2020-2021学年河南省天一大联考高二阶段性测试(一)数学(理)试题及答案

2020－2021学年高二年级阶段性测试(一)
数学(理科)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝3
1，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.15
2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝
A.25
B.30
C.32
D.64
3.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－
1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.1213
4.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝
110，则c ＝ 2 2 2 2 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝
A.3
B.5
C.6
D.10
6.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音“宫”经过一次“损”，频率变为原来的
32，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34
，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶。

据此可推得
A.“商”“羽”“角”的频率成公比为
34
的等比数列 B.“宫”“徵”“商”的频率成公比为32
的等比数列 C.“宫”“商”“角”的频率成公比为98
的等比数列 D.“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 7.已知等比数列{a n }的首项a 1＝e ，公比q ＝e ，则数列{ln a n }的前10项和S 10＝
A.45
B.55
C.110
D.210
8.已知等差数列{a n}的首项是2，公差为d(d∈Z)，且{a n}中有一项是14，则d的取值的个数为
A.3
B.4
C.6
D.7
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
cos
cos
a B
b A
=，sinA>sinB，则△ABC的
形状一定是
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
10.一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南
偏东18°方向上，经过10分钟的航行，
则灯塔与轮船原
来的距离为
A.5海里
B.4海里
C.3海里
D.2海里
11.已知数列{a n}满足a n＝
()
n6
2p n2n6
p n6
-
⎧--≤
⎪
⎨
>
⎪⎩
，，
，
(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有a n＋1>a n，则
实数p的取值范围是
A.(1，7
4
) B.(1，
10
7
) C.(1，2) D.(
10
7
，2)
12.在钝角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C
的对边，且其面积为
12
(a2＋b2－c2)，
则b
a
的取值范围是
A.(0
，
2)∪
(
3
，＋∞) B.(0
，
2
)∪
)
C.(0，1
2
)∪
，＋∞) D.(0，
1
2
)∪
，＋∞)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A：B：C＝1：1：2，则a
c
＝。

14.设正项等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，若4
23
S
S
=，则q＝。

15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝4，c
BC边
上的高为。

16.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”。

将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，
16，4；…；第n 次得到数列1，x 1，x 2，…，x 1，4，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x i ·4)，其中t ＝2n －1，n ∈N *。

则{a n }的通项a n ＝ 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(10分)
ABC 中，B ＝120°－C ，AC ＝1。

(I)求AB 的长；
(II)求sinC 的值。

18.(12分)
已知数列{a n }满足a 1＝－3，且a n ＋1＝2a n ＋4(n ∈N *)。

(I)证明：{a n ＋4}是等比数列；
(II)求{a n }的前n 项和S n 。

19.(12分)
已知递增的等差数列{a n }满足a 1＋a 2，a 4－a 1，a 5成等比数列，且a 3＝5。

(I)求{a n }的通项公式；
(II)若b n ＝n 2n l a n 2=⎧⎨
≥⎩，，，，求{b n }的前n 项和S n 。

20.(12分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，bsinA ＋sinB
＝2
，且B 为锐角。

(I)求角B 的大小；
(II)若AC
ABC 的面积
21.(12分)。

设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )都在直线x ＋3y ＋2＝0上。

(I)求{a n }的通项公式；
(II)若b n ＝na n ，求{b n }的前n 项和T n 。

22.(12分)
在平面四边形ABCD 中，∠DAB ＝2π，∠ADC ＝∠ACB ＝3π，AB ＝2。

(I)若BC ＝3
3，求∠CAD 的大小；
(II)求边CD 长度的最大值。