四则混合运算及数列巧算

第一讲四则混合运算及数列巧算善于利用零星时间的人，才会做出更大的成绩来——华罗庚

姓名___________ 知识提要

一、运算定律

（一）加法运算定律

1、加法交换律：a＋b＝b＋a

2、加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

（二）乘法运算定律

1、乘法交换律：a×b＝b×a

2、乘法结合律：(a×b) ×c＝a×(b×c)

3、乘法分配率：乘法对加法的分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c

乘法对减法的分配律：a×(b－c)＝a×b－a×c

二、运算性质和规律

（1）和不变的规律：如果一个加数增加一个数，另一个加数减少相同的数，那么它们的和不

变。

（2）差不变的规律：如果被减数和减数同时增加（或减少）相同的数，那么它们的差不变。（3）积的变化规律：一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数缩小（或扩大）相同倍数，积不变。

（4）商不变的性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。

（5）减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）

（6）除法运算性质：（a＋b）÷c＝a÷c＋b÷c

（a－b）÷c＝a÷c－b÷c

（7）在加减算式中增加或去掉括号时，要注意：括号前面是“＋”号，添上或去掉括号里面不变号；括号前面是“一”号，添上或去掉里面括号要变号。

三、等差数列的常用公式：（1）求和公式：和＝（首项＋末项）×项数÷2

（2）求项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1

（3）求末项公式：末项＝首项＋公差×（项数－1）

四、特殊数列的常用公式：（1）12＋22＋32＋42＋…＋n2＝n×(n＋1) ×(2 n＋1)÷6

（2）13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝[(1＋n) ×n÷2]2

（3）前n个自然数的和＝1＋2＋3＋……＋(n－1)＋n＝n×(n＋1) ÷2

（4）前n个奇数数的和＝1＋3＋5＋……＋(2 n－3)＋(2 n－1)＝n2

（5）前n个偶数数的和＝2＋4＋6＋……2(n－1)＋2 n＝n×(n＋1)

五、对于非等差数列求和的常用方法“分组求和”和“错项相减”、

“先借后还”等，即通过数的分解、拆分、交换、结合、提取公因数等

技巧，使之转化成等差数列（或铁树数列等）求和，从而使计算简便。

基本训练

1、20.36－7.98－4.02－5.36（注：带着符号搬家，减法性质）

2、18.73－(6.37－5.86)－7.86（注：去括号）

3、(91×48×75)÷(25×13×16)（注：去括号）

4、5×1.7＋3.5÷1.7－3×1.7－0.1÷1.7

5、1991×19921992－1992×19911991

6、2001×200.2－2002×200（注：积不变性质）

7、2014＋201.4＋20.14＋2.014＋986＋98.6＋9.86＋0.986

8、(2＋3.15＋5.87)×(3.15＋5.87＋7.32)－(2＋3.15＋5.87＋7.32) ×(3.15＋5.87)

例1、0.1＋0.3＋0.5＋0.7＋0.9＋0.11＋0.13＋0.15＋……＋0.99（注：小心，看仔细）

试一试 (1＋1.2)＋(2＋1.2×2)＋(3＋1.2×3)＋…＋(99＋1.2×99)＋(100＋1.2×100)

例2、2＋4＋8＋10＋14＋16＋…＋46＋50

试一试 1＋10＋4＋15＋7＋20＋…＋298＋505

例3、2016－2014＋2012－2010＋…＋4－2

【思路导航：观察这道算式，我们发现虽然数比较大，但是数与数之间还是存在着一些规律。每一组减数的差都是2。在这里，关键是求出差的个数是多少。】

试一试 9000－8997＋8994－8991＋…＋6－3

例4、求所有被2除余数是1 的两位数的和

【思路导航：能被2除余数是1 的两位数中最小的是11。按照这样的想法，能被2除余数是1的两位数中最大的是99。这样，符合条件的数组成了一个等差数列，它们的公差就是2，首项是11，末项是99，只要求出项数，就能解决问题了。】

试一试求所有被3除余数是1的三位数的和。

例5、如果把0.000000025简单地记作

，若a

＝，b

① a＋b：② a－b：③ a×b：④ a÷b：

试一试已知a＝ a＋b，② a－b，③ a×b，④ a÷b的值。

挑战难题

1、12＋22＋32＋…＋1002

2、13＋23＋33＋43＋…＋1003

3、9＋99＋999

4、如果12345679×a＝666666666，12345679×b＝555555555，那么a＋b＝__________。

5、10个连续偶数的和是从1开始的10个连续奇数和的4.5倍。其中最小的偶数是多少？（提示：先求10个偶数的和，再求最小偶数。）