m B 2m C 2m D 1m
80kN· m E 2m 40 20 40 2m 1m 20 F
20kN/m G 4m 2m 40 10 H
M
(kNm)
50
50 40kN 80kN· m F 55 20kN/m G 85 40
力系图
25
A
C 5
25
35
Q
(kN)
+
15 20
-
+
-
+
40kN
80kN· m D 1m 2m 2m E 1m F
20kN/m G 4m 2m H
(b)
A 2m
B 2m
C 2m 40kN
分层图
80kN· m F 80kN· m
20kN/m G HC来自M20 40kN 20 C 25 25 50 5 20 50 40 40
20 20 F 55 20 10 20kN/m G 85 40 H
q
D 2l
E l E
ql F
l ql F
4l
分层图
ql
A B
q
D
E
ql
F
ql2
ql ql
C
1/2ql
q
D
1/2ql
M
1/2ql2
ql2 折点
2ql2
ql
A l l
B 2l
C
q
D 2l
E l
ql F l
4l
ql2
ql2 1/2ql2
E B ql F
2ql2
ql
A
ql2
ql ql
C
1/2ql
q
D
M
1/2ql 1/2ql2
求各控制截面的M，Q，N； ③ 作内力图； ④ 校核。
方法二：① 求支反力和约束反力；
② 将刚架拆成杆件（每一根杆件可视为静定单跨梁），利用截面法（分段叠 加法）求控制截面弯矩值（杆端弯矩），作出M图； ③ 取杆件为脱离体，根据杆端弯矩利用力矩平衡方程求杆端剪力，作Q图； ④ 取结点为脱离体，根据杆端剪力利用投影平衡方程求杆端轴力，作N图； ⑤ 校核。
第3章 静定结构的受力分析
静定刚架的分类: 1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
第3章 静定结构的受力分析
二、内力计算及作内力图：
1. 内力：M图画在受拉侧；Q绕脱离体顺时针转为正，N拉为正， 要标明正负号。 2. 作图方法及步骤：
x 0 方法一：① 求支反力和约束反力； ② 逐杆考虑，根据截面法取隔离体利用 y 0 M 0
三、内力计算
① 作分层图：静定多跨梁拆成静定单跨梁； ② 分层计算：先附属部分，后基本部分；（计算顺序与组装顺序相
反）（将支座反力或约束反力反向作用于支承它的基本部分）
③ 作单跨梁的内力图，再连接成多跨梁的内力图； ④ 校核。
第3章 静定结构的受力分析
例3-2-1：作图示静定多跨梁的内力图。
ql
A l ql A l B C B 2l C
和基本部分均产生内力。
注：存在特殊情况，如附属部分局部平衡时，基本部分不受 到影响。
第3章 静定结构的受力分析
A
B
C
D
附属部分－不能独 立承载的部分。
基本部分－能独立 承载的部分。
分层图
第3章 静定结构的受力分析
⑴
A
B
C
D
E
D C B A
E
⑵
A
B
C
D
E
F
A
B C D
E
F
第3章 静定结构的受力分析
几何特性：有多余约束的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件不能求出全部反力及内力，必 须补充其他条件。
静定结构分类
1、静定梁 4、静定桁架 2、静定刚架 5、静定组合结构 3、三铰拱
第3章 静定结构的受力分析
§3-1 梁的内力计算的回顾
静定梁的分类： 静定单跨梁（statically determinate single-span beam）：简支梁、 伸臂梁、悬臂梁 静定多跨梁（statically determinate multi-span beam）
MBC MCB B QBC C
MBC=?
B NCB QBA QBC NBA NBC
24 B
48
24NBC
12kN 4kN
48
C QCB
B
MBA=24kN
M
C
A
M
(kNm)
D
连接两个杆端的刚结点，若刚结 点上无外力偶作用，则两个杆端 的弯矩值相等，方向相反，M图 同外同内。
第3章 静定结构的受力分析 24 48
40kN A 2m 50 20 50 B 2m C 2m D 1m
80kN· m E 2m 40 40 80kN· m 2m 1m 20 F
20kN/m G 4m 2m 40 H
10
M
(kNm) 20 40kN 20 C 25 25 50 5 20 50 40 40
20 20 F 55 20 10 20kN/m G 85 40 H
B NBC QBC NBA
x 0：NBC QBA 12 kN
⑸校核。 例：P139题3-3；3-4
QBA
第3章 静定结构的受力分析
例3-3-2: 求图示三铰刚架的内力图。
C D q (a) E f q (b) B l /2 l /2 XA A l /2 YA l /2 B YB XC YC C XB f
+
m1
m2
(m1+m2)/2
m1
m1
m2 =
=
+
M
=
= 1. 叠加原理：荷载的叠加。 M
ql2/8 ql2/8+ (m1+m2)/2
+
(mql 2)/2 1+m 弯矩图的叠加是图形纵坐标（竖标）的叠加。2/8+ (m1+m2)/2
第3章 静定结构的受力分析
2. 分段：两两控制截面为一段。
控制截面：支座处、集中力作用处、集中力偶作用处、均布 荷载起点和终点处。
ql2 折点
2ql2
ql
A l l
B 2l
C
q
D 2l
E l
ql F
l
4l
ql2 M 2ql2
ql
ql2 1/2ql2
q
ql
力系图
2ql
ql Q ql
＋
1/4ql
5ql/4
13/4ql 1/2ql
－
1/2ql
11ql/4
1/2ql
内力计算的关键在于：
正确区分基本部分和附属部分；熟练掌握静定单跨梁的计算。
第3章 静定结构的受力分析
Q>0 Q Q<0
Q=0
d M x Q x dx
Q
q>0
q<0
q=0
d Q x q x dx
M
M
P Q + _ P
d2 M x q x 2 dx
m
Q
_
平行
M
m
M
折点
第3章 静定结构的受力分析
简支梁、悬臂梁分别在均布荷载、集中力、集中力偶作用下的内力图（6种 情况）（应熟练掌握）。
③ 正负号。
第3章 静定结构的受力分析
§3-2 静定多跨梁
一、基本概念：
凡是用铰将若干根梁（简支梁、伸臂梁、悬臂梁）连接而 成的无多余约束的几何不变体系，称为静定多跨梁（multispan statically determinate beam）。
(a)
A
B C
D E
F
(b)
A
B C
D E
F
第3章 静定结构的受力分析
第3章 静定结构的受力分析
二、截面法（section method）
①截：沿拟求内力的截面截断，将杆件一分为二； ②脱：选取其中任一脱离体作为研究对象，画平衡力系图； （原则：外力最少） ③平：根据静力平衡条件列静力平衡方程求解。 平衡力系图： ①已知力：力画实际方向，数值是绝对值（正值）；
②未知力：力画假设的正方向，数值是代数值（正值或负 值）。
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸； Q 图为斜直线，荷载向 下直线由左向右下斜
第3章 静定结构的受力分析 q
P
m
A
l
B
A
l
B
A
l
B
P Q
ql
Pl
M
ql 2/2
m
例：P138习题3-2
第3章 静定结构的受力分析
四、分段叠加法
m1 m2 m1 m2
=
+
M
=
m2
ql2/8+ (m1+m2)/2 ql2/8
2. 荷载集度与内力之间的微分关系：
d M x Q x dx
d Q x q x dx
d2 M x q x 2 dx
第3章 静定结构的受力分析
d M x Q x dx
d Q x q x dx
d2 M x q x 2 dx
第3章 静定结构的受力分析
三、内力图 （internal force diagram）
弯矩图画在受拉侧，不标正负号；剪力图和轴力图可画在任 一侧，标明正负号，同号同侧。 1. 内力方程（equation of internal force）：截面法，静力平衡条件。 M＝M（x）； Q＝Q（x）； N＝N（x）
第3章 静定结构的受力分析
§3-1 梁的内力计算的回顾 §3-2 静定多跨梁 §3-3 静定平面刚架 §3-5 静定平面桁架 §3-7 组合结构 §3-8 三铰拱
第3章 静定结构的受力分析
静定结构特性
几何特性：无多余约束的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求出全部反力及内力。