(最新整理)2.6 指数与指数函数—讲义.doc

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2.6指数与指数函数

一、【课程要求】

1．理解二次根式的概念，掌握根式的运算性质，理解分数指数幂与根式的关系

2．掌握指数函数的图像与性质，能利用单调性比较幂的大小，求最值，图像及变换作图 二、【重点难点】

①指数函数的性质，画指数函数的图象．②知道指数函数是一类重要的函数模型，了解指数函数模型的实际案例，会用指数函数模型解决简单的实际问题． 三、【命题规律】

本节内容在高考中属于基础知识考查范围，多以填空为主，主要考查指数函数以及由它复合而成的函数的图像与性质，大多涉及比较大小，奇偶性，过定点，单调区间及利用单调性求最值等问题。 四、【知识回顾】 1.根式

（1）根式的概念：

如果(1)n x a n n N =>∈且，那么x 叫做a 的n 次实数方根 当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数

当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，符

号：注：0的n 次实数方根是0，负数没有偶次方根 （2）两个重要的公式

(0)

(0)a n a a a n a a ⎧⎪=≥⎧⎨=⎨⎪

-<⎩⎩

为奇数为偶数

②n

a =（注意a

意义）

2.有理指数幂

（1）整数指数幂的表示

①正整数指数幂的定义：()n a

n a a a a n N *=⋅⋅⋅⋅∈个 ②正整数指数幂运算法则： m

n

m n

a a a

+⋅=，m

n

m n

a a a

-÷=，()

n

m mn

a

a

=，()

n

n n

ab a b =，(0)n

n

n a a

b b b ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭

③零指数幂：()010a a =≠ ④负整数指数幂：1

(0,)n n a a n N a

-*=≠∈ （2）分数指数幂的表示

①正数的正分数指数幂：(0,,,1)m n m n

a a a m n N n *=>∈> ②正数的负分数指数幂：1(0,,,1)m n m

n

m

n

a

a m n N n a a -*=

=

>∈>

③0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义 （3）有理数指数幂的运算性质： ①(0,,)r s r s a a a a r s Q +⋅=>∈

②()(0,,)s

r rs a a a r s Q =>∈

③()()0,0,r

r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.指数函数

函数(01)x y a a a =>≠且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R

4.指数函数的图像和性质

注：指数函数1(01)x

x y a y a a a ⎛⎫

==>≠ ⎪⎝⎭

与且的图像关于y 轴对称。

5.指数函数的底数与图像的关系

指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系 如图所示，则01c d a b <<<<<，

在y 轴右侧，图像从下到上相应的底数也由小变大，

在y 轴左侧，图像从上到下相应的底数也由小变大 即无论在y 轴左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 在第一象限内，“底大图高” 6.指数式、指数函数的理解

① 分数指数幂与根式或以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算

② 根式的运算、变形、求值、化简及等式证明在数学中占有重要的地位，是研究方程、不等式和函数的基础，应引起重视

③ 在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程或方程组来求值

④ 在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像

12

2

23,,3

,21

x

x x y y x y y -=⋅===- 等函数均不符合形式()01x y a a a =>≠且，因此，它们都不是指数函数

⑤ 画指数函数x y a =的图像，应抓住三个关键点：()()11,,0,1,1,a a

⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

【例题精讲】

考点一：指数式的运算

例1.化简下列各式（其中各字母均为正数） （1）

23

11113

2

2

6

5

a a b

-

--

-⋅

（2）1211

21

333225(3)(4)6

a b a b a b ----⋅⋅-÷⋅

（3）20.52

0371037(2)0.1(2)392748

π--++-⋅+

（4）()4

1

1

300.75

33

27(0.064)()2160.018

--

-⎡⎤--+-++-⎣⎦

【反思归纳】根式运算或根式与指数式混合运算时，化简原则是：化根式为分数指数幂，化负指数为正指数，化小数为分数等。对于计算结果，不强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 【举一反三】 1.计算： （1）(

)

)

2

10

3

10.02717--

⎛⎫--+- ⎪⎝⎭

（2

）()

3

12

1

2332

140.1a b

---⎛⎫

⋅

⎪⎝⎭

考点二：比较数值的大小

比较大小常用的方法有：①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法，

在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况： 1) 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，直接利用指数函数的单调性来判断。