第3章-4静态电磁场及其边值问题的解 (2)

穿过图中面积的磁通为 dΦ = BdS = Bldr
I r2 2 π r = 2 I 交链 与电流 2 a πa
a
r
I
l
dr
B
穿过图中面积的磁链为 r2 r2 µ I d Ψ = 2 dΦ = 2 lrdr 2 a a 2π a µIl 3 r dr = 4 2π a
a
µIl 3 µl Ψ=∫ r dr = I 4 0 2π a 8π
Φ0 =
µ0 I D−a 1 1 + dx 2π ∫ a x ( D − x)
x
dx
×
x
=
µ0 I D − a ln π a
D
v v ∫ H ⋅ dl = I
单位长度的外自感为
L= Φ0 µ0 D − a µ0 D = ln ≈ ln I π a π a
解：由
得二导线在x 得二导线在x处产生的磁场分别为 v v I v v I H1 = ey , H2 = ey 2π x 2π ( D − x ) 总的磁感应强度
▲
2、自感和互感的计算
（1）两个单匝回路的互感 设回路1 设回路1通过电流 I1
c1
R
c2 r2
Ψ21 = Φ21 = ∫
c2
v v A ⋅ dl2 1
r1
o
v v dl1 ⋅ dl2 所以 Ψ21 = Φ21 = µ0 4π ∫c2 ∫c1 R v v Ψ21 µ0 dl1 ⋅ dl2 ∴M21 = = ∫ ∫ 诺伊曼公式 c2 c1 I1 4π R
2、标量磁位
在恒定磁场无电流区域： 在恒定磁场无电流区域：
v ∇× H = 0
ϕm
v ⇒ H = −∇ϕm
即为标量磁位，单位A 即为标量磁位，单位A
标量磁位的特点： 标量磁位的特点： •标量磁位仅适合于无自由电流区域，且无物理意义； 标量磁位仅适合于无自由电流区域，且无物理意义； 标量磁位仅适合于无自由电流区域 •满足的微分方程： 2ϕ = 0 满足的微分方程： 满足的微分方程 ∇ m •边界条件： 边界条件： 边界条件
得
∇×
1
µ0
v v ( ∇× A) = J
即
v v v 2 ∇ ( ∇ ⋅ A) −∇ A = µ0 J
得
v v ∇ A = −µ0 J
2
矢量位的泊松方程
对于无源区域（J=0）： 对于无源区域（J=0）：
v 2 ∇ A=0
矢量位的拉普拉斯方程
v v 在直角坐标系中 ∇ A = −µ0 J 可分解为三个标量泊松方程
L = 内自感 Li + 外自感 L0
内磁链与外磁链
设 I → H → B →Φ →ψ → L( Li , L0 ) A
例：计算如图所示的单匝导线的内自感，其横截面积 计算如图所示的单匝导线的内自感，
S = π a
2
解：导线内的场
a
r
I
l dr
B
v v I H ⋅ dl =Hϕ 2π r = 2 π r2 ∫c πa v v v 1 I ⇒ H = eϕ Hϕ = eϕ 2 r 2 πa v v v µ I ⇒ B = µH = eϕ 2 r 2 πa
A
Ψ21 → M= I1
（2）单匝回路的自感
c2 c1
如图所示单匝回路， 如图所示单匝回路，可将电流看作集中于轴 线回路 c1上，而将计算磁通的回路取作导线边缘 的回路 c2，应用诺伊曼公式计算自感为
v v dl1 ⋅ dl2 Φ µ0 L= = ∫ ∫ I 4π c2 c1 R
以上计算的自感只考虑了导线外部的磁通， 以上计算的自感只考虑了导线外部的磁通，故称为外自 在导线内部的磁力线同样套链着电流， 感；在导线内部的磁力线同样套链着电流，其磁链与电流比 值定义为内自感。 值定义为内自感。
于是，矢量标量泊松方程的解为 于是，
v v µ0 J A= ∫τ Rdτ + C 4π
v v v 体电流 Jdτ 、面电流 J s dS 、线电流 Idl 产生的矢量位分别为 v v v v µ0 Jdτ v µ0 J s dS v µ0 Idl dA = , dA = , dA = 4π R 4π R 4π R
讨论： 讨论：
tan θ1 σ1 = ⇒ = σ1 σ2 tan θ2 σ 2 若σ 2 → ∞,则 θ1 → 0 。 v v 在理想导体表面上， 在理想导体表面上，J 和 E 都垂直于边
界面。 界面。
tan θ1
tan θ2
v v v en J E1 1
θ1
σ1 σ2
v θ2 v E2 J 2
静电场和恒定电场性质比较： 静电场和恒定电场性质比较：
3.3.2
矢量磁位和标量磁位
为了简化磁场的求解，通常采用间接方法； ◆ 为了简化磁场的求解，通常采用间接方法； ◆ 由磁场的散度为零，引入矢量磁位； 由磁场的散度为零，引入矢量磁位； 利用磁场的散度和旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。 ◆ 利用磁场的散度和旋度方程导出矢量磁位满足的微分方程。 1、矢量磁位 由
用场量表示磁场能量 1 v v Wm = ∫ H Bdτ 2τ 单位体积的磁场能量称为磁场能量密度
1 v v 1 B2 1 wm = H B = = µH 2 2 2 µ 2
求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。 例 3.3.7 求无限长同轴线单位长度内的磁场能量，如图所示。
3.3 电感
在线性介质中， 在线性介质中，一个电流回路在空间任意一点产生的 B与 电流成正比， 也与电流成正比； 电流成正比，因而穿过任意回路的磁通 Φ 也与电流成正比； 若一回路由N匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链， 若一回路由N匝导线绕成，则总磁通是各匝磁通之和，成为磁链， 表示。 Ψ 用 表示。且可近似为 Ψ = NΦ 1、自感和互感
单位长度的内自感为
L0 = 2
µ0 µ0 = 8π 4π
µ µ D L = 0 + 0 ln 总自感为 4π π a
3.3.4 恒定磁场的能量
★ 电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。 电流回路系统的能量是建立电流过程中由电源供给的。
当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加， ★ 当电流从零增加时回路感应电动势将阻止电流的增加，外加 而作功，使回路能量增加。 电压须克服感应电动势 而作功，使回路能量增加。 ★ 若所有回路固定，且忽略焦耳损耗，则电源作功将全部变为 若所有回路固定，且忽略焦耳损耗， 电流回路系统的磁场能量， 电流回路系统的磁场能量，这时回路上的外加电压和回路中的感应 电动势大小相等方向相反。 电动势大小相等方向相反。
c1 R r2 r1 c2
▲当磁场由自身回路的电流产生则
Ψ 回路磁链与电流之比 L = I
称为自感系数，简称自感， 称为自感系数，简称自感， 自感系数 自感 单位为H 单位为H（亨）
o
第一回路电流 I1 产生的磁场与第二回路交链的磁链 Ψ 称为互感系数，简称互感，单位H 为 Ψ21，则比值 M21 = 21称为互感系数，简称互感，单位H I1 同样， ▲ 同样，第二回路电流 I2产生的磁场与第一回路交链的 Ψ12 磁链为 Ψ12，其比值同样称为互感系数 M12 = I2 自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、 自感与互感都仅取决于回路的形状、尺寸、匝数和 介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。 介质的磁导率。互感还与两个回路的相互位置有关。
相同点： 相同点： 场性质相同， 场性质相同，均为保守场 场均不随时间改变 均不能存在于理想导体内部
不同点： 源不同。静电场的源为静止电荷， 不同点： 源不同。静电场的源为静止电荷，恒定电场的源为 运动电荷 存在区域不同。静电场只能存在于导体外， 存在区域不同。静电场只能存在于导体外，恒定电 场可以存在于非理想导体内
ϕm1 = ϕm 2 µ1 ∂ϕm1 = µ2 ∂ϕm 2
∂n ∂n
磁位 、磁矢位与电位的比较
电位 ϕ 磁位 ϕm (有源或无源） (无源） 比较内容 v v 引入位函数依据 ∇× E = 0 ∇× H = 0 位函数 位与场的关系 微分方程 位与源的关系 磁矢位A (有源或无源）
v E = −∇ϕ v 0 v ϕ = ∫ E ⋅ dl
第3章 静态电磁场 及其边值问题的解
第三讲
3.2 导体媒质中的恒定电场分析
恒定电场：恒定电流(运动电荷)产生的电场。 恒定电场：恒定电流(运动电荷)产生的电场。
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件
1Biblioteka Baidu恒定电场基本方程
v v 恒定电场的基本量： 恒定电场的基本量：E J ∂ρ v =0 v ∂ρ ∂t →∇ 由电流守恒定律： 由电流守恒定律： J + ∇ = 0 J = 0 ∂t v 恒定电场仍然是保守场， 恒定电场仍然是保守场，因此 ∇ × E = 0
v v B = µH
表明恒定磁场是无通量源，有旋涡源的场。 表明恒定磁场是无通量源，有旋涡源的场。 恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源。 恒定电流是产生恒定磁场的旋涡源。
2、边界条件 、 v v v v en × ( H1 − H2 ) = Js v v v en (B1 − B2 ) = 0
H1t − H 2t = J S B1n = B2 n
小结： 小结：恒定电场基本方程为
v v v J dS = 0 ∇ J = 0 ⇔ ∫S v v v ∇ × E = 0 ∫ l E dl = 0
电位满足的方程
∇ ϕ =0
2
2、恒定电场边界条件
用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知， 用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知，将静电场 v v 则两者基本方程形式完全相同。 基本方程中的 D 代换为 J ，则两者基本方程形式完全相同。 v J 的边界条件
µl 长度为l一段圆截面导线的内自感为 L = 8π
求双线传输线单位长度的自感。 例 3.3.4 求双线传输线单位长度的自感。导线半径为a， 导线间距离
y
D ，如图所示 a
v v v 1 v µ I 1 B = µ0 ( H1 + H2 ) = ey 0 + 2π x ( D − x )
2
∇2 Ax = −µ0 J x 2 ∇ Ay = −µ0 J y 2 ∇ Az = −µ0 J z
其解
µ J Ax = 0 ∫ x dτ + Cx 4π τ R µ J Ay = 0 ∫ y dτ + Cy 4π τ R µ J Az = 0 ∫ z dτ + Cz 4π τ R
p
v H =−∇ϕm v 0 v ϕm = ∫ H ⋅ dl
p
∫
l
v ∇× B = 0 v v B =∇× A v v v v A⋅ dl =∫ B⋅ dS
S
∇ ϕ = −ρ ε
2
∇ ϕm = 0
2
v v ∇ A =−µJ
2
ρdV ϕ =∫ ′ V 4πεr
I ϕm = − Ω 4π
v v µ0JdV A= ∫ V 4π r
v v v v v ∫ S J dS = 0 ⇒ ( J1 − J 2 ) en = 0
v E 的边界条件
⇒ J1n = J 2 n
∫
l
v v v v v v E dl = 0 ⇒ E1 × en = E2 × en
⇒ E1t = E2t
电位边界条件
σ 2 ∂ϕ 2 = σ 1 ∂ϕ1 ∂n ∂n ϕ1 − ϕ 2 = 0
3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件
1、基本方程 、 恒定磁场是由恒定电流激发的。源变量和场变量都不随时间变化。 恒定磁场是由恒定电流激发的。源变量和场变量都不随时间变化。
3.3 恒定磁场分析
v v v v ∫l H ⋅ dl = ∫S J ⋅ dS v v ∫ B ⋅ dS = 0
S
v v ∇× H = J v ∇⋅ B = 0
v v µ0 I1 dl1 而 A= 1 4π ∫c1 R
同理
v v Ψ12 µ0 dl2 ⋅ dl1 M12 = = ∫ ∫ I2 4π c1 c2 R
由此可见
M12 = M21
计算互感的一般步骤： 计算互感的一般步骤：
I1 → H1 → B1 → Φ21 = ∫ B1 ⋅ dS2 → Ψ21 s2
v ∇⋅B=0 v ∇⋅( ∇×A) =0
v v B=∇×A
矢量磁位 其单位为T m 其单位为T·m（特·米） 米 或Wb/m（韦/米） Wb/m（
为了唯一确定矢量磁位， 为了唯一确定矢量磁位，规定其散度
v ∇⋅ A = 0
v v v v v v 已知 ∇ × H = J B = ∇ × A B = µ H