随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题
一、填空题：
1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有
______}|{|lim =<-∞
>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意012≥>t t ， ，则
15
92}6)5(,4)3(,2)1({-⨯⨯=
===e X X X P ,
618}4)3(|6)5({-===e X X P
15
32
62
32
92!
23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}
2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({}
6)5(,4)3(,2)1({----⨯⨯=⨯⨯⨯==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P
66
218!
26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P
3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4
1
2141，
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=434
103
13131043
411)(P ，则167)2(12=P ，161}2,2,1{210====X X X P
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=48
31481348
436133616367
164167165)1()2(2P P 16
7
)2(12=P
16
1
314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{}
2,2,1{12010102010210=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P
4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ，
)]()([)(πϖδπϖδπω-++=X S
6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。

7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2
3)(2
42
++=ωωωωS ，则)(t X 的均方值=
2
121- 222
2221
1221)2(22211122)(+⨯⨯-+⨯⨯=+-+=
ωωωωωS ττ
τ--
-=e e
R X 2
12
1)(2
)(t X 的均方值2
1
21)0()(2-=
=ψX X R τ 8. 随机相位过程),cos()(Θω+=t a t X 其中ω,a 为常数，Θ为)
,(π20上服从均匀分布的随机变量，则0
)(>=
<t X ，
ϖττcos 2
)()(2
a t X t X >=+<
9．设马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的状态空间}1,0{=I ，则一步转
移概率矩阵为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=9.01.01.09.0P ，初始分布为)31,32(0(=p ，则2X 的分布律为
)300118
,300182(2(=P ，0354.0)0,1,1(432====X X X P
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==82.018.018.082.0)2(2
P P
)300
118
,300182(82.018.018.082.0)31,32()2(0(2(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==P p p 0354.01.09.0300
118)1|0()1|1()1()1,1|0()1|1()1()
0,1,1(34232324232432=⨯⨯=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P
10.设...)2,1,0(=n X n 是只有两个状态的齐次马氏链，其n 步转移概率矩阵为
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-=n n n n
D C n P 21311)(，则n
n n
n D C 21131
-
=
=
13．设μ=)(X E ，2)(σ=X D ，则由切比雪夫不等式
____)|(|≥<-σμ3X P ；
14．随机变量序列 n X X X ,,21独立同分布,且
2σμ==)(,)(i i X D X E >0
2,1=i ,则对任意实数,x ________}{lim =≤-∑=∞
→x n n X P n
i i n σ
μ
1
二、计算与证明：
1．设任意相继两天中，雨天转晴天的概率为3
1
，晴天转雨天的概率
为2
1
，任一天晴或雨是互为逆事件，以0表示晴天状态，以1表示雨天状态，n X 表示第n 天的状态（0或1）。

（1） 写出马氏链},{1≥n X n 的一步转移概率矩阵；
（2） 在5月1日为晴天的条件下，5月3日为晴天；5月5日为雨
天的概率各是多少？； 解：}1,0{=I
，
(1)⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=313
1
212
1)1(P
(2) ⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1811187127125)2(P , 125)2()0|0(0013====p X X P
⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡=648389648259432259432173)4(P ,
432259)4()0|0(0115====p X X P 2．设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=3/23/103/203/103/23/1P ，证明
此链具有遍历性，并求其平稳分布。

解：⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛==9/69/29/19/49/49/19/49/29/3)1()2(2
P P
由于)2(P 中不含有零元，故此链具有遍历性。

解方程组P ππ=和
1=∑i
π
，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧
=+++=+=+=1
323231323131321
3
233
12
2
11ππππππππππππ 解得74,72,71321===πππ，故平稳分布为)7
4
,72,71(=π。

3．将2个红球4个白球任意地放入甲、乙两个盒子中，每个盒子中放3个，现从每个盒子中各取一球，交换后放回盒中，以)(n X 表示经过n 次交换后甲盒子中的红球数，则}0),({≥n n X 是一齐次马尔可
夫链，试求：（1）求初始分布；（2）求一步转移概率矩阵；（3）证明
}0),({≥n n X 是遍历链。

解：(1) }2,1,0{=I
5
1
)0(363
40=
==C C X P ,
53
)1(3
6
12240===C C C X P ,
51)2(3
62
2140===C C C X P , 故初始分布)5
1
,53,51(0(=p 。

(2) ⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=3/13/209/29/59/203/23/1)1(P
(3)
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==27727
1627
48116814981162742716277
)1()2(2P P , 由于)2(P 中不含有零元，故此链具有遍历性。

4．设t B t A t X 00sin cos )(ω+ω=，0ω是常数，A 与B 为相互独立的随机变量，且)1,0(~N A ，)1,0(~N B
（1）证明)(t X 是平稳过程； （2）证明)(t X 均值具有各态历经性； （3） 求)(t X 的平均功率。

解：(1) 10==DA EA 10
==DB EB
1)(1
)(2222=+==+=EB DB EB EA DA EA
A 与
B 相互独立，0))(()(==EB EA AB E
)
(0sin cos )sin ()cos ()(0000常数=+=+=tEB tEA t B E t A E t EX ϖϖϖϖ
有关）
（只与ττϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖϖτϖτϖϖϖτ00000200200000020020000000020020000cos )(sin sin )(cos cos )(sin sin )(cos cos )()](cos sin )(sin [cos )(sin sin )(cos cos )](cos sin [)](sin cos [)](sin sin [)](cos cos [)]}(sin )(cos ][sin cos {[)]
()([=+++=+++=+++++++=+++++++=++++=+t t t t EB t t EA t t AB E t t t t EB t t EA t t t t AB E t t AB E t t B E t t A E t B t A t B t A E t X t X E
故)(t X 是平稳过程
(2))(0sin cos 21
lim )(00t EX tdt B t A T
t X T
T
T ==+>=<⎰
-+∞→ϖϖ
故)(t X 均值具有各态历经性
(3)1)0(2==ψX X R
5.随机过程t Y t X t Z cos sin )(+=，其中Y X ,为独立同分布的随机变量，
它们的分布律为：
（1） 证明)(t Z 为平稳过程；（2）证明)(t Z 的均值具有各态历经性. 解：(1) 20
==DX EX
20==DY EY
X 与Y 相互独立，0))(()(==EY EX XY E
)
(0cos sin )cos ()sin ()(常数=+=+=tEY tEX t Y E t X E t EZ
有关）
（只与τττττcos 2)]}cos()sin(][cos sin {[)]
()([=++++=+t Y t X t Y t X E t Z t Z E 故)(t Z 是平稳过程
(2) )(02sin 2lim cos sin 21lim )(t EZ T
T
Y tdt
Y t X T t Z T T
T
T ===+>=<+∞→-+∞→⎰ 故)(t Z 均值具有各态历经性
6．设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ππ+=，其中A 与B 独立且都是
均值为零，方差为2σ的正态随机变量，求（1）)1(X 和)4
1
(X 的概率
密度；（2）问)(t X 是否是平稳过程？解：(1) ),0(~cos )1(2
σπN A A X -== 2
2
221)(σ
σ
πx e x f -=
),0(~2)(4sin 4cos )41(2σπ
πN B A B A X +=+=
2
2221)(σσ
πx e
x f -=
(2))(0)(常数=t EX
)(cos )()(2有关只与τπτστ=+t X t EX
故)(t X 是平稳过程
7．设)cos()(Θπ+=t A t X ，A 为随机变量，具有瑞利分布，其密度
函数为⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=-0
004
8
2
x x e x x f x
)(，Θ是),(π20上服从均匀分布与A 相互
独立的随机变量，问)(t X 是否是平稳过程？解： )2,0(~πU Θ
其密度函数为
⎪⎩⎪⎨⎧∈=其它
)2,0(21
)(ππx x f
)(021
)
cos()cos()(20常数=+⋅=Θ+⋅=⎰θπ
θπππ
d t EA t E EA t EX 有关）
（只与τπτπτπππτππτcos 4))cos(()cos()])cos(()cos([)]
()([2=Θ++Θ+⋅=Θ++⋅Θ+=+t t E EA t A t A E t X t X E
80
8)
8
(80
4
8
2
8
8
28
28
2
2
22
222=∞
+-=--∞+-=-==--∞
+--∞
+-∞
+⎰
⎰⎰
x x x x x e
x d e
e x de
x dx e x x EA 其中
πτππτπθπτθπτππθπθπτπθππτππππ
cos 2
1
2cos 41
)]cos()22[cos(2
12121
)cos()cos()
)cos(()cos(2020=⋅=-+++=⋅+++=Θ++Θ+⎰⎰d t d t t t t E
8．设)(t X 是平稳过程，令)()()(a t X a t X t Y --+=，a 为常数，试证：
（1）)()()()(a R a R R R X X X Y 222--+-=ττττ； （2）)(sin )()(ωωωa S S X Y 2
4=。

解：)]()([)
(ττ+=t Y t Y E R Y
)
()2()2()()]()([)]()([)]
()([)]()([)]}()()][()({[ττττττττττX X X X R a R a R R a t X a t X E a t X a t X E a t X a t X E a t X a t X E a t X a t X a t X a t X E ++---=-+-+++---++-+++=-+-++--+= )2()2()(2a R a R R X X X --+-=τττ
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word. τ
τττττττττϖϖτϖτϖτϖτd e a R d e a R d e
R d e a R a R R S i X i X i X i X X X Y -∞
+∞--∞+∞--∞
+∞--+∞
∞---+-=--+-=⎰⎰⎰⎰)2()2()(2)]2()2()(2[)( )()(ϖττϖτX i X S d e R =-+∞
∞
-⎰ )
()()(2)2(22)2(ϖττ
τϖϖϖϖϖτX i a u i X i a a u i X i X S e du e u R e du e u R a u d e a R ===+=+-∞
+∞---∞+∞--+∞∞-⎰⎰
⎰令
)
()()(2)2(22)2(ϖτττϖϖϖϖϖτX i a v i X i a a v i X i X S e dv e v R e dv e v R a v d e a R --∞
+∞--+-∞+∞--+∞∞-===-=-⎰⎰
⎰
令
)
(sin )(4)]
2cos(1)[(2)()2cos(2)(2)
()()(2)(222ϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖϖa S a S S a S S e e S S X X X X X i a i a X Y =-=-=+-=-所以，
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