第三章 离散傅里叶变换DFT(一)

1 j 0.15 F1 1 1 . 12 e 2j
1 j 4 F2 e 2
3.1连续时间信号的傅里叶变换

非周期连续信号傅里叶变换
F j


f (t )e j t dt
j t F j e d
1 f (t ) 2
0

令 T 则： n 0 0 2 d TFn F ( j )
T
f (t )
n
TF e
n

jn0t
0 2
T
1 2



F ( j)e jt d
T
周期信号 非周期信号 离散谱 连续谱，幅度无限小
典型非周期信号频谱函数

总结：DFT与周期延拓
X ( k ) x ( n )e , k 0,1, n 0 2 N 1 j nk 1 N x ( n) X ( k )e , n 0,1, N k 0
N 1 j 2 nk N
, N 1 , N 1
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS）
k 0 j
(2)
j 2 ln N N 1
2 2 2 N 1 N 1 j nk j ln j ( k l ) n N 1 N N N 求反变换作如下运算： x ( n ) e X ( k ) e e X ( k ) e n0 n0 k 0 k 0 n 0 2 N 1 j ( k l ) n N k l 0, N , 2 N , N 由于 e n0 0 其它 N 1
1 Fs ( j) F ( j) * S ( j) 2
的关系 f s (t ) Fs j 与F j 由f s t 能否恢复f t
理想冲激序列抽样
s(t ) Ts (t ) (t nTs )


f(t)：有限带宽信号
f s (t ) f (t )Ts (t ) f (nTs ) (t nTs )
x ( n )e
n 0
N 1
j
2 ln N
NX (l )
j 2 nk N
1 X (k ) N
x ( n )e
n0
N 1
(3)
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
习惯上将以上的式（2），（3）中的定标因子移 到反变换中，得到离散傅里叶变换（ DFT ）：

(1) (2)
解
(1) (2) X 1 (e )
j j n j n j 3 ( n 3) e e
X 2 (e )
n

x2 (n)e j n
1 j 1 e 1 e j 2 2
1 cos
3.2离散时间序列的傅里叶变换
要求低通滤波器： m c s m
理想冲激抽样时
H ( j) Ts
c
() t0
3.3连续时间信号的抽样 结论：
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数（DFS）
~ ~ x ( n ) x (n kN ) 一个周期为N的周期序列，即 其中，k为任意整数，N为周期； 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+都 周而复始永不衰减，即z平面上没有收敛域。但是， 正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列 也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为 N的正 弦序列来表示。

该变换存在的充分条件：



f t dt
频谱密度函数 周期信号的傅氏级数： f (t ) 周期信号的频谱：
n
jn 0t F e n

2 ( 0 ) T
(1)
1 Fn T
T 2 T 2

T 2 T 2
f (t )e jn0t dt
(2)
X 4 (e )
j
e
n 0
n 3
[u(n 3) u(n 4)]e
j n

j n

e
3
3
j n
e
n 1
3
j n
e
n 0
3
j n
e jn
n 1
1 e j 4 1 e j 3 j e 1 e j 1 e j
jk nT X ( k ) e 0 jk 2 nTs NTs

k
X ( k )e
0 j 2 nk N

jk
2 nTs T
k
X ( k )e
0

k
X ( k )e
0
(T NTs )
2 2 N X (k 0 )是周期的，周期为s N 0 Ts T N点的周期序列，取一个周期，并简记作X (k )
a、b为常数
线性 时移 频移
e j0 n x(n)
x*(n) x(-n)
X (e j ( 0 ) n )
X (e j )
X (e j )
X (e j ) Y (e j )
x(n)* y(n)
时域卷积定理
3.2离散时间序列的傅里叶变换

DTFT对称性
3.2离散时间序列的傅里叶变换
（2）可写为： TFn
f (t )e
jn0t
F n 0 F n 0 dt 1T f
令 T 则： n 0
单位频带上的频谱值
TFn
T
f (t )e


j t
dt F ( j )
f(t)的频谱密度函数，简称频谱函数。
1 jn0t 0 （1）可写为： f (t ) TFn e TFn e jn t T 2 n n
j 4
j
7 2
j
7 2
j
7 2
7 ) 2 1 sin( ) 2 sin(
3.2离散时间序列的傅里叶变换

DTFT基本性质
傅里叶变换
X (e j ) Y (e j )
aX (e j ) bY (e j ) e jn0 X (e j )
序列
x(n) y(n) ax(n)+by(n) x(n-n0 )
1 e j 4 1 e j 3 e j 3 e j 4 1 e j 7 j 3 e j j j j 1 e 1 e 1 e 1 e

1 e e (e e ) j 3 e 1 1 1 j j j 1 e j e 2 (e 2 e 2 )
(3) (4) x3 (n) a nu (n), 0 a 1 x4 (n) u (n 3) u (n 4)
(3) X 3 (e )
j n
解
a u(n)e
n
j n
a n e jn
n 0
1 1 ae j
n 3
(4)

f (t ) F ( j)
S ( j) s ( ns )
1 Fs ( j) F j * S j 2

1 TS
n
F[ j( n )]
s

讨论：采样周期变化对频谱的影 响
1)
s 2m
2 s Ts
EG (t )
e U t , 0
t
E Sa 2
E j
1
2
2 j
sgnt
U t

1 j
t
1
3.2离散时间序列的傅里叶变换

离散序列的傅里叶变换（DTFT）
3.2离散时间序列的傅里叶变换
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
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3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
2. 时域频域各取一个周期,得到DFT
x(t )
k
jk t X ( k ) e (1) 0
0

2 ( 0 ) T
0 s
x(nTs ) x(t )

t nTs

k
3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
又因为：e
j 2 nk N
e
j
2 n ( k lN ) N
, l为任意整数
N 1 j 2 nk N k 0
所以前面的求和可以写成： x(nTs ) X (k )e
N 1 2 nk N
上式只能计算出N 个独立的值，也就是 x(nTs ) 的一个周期，记作x(n) 则：x(n) X (k )e
2)
s 2m
结论： 1) 当Ωs 2Ωm时，Fs(j Ω)是F(j Ω)在不 同Ωs倍数上的重复与再现，幅值为原值
3)
s 2m
的1/Ts 。
2) 当Ωs<2Ωm时，Fs(j Ω)中出现F(j Ω) 的
叠加与混合（混迭现象） 。
信号f(t)的恢复
即：从 fs(t)中恢复f(t) 实现：低通滤波器
因此，DTFT也可看作是周期信号X(.)在频域内展成傅里 叶级数，其傅里叶系数是时域信号x(n)。
对照以下两组变换式：
f (t )
n
jnt F e n

1 Fn T

T
0
f (t )e jnt dt
3.2离散时间序列的傅里叶变换

例：求以下序列的傅里叶变换
x1 (n) (n 3) 1 1 x2 (n) (n 1) ( n) ( n 1) 2 2
周期信号的频谱图（双边频谱）
f (t ) 1 sin t 2 cost cos 2t 4
n 2
jnt F e n
2
1 jt 1 j j 2 t 1 j 4 j 2 t [1 1 ]e jt 1 [1 ]e e 4 e e e 2j 2j 2 2 1 j 4 1 j 0.15 F2 e F0 1 F1 1 1 . 12 e 2j 2
第三章 离散傅里叶变换DFT（一）
Chapter 3 Discrete Fourier-Transform （Part Ⅰ）
主要内容
3.1连续时间信号的傅里叶变换 3.2离散时间序列的傅里叶变换
（DTFT） 3.3连续时间信号的抽样 3.4离散时间周期序列的傅里叶级数 （DFS）
3.1连续时间信号的傅里叶变换

DTFT对称性
3.2离散时间序列的傅里叶变换

DTFT对称性
3.2离散时间序列的傅里叶变换
DTFT对称性
3.2离散时间序列的傅里叶变换

实序列DTFT奇、偶、虚、实对称性质
3.3连续时间信号的抽样

抽样原理（采样、sample）
周期 序列
3.3连续时间信号的抽样

需要解决的问题
f s (t ) f (t ) s(t )

周期连续信号傅里叶级数展开
周期信号f(t)=f(t+nT) ，满足狄氏条件（有限区间逐 段光滑）时，可展成：
f (t )
其中：
n
F e
n

jnt
2 ( ) T
jnt
1 Fn T

T
0
f (t )e
dt
周期信号可分解为直流，基波和各次谐波 （基波角频率的整数倍）的线性组合。