探究性课题——三角形的内接正方形的面积

探究性课题——三角形的内接正方形的面积

蔡兆生

课本例题，具有一定的代表性．现行课本中几经修订得以保留的例题，因其具有丰富的内涵和推广价值而成为典型例题．发挥典型例题应有的功能，对调动学生的学习积极性，培养学生的思维品质，提高教学质量，具有重要的意义，现举例说明．

人教版初中《几何》第二册P243例5，如图1，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？

为方便起见，将课本解答抄录如下：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在边BC上，顶点P、N分别在AB、AC上，△ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为xmm，

∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

解得 x=48(mm) 答：(略)

这是一道源于实际的应用题，既有自身的应用价值．又有探究引申的教学价值．

1 变换视角，谋求问题解决的彻底性

由例题解法可知，正方形的边QM落在不同的边上(这样的正方形称为三角形的内接正方形)，所得正方形的边长不尽相同，为提高锐角三角形余料的利用率，正方形的边长总希望大一些为好．

为便于讨论，设△ABC的三边长分别为a、b、c，各边上的高分别为h a、h b、h c，边落在BC、AC、AB边上的内接正方形的边长分别为x a、x b、x c，为不失一般性，设a＜b＜c，△ABC 的面积为S．

可得 h a＞h b＞h c．

根据例题解法有

同理 x b＞x c，

∴ x a＞x b＞x c．

这表明，对于锐角三角形余料，内接正方形的一边落在锐角三角形最短边上时，边长最大，即加工成的正方形最大．

如果三角形余料不是锐角三角形，怎样使加工成的正方形零件最大呢？

∴ x a=x b．

这表明：边落在直角边上的两个内接正方形一样大．同理，可得x b＞x c，即边落在斜边上的内接正方形最小．

如果△ABC是钝角三角形，一边落在BC边上的面积最大的是正方形PCMN，如图2所示，AD 为BC边上的高，

∵ MN∥AD，

∵△BCE∽△ACD，

∵a＜b，∴S△BCE＜S△ACD，

∴(a＋CD＋h a)2－(b＋CE＋h b)2

=c2＋2ah a＋2CDh a－c2－2bh b－2CEh b

=4S△ABC＋2CDh a－4S△ABC－2CEh b

=2CDh a－2CEh b

=4S△ACD－4S△BCE＞0，

∴ a＋CD＋h a＞b＋CE＋h b，

即 x a＜x b．

又 (b＋CE＋h b)2－(c＋h c)2

∴ x b与x c的大小不确定，从可操作性看，将内接正方形的一边落在钝角三角形较短边上具有应用价值．

至此，三角形余料内接正方形的面积如何取得最大值问题已获彻底解决．

2 逆向思维，探求例题引出的新结论

从上面的分析可以看出，同一个三角形，内接正方形的边落在三角形的不同边上的内接正方形大小不同．如果正方形的一边落在三角形不同边上的内接正方形面积都相等，三角形是不是等边三角形呢？

设a、b、c分别△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，每边上的高分别为h a，h b，h c，三个内接正方形的边长分别为x a、x b、x c，△ABC的面积为S，由课本题目的解法可知：

由 x a=x b=x c及2S=ah a=bh b=ch c

得 a＋h a=b＋h b=c＋h c．

由 a＋h a=b＋h b

去分母，整理得

a2b＋2bS－ab2－2aS=0，

分解因式得

2S(b－a)－ab(b－a)=0，

即(b－a)(2S－ab)=0，

∵ 2S－ab=ah a－ab=a(h a－b)≠0 (∵h a＜b)，

∴ b－a=0 即 a=b，同理b=c，

∴△ABC为等边三角形．

这样，我们就得到了一个真命题：设△ABC三边上的三个内接正方形面积都相等，则△ABC是等边三角形(第十一届江苏省初中数学竞赛题)．

3 静中窥动，录求例题引申的新题型

从运动的观点看，若将原题中的点P、N沿AB、AC移动，必然会引起正方形边长及QM 位置的变化，由此可编拟如下新题：

已知：在△ABC中，四边形PQMN是有一边平行于BC的正方形，BC=120mm，高AD=80mm，设正方形的边长为xmm，正方形与三角形重叠部分的面积为ymm2．

(1)当Q、M在△ABC内部时(如图3)，求y与x的函数关系式及x的取值范围，并画出它的图象；

(2)当Q、M不在△ABC内部时(如图4)求y与x之间的函数关系式及x的取值范围，并画出它的图象，求出y的最大值．

略解：(1)y=x2，由例题解法知，当QM在BC边时，x=48，故x的取值范围是

0＜x＜48，图象如图5．

(2) ∵PN∥BC，

y取最大值为

4 数形结合，探索例题达到的新境界

数与形是数学的两大支柱，优势互补，相得益彰，例题中三角形的底和高为将三角形放入坐标系中有了可能，三角形的三个顶点为确定抛物线解析式创造了几何条件，三角形的不定性会引起内接正方形大小的不定性，由此又可编拟如下探索性问题：

已知抛物线y=－x2＋mx＋m＋6．

(1)求证：不论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点；

(2)若抛物线与x轴的两个交点B、C位于原点的两侧，且OB∶OC=1∶2，求m的值及抛物线的解析式；

(3)由(2)所得的抛物线上是否存在点A，使得两个顶点落在AB、AC上，另两个顶点落在BC上的正方形边长为3？如果存在，请求出A点的坐标，如果不存在，请说明理由．

略解 (1)因为△=m2－4×(－1)(m＋6)=m2＋4m＋24=(m＋2)2＋20＞0，所以不论m取何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点．

(2)由题意，设x1，x2为B、C两点的横坐标，则x1＜0，x2＞0，x2=－2x1，

由根与系数的关系得

x1＋x2=m，x1x2=－(m＋6)，

解析式为

y=－x2＋2x＋8．

2x0＋8)，则