【含高考模拟卷16套】黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高考压轴卷数学试卷含解析

黑龙江省双鸭山市第一中学2020-2021学年高考压轴卷数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x 时，函数()1f x x =
-.若
111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫
==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
a f
b f
c f ，则,,a b c 大小关系是（ ）
A ．b c a <<
B ．b a c <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
2．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布(
)2
80,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）
附：若()2
~,X N μσ，则()0.6826P X
μσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.
A ．0.6826
B ．0.8413
C ．0.8185
D ．0.9544
3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：
若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324
B ．522
C ．535
D ．578
4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
A ．
53
π B ．2π
C ．
52
π D ．3π
5．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“
”表示一个阳爻，“
”表示一个阴爻）．若
从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）
A ．
1
3
B ．
12
C ．
23
D ．
34
6．函数()sin 3f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ）
A ．53,62⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
7．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆
22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）
A ．211-
B ．52-
C ．25
D ．251-
8．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini a
S
=
称为基尼系数.
对于下列说法：
①Gini 越小，则国民分配越公平；
②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有
()
1f x x
>；
③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2
=. 其中正确的是： A ．①④
B ．②③
C ．①③④
D ．①②④
9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()ax
f x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3-
B ．3
C ．1
3
-
D ．
13
10．2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行.这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异.今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵.他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若已知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位.现知道：①甲不是军事科学院的；②来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④乙不是博士学位；⑤国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( ) A ．国防大学，研究生 B ．国防大学，博士 C ．军事科学院，学士
D ．国防科技大学，研究生
11．点O 为ABC ∆的三条中线的交点，且OA OB ⊥，2AB =，则AC BC ⋅的值为( ) A ．4
B ．8
C ．6
D ．12
12．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．
1211e e
r R e e ++-- B ．
111e e
r R e e ++-- C ．1211e e
r R e e
-+++ D ．
111e e
r R e e
-+++ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()2
2211x y a a
+=＞上，其中A （0，
1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为
27
8
，则实数a 的值为_____． 14．某大学A 、B 、C 、D 四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为3.2%、4.8%、4%、5.2%，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取129人调查毕业后的就业情况，则D 专业应抽取_________人．
15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P Q 、是面对角线11A C 上两个不同的动点.以下四个命题：
①存在P Q 、两点，使BP DQ ⊥；②存在P Q 、两点，使BP DQ 、与直线1B C 都成45︒的角；③若
||1PQ =，则四面体BDPQ 的体积一定是定值；④若||1PQ =，则四面体BDPQ 在该正方体六个面上的
正投影的面积的和为定值.其中为真命题的是____.
16． “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a b C c B =+．
()1求B 的值；
()2设BAC ∠的平分线AD 与边BC 交于点D ，已知177AD =
，7
cos 25
A =-，求b 的值. 18．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2
12
222
x t y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A B ，两点，PAB ∆的顶点P 也在曲线C 上运动，求PAB ∆面积的最大值. 19．（12分）已知关于x 的不等式||20x m x +-≤解集为[
)1,+∞（0m >）. （1）求正数m 的值；
（2）设,,a b c +
∈R ，且a b c m ++=，求证：222
1a b c b c a
++≥.
20．（12分）已知函数()ln ()x
e f x x x ax a R =-+∈.
（1）若函数()f x 在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若1a =，求()f x 的最大值. 21．（12分）已知在中，角
的对边分别为
,且
.
（1）求的值； （2）若
,求
的取值范围.
22．（10分）已知函数()213f x t x x =++--的定义域为R .
（1）求实数t 的取值范围；
（2）设实数R 为t 的最小值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c m ++=，求222
111
123
a b c +++++的最小值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】 【分析】
由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论. 【详解】
对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-， 因为函数()f x 关于点(1,0)对称，
当1x ≥时，()f x =
所以()f x 在定义域R 上是单调增函数. 因为111232-
<-<，所以111232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
f f f ， b c a <<.
故选:A. 【点睛】
本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题.. 2、C 【解析】 【分析】
根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】
由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=，()70900.9544P X <=， 所以()()1
85900.95440.68260.13592
P X <=
⨯-=，()75900.68260.13590.8185P X <=+=. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】
本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题. 3、D 【解析】 【分析】
因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】
从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:
436,535,577,348,522,535,578,324,577,，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为
436,535,577,348,522,578,324,
，故第6个数据为578.选D.
【点睛】
本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键. 4、A 【解析】 【分析】
由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．再由球与圆柱体积公式求解． 【详解】
由三视图还原原几何体如图，
该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱， 半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为1．
则几何体的体积为32
145111233
V πππ=⨯⨯+⨯⨯=．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 5、B 【解析】 【分析】
基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率. 【详解】
解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，
取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个， 所以，所求的概率3162
P ==. 故选：B. 【点睛】
本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题． 6、B 【解析】 【分析】
首先由[]0,x π∈，可得3
x π
ω-
的范围，结合函数()f x 的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数ω的
不等式，解不等式即可求得范围. 【详解】
因为[]0,x π∈，所以,333x π
π
πωωπ⎡⎤-
∈--⎢⎥⎣⎦，若值域为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
， 所以只需42
3
3π
π
πωπ≤-
≤
，∴5563
ω≤≤. 故选：B
【点睛】
本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养. 7、D
【分析】
利用抛物线的定义，求得p 的值，由利用两点间距离公式求得PM ，根据二次函数的性质，求得min
PM ，
由PQ 取得最小值为min
1PM -，求得结果.
【详解】
由抛物线2
:2(0)C y px p =>焦点在x 轴上，准线方程2
p
x =-
， 则点(5,)t 到焦点的距离为562
p
d =+=，则2p =， 所以抛物线方程：2
4y x =，
设(,)P x y ，圆22
:(6)1M x y -+=，圆心为(6,1)，半径为1，
则PM ===， 当4x =时，PQ
11=， 故选D. 【点睛】
该题考查的是有关距离的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，点到圆上的点的距离的最小值为其到圆心的距离减半径，二次函数的最小值，属于中档题目. 8、A 【解析】 【分析】 【详解】
对于①，根据基尼系数公式Gini a
S
=
，可得基尼系数越小，不平等区域的面积a 越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得(0,1)x ∀∈，均有()f x x <，可得
()1f x x
<，所以②错误.对于③，因为1223100111
()d ()|236a x x x x x =-=-=⎰，所以1
16Gini 132a S ===，所以③错误.对于④，因为13
24100111()d ()|244
a x x x x x =-=-=⎰，所以1
14Gini 122a S ===，所以④正确.故选A ．
9、B 【解析】 【分析】
根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得a .
由已知可知，()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 是一个以4为周期的周期函数， 所以()()()ln2
2020ln 2ln 2ln 228a a f f f e -=-=-===，
解得3a =， 故选：B. 【点睛】
本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题. 10、C 【解析】 【分析】
根据①③可判断丙的院校；由②和⑤可判断丙的学位. 【详解】
由题意①甲不是军事科学院的，③乙不是军事科学院的； 则丙来自军事科学院；
由②来自军事科学院的不是博士，则丙不是博士； 由⑤国防科技大学的是研究生，可知丙不是研究生， 故丙为学士.
综上可知，丙来自军事科学院，学位是学士. 故选：C. 【点睛】
本题考查了合情推理的简单应用，由条件的相互牵制判断符合要求的情况，属于基础题. 11、B 【解析】 【分析】
可画出图形，根据条件可得2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩，从而可解出22AC AO BO
BC BO AO ⎧=+⎨=+⎩
，然后根据OA OB ⊥，
2AB =进行数量积的运算即可求出()()
282AO BO BO AO AC BC ⋅=⋅++=．
【详解】 如图：
点O 为ABC ∆的三条中线的交点
11()(2)33AO AB AC AC BC ∴=+=-，11
()(2)33
BO BA BC BC AC =+=-
∴由2323AC BC AO BC AC BO ⎧-=⎨-=⎩可得：22AC AO BO
BC BO AO
⎧=+⎨=+⎩，
又因OA OB ⊥，2AB =，
222
(2)(2)2228AC BC AO BO BO AO AO BO AB ∴⋅=+⋅+=+==.
故选：B 【点睛】
本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题. 12、A 【解析】 【分析】
由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离. 【详解】
椭圆的离心率：=(0,1)c
e a
∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴），
设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：
则,n a c R r a c R =+-=--
所以1r R a e +=
-,()1r R e
c e
+=-, ()121111r R e r R e e
n a c R R r R e e e e
+++=+-=+-=+----
故选：A 【点睛】
本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3 【解析】 【分析】
设直线AB 的方程为y ＝kx+1，则直线AC 的方程可设为y 1k =-x+1，（k≠0），联立方程得到B （222
21a k
a k -+，2
2
2211a k a k -+），故S 442221
211a k k
a a k k +
=⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭，令t 1k k =+，得S 4
2222(1)a a a t t =-+，利用均值不等式得到答案. 【详解】
设直线AB 的方程为y ＝kx+1，则直线AC 的方程可设为y 1
k
=-
x+1，（k≠0） 由22211
y kx x y a
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2
kx ＝0，所以x ＝0或x 222
21a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k•22221a k a k -++1）
，即B （22221a k a k -+，22
22
11a k a k -+）， 因此
AB ==2
22
21a k a k
+， 同理可得：
AC =•
2
2
2
21a k
a
k
+. ∴Rt △ABC 的面积为S 12=
AB•AC =44422422221
221111a k a k
a a k a a k k k +
=⎛⎫⎛⎫
++++++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭
令t
1
k
k
=+，得S()
44
22
422
2
22
(1)
12
a t a
a
a a t a t
t
==
-
++-+.
∵t
1
k
k
=+≥2，∴S△ABC
44
2
22
2
(1)
(1)
2
a
a a
a
a t
t
≤=
-
-
⨯
.
当且仅当
2
a t
t
=，即t
21
a
a
-
=时，△ABC的面积S有最大值为
4
2
27
(1)8
a
a a
=
-
.
解之得a＝3或a
3297
+
=.
∵a
3297
+
=时，t
21
a
a
-
=＜2不符合题意，∴a＝3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
14、39
【解析】
【分析】
求出D专业人数在A、B、C、D四个专业总人数的比例后可得．
【详解】
由题意A、B、C、D四个不同的专业人数的比例为8:12:10:13，故D专业应抽取的人数为
13
12939
8121013
⨯=
+++
．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的．
对于①中，当P 点与1A 点重合，Q 与点1C 重合时，可判断①正确；当点P 点与1A 点重合，BP 与直线1B C 所成的角最小为60，可判定②不正确；根据平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥，可判定③正确；四面体BDPQ 在上下两个底面和在四个侧面上的投影，均为定值，可判定④正确. 【详解】
对于①中，当P 点与1A 点重合，Q 与点1C 重合时，BP DQ ⊥，所以①正确；
对于②中，当点P 点与1A 点重合，BP 与直线1B C 所成的角最小，此时两异面直线的夹角为60，所以②不正确；
对于③中，设平面1111D C B A 两条对角线交点为O ，可得PQ ⊥平面OBD ， 平面OBD 将四面体BDPQ 可分成两个底面均为平面OBD ，高之和为PQ 的棱锥， 所以四面体BDPQ 的体积一定是定值，所以③正确；
对于④中，四面体BDPQ 在上下两个底面上的投影是对角线互相垂直且对角线长度均为1的四边形，其面积为定义，
四面体BDPQ 在四个侧面上的投影，均为上底为
2
2
，下底和高均为1的梯形，其面积为定值， 故四面体BDPQ 在该正方体六个面上的正投影的面积的和为定值，所以④正确. 故答案为：①③④.
【点睛】
本题主要考查了以空间几何体的结构特征为载体的谜题的真假判定及应用，其中解答中涉及到棱柱的集合特征，异面直线的关系和椎体的体积，以及投影的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果. 【详解】
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有5
52240A =种;
若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有14
442192C A =种;
因此共有240192432+=种. 故答案为：432 【点睛】
本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、()14
B π
=；()2sin sin AD ADC
b C
∠=
.
【解析】 【分析】
()1利用正弦定理化简求值即可；
()2利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出b 的值.
【详解】
解：()1cos sin a b C c B -=，由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B -=，
()sin sin cos sin sin B C B C C B π---=， ()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=，
sin cos sin cos sin cos sin sin B C C B B C C B +-=， sinCcos sin sin B C B =，
又B ，C 为三角形内角，故sin 0B >，sin 0C >， 则cos sin 0B B =>，故tan 1B =，4
B π
=
；
（2）AD 平分BAC ∠，设BAD CAD x ∠=∠=，则()20,A x π=∈,0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
,
27cos cos 22cos 125A x x ==-=-
，3cos 5
x =，则4sin 5x ==，
24
sin
25
A==，又
4
B
π
=，
则
333
sin sin sin cos cos sin
44450
C A A A
πππ
⎛⎫
=---=
⎪
⎝⎭
(
)
sin sin sin sin cos cos sin
444
ADC B x x x x
πππ
⎛⎫
∠=+=+=+=
⎪
⎝⎭
在ACD中，由正弦定理：
sin sin
b AD
ADC C
=
∠
，
sin
sin
AD ADC
b
C
∠
=.
【点睛】
本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.
18、（1）l：30
x y
+-=，C：2240
x y x
+-=；（2
【解析】
【分析】
（1）由直线参数方程消去参数即可得直线l的普通方程，根据极坐标方程和直角坐标方程互化的公式即可得曲线C的直角坐标方程；
（2）
由AB=PAB
∆
的底AB=由点P到直线l的距离的最大值为r d
+即可得PAB
∆高的最大值，即可得解.
【详解】
（1
）由
1
2
2
2
x t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
消去参数得直线l的普通方程为30
x y
+-=，
由4cos
ρθ
=得24cos
ρρθ
=，曲线C的直角坐标方程为2240
x y x
+-=；
（2）曲线C即()22
24
x y
-+=，
圆心()
20，到直线l
的距离2
2
d r
==<=，
所以AB==
又点P到直线l
的距离的最大值为2
2
r d
+=+，
所以PAB
∆面积的最大值为(
)
1
22
AB r d
+=.
【点睛】
本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题. 19、（1）1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）将不等式||20x m x +-≤化为22x x m x -≤+≤，求解得出x m ≥，根据解集确定正数m 的值；
（2）利用基本不等式以及不等式的性质，得出22a a b b
≥-，22b b c c ≥-，22c c a a ≥-，三式相加，即
可得证. 【详解】
（1）解：不等式||20x m x +-≤，即不等式||222x m x x x m x +≤⇔-≤+≤
∴3x m
m x ≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩
，而0m >，于是x m ≥
依题意得1m =
（2）证明：由（1）知1a b c ++=，原不等式可化为
222
a b c a b c b c a
++≥++ ∵,,a b c +∈R ，222a b ab +≥
∴22a a b b
≥-，同理22b b c c ≥-，22c c a a ≥-
三式相加得222
a b c a b c b c a
++≥++，当且仅当a b c ==时取等号
综上222
1a b c b c a
++≥.
【点睛】
本题主要考查了求绝对值不等式中参数的范围以及基本不等式的应用，属于中档题. 20、（1）21a e ≤-（2）max ()1f x =- 【解析】 【分析】
（1）根据单调递减可知导函数恒小于等于0，采用参变分离的方法分离出a ，并将x 的部分构造成新函数()g x ，分析a 与()g x 最值之间的关系；
点，计算0()f x 的值并利用0()0f x '=进行化简，从而确定max ()f x . 【详解】
（1）由题意知，()
1
()x x f x e xe a x '
=
-++ 1(1)0x x e a x
=-++≤在[1,)+∞上恒成立，所以1
(1)x a x x
e ≤+-在[1,)+∞上恒成立.
令1()(1)x
g x x e x
=+-
，则21()(2)0x
g x x e x '=++>，
所以()g x 在[1,)+∞上单调递增，所以min ()(1)21g x g e ==-， 所以21a e ≤-.
（2）当1a =时，()ln (0)x
f x x x x x e =-+>.
则11()(1)1(1)x x f x x e x e x x '
⎛⎫=
-++=+- ⎪⎝⎭
， 令1()x m x e x
=
-，则21
()0x m x e x '=--<，
所以()m x 在(0,)+∞上单调递减. 由于102m ⎛⎫>
⎪⎝⎭，(1)0m <，所以存在00x >满足()00m x =，即0
1x e x =. 当()00,x x ∈时，()0m x >，()0f x '>；当()0,x x ∈+∞时，()0m x <，()0f x '<. 所以()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减. 所以()0
max 0000()ln x
f x f x x x e x ==-+，
因为0
1
x e
x =
，所以00ln x x =-，所以()00011f x x x =--+=-， 所以max ()1f x =-. 【点睛】
（1）求函数中字母的范围时，常用的方法有两种：参变分离法、分类讨论法；
（2）当导函数不易求零点时，需要将导函数中某些部分拿出作单独分析，以便先确定导函数的单调性从而确定导函数的零点所在区间，再分析整个函数的单调性，最后确定出函数的最值. 21、（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求的值，所以可以考虑到根据余弦定理将分别用边表示，再根据正弦定理可以将转化为，于是可以求出的值；（2）首先根据求出角的值，根据第（1）问得到的值，可以运用正弦定理求出外接圆半径，于是可以将转化为，又因为角的值已经得到，所以将转化为关于的正弦型函数表达式，这样就可求出取值范围；另外本问也可以在求出角的值后，应用余弦定理及重要不等式，求出的最大值，当然，此时还要注意到三角形两边之和大于第三边这一条件.
试题解析：（1）由，
应用余弦定理，可得
化简得则
（2）
即
所以
法一.,
则
=
=
=
又
法二 因为
由余弦定理
得，
又因为，当且仅当时“”成立.
所以
又由三边关系定理可知
综上
考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用. 22、（1）4t ≥；（2）9
22
【解析】 【分析】
（1）首先通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集； (2)首先确定m 的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式. 【详解】
（1）因为函数定义域为R ，即2130t x x ++--=恒成立，所以213t x x ≥-++-恒成立
5,1,21313,13,5, 3.x x x x x x x x +≤-⎧⎪
-++-=--<<⎨⎪--≥⎩
由单调性可知当1x =-时，213x x -++-有最大值为4，即4t ≥； （2）由（1）知4m =，22216a b c ++=， 由柯西不等式知()()2222222
1111231119123a b c a b c ⎛⎫++⨯+++++≥++= ⎪+++⎝⎭
所以
222111912322a b c ++≥+++，即222111123
a b c +++++的最小值为
922. 当且仅当2193a =，2163b =，2
133
c =时，等号成立
本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2020-2021高考数学模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.
①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④
B ．①②
C ．②④
D ．①③④
2．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）
A ．6
2海里
B ．3
C ．2海里
D ．3海里
3．已知定义在R 上的函数()2x
f x x =⋅，3(lo
g 5)a f =，31(log )2
b f =-，(ln 3)
c f =，则a ，b ，
c 的大小关系为（ ）
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
4．已知圆1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A ．254+
B ．9
C ．7
D ．252+
5．设x ∈R ，则“327x <”是“||3x <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6．()()5
2122x x --的展开式中8
x
的项的系数为（ ）
A ．120
B ．80
C ．60
D ．40
7．设,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．c a c b -<-
B ．22ac bc >
C ．
11a b
< D ．
1b a
< 8．已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有
()()
2121
0f x f x x x ->-成立，已知
()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，21log 6c f ⎛
⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b a c >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
10．已知()()()
[)3log 1,1,84,8,6
x x f x x x ⎧+∈-⎪
=⎨∈+∞⎪-⎩ 若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值
范围是（ ） A ．()0,∞+
B ．[)1,2
C ．[)1,+∞
D ．()0,1
11．已知向量a ，b ，b =(1，3)，且a 在b 方向上的投影为1
2
，则a b ⋅等于（ ） A ．2 B ．1
C ．
12
D ．0
12．
中，如果
，则
的形状是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量()1,1a =，()2,b m =-，若()
2//a b b -，则实数m =______.
14．设实数x ，y 满足20202xy x y x ≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则点(),P x y 表示的区域面积为______.
15．函数()cos sin f x x x x =+在x π=处的切线方程是____________.
16．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，并且当01x ≤≤时()21x
f x =-，则
()123f =___
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：
x
1 2 3 4 5 6
7 y
5
8
8
10
14
15
17
（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y
关于x 的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+； （2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为
16，获得“二等奖”的概率为1
3
．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．
参考公式：1
2
21
ˆn
i i
i n
i i x y nx y
b
x nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-，71
364i i i x y ==∑，7
21
140i i x ==∑． 18．（12分）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的长半轴长为2，点()1,e （e 为椭圆C 的离心率）
在椭圆C 上.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图，P 为直线2x =上任一点，过点P 椭圆C 上点处的切线为PA ，PB ，切点分别A ，B ，直线
x a =与直线PA ，PB 分别交于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ，求mn 的值.
19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，∠ABD=30°，AB ＝2CD ＝2AD ＝2，DE ⊥平面ABCD ，EF//BD ，且BD ＝2EF ．
（Ⅰ）求证：平面ADE ⊥平面BDEF ；
（Ⅱ）若二面角C -BF -D 的大小为60°，求CF 与平面ABCD 所成角的正弦值．
20．（12分）如图,三棱柱111ABC A B C -中,底面ABC 是等边三角形,侧面11BCC B 是矩形,1,AB A B N =是
1B C 的中点,M 是棱1AA 上的点,且1AA CM ⊥.
（1）证明：//MN 平面ABC ；
（2）若1AB A B ⊥,求二面角A CM N --的余弦值.
21．（12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0），焦点F 到准线的距离为3，抛物线E 上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），其中x 1≠x 2且x 1+x 2＝1．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点 C ． （1）求抛物线E 的方程； （2）求△ABC 面积的最大值．
22．（10分）已知函数f(x ）=xlnx ，g(x)=
232
x ax -+-, （1）求f(x)的最小值；
（2）对任意(0,)x ∈+∞，()()f x g x ≥都有恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12
ln x x e ex
>
-成立．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
【分析】
由茎叶图中数据可求得中位数和平均数,即可判断①②③,再根据数据集中程度判断④.
【详解】
由茎叶图可得甲同学成绩的中位数为8082
81 2
+
=
,乙同学成绩的中位数为
8788
87.5
2
+
=,故①错误；
()
1
=72+76+80+82+86+90=81
6
x⨯
甲
,()
1
=69+78+87+88+92+96=85
6
x⨯
乙
,则x x
<
甲乙
,故②错误,③正确；
显然甲同学的成绩更集中,即波动性更小,所以方差更小,故④正确,
故选:A
【点睛】
本题考查由茎叶图分析数据特征,考查由茎叶图求中位数、平均数.
2、A
【解析】
【分析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.
【详解】
由题意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.
在△ABC中，由正弦定理得
4530
AB BC
sin sin
=
︒︒
，
1
2
2
2
BC
=
，∴62
BC=
故选：A.。