中考数学压轴题解题策略1等腰三角形的存在性问题

中考数学压轴题解题策略（1）

等腰三角形的存在性问题解题策略

《挑战中考数学压轴题》的作者 上海 马学斌

专题攻略

如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB ＝AC ，②BA ＝BC ，③CA ＝CB 三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

例题解析

例❶ 如图1-1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 的坐标为(3, 4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标．

图1-1

【解析】分三种情况讨论等腰三角形△DOP ：①DO ＝DP ，②OD ＝OP ，③PO ＝PD ． ①当DO ＝DP 时，以D 为圆心、DO 为半径画圆，与x 轴的正半轴交于点P ，此时点D 在OP 的垂直平分线上，所以点P 的坐标为(6, 0)（如图1-2）．

②当OD ＝OP ＝5时，以O 为圆心、OD 为半径画圆，与x 轴的正半轴交于点P (5, 0) （如图1-3）．

③当PO ＝PD 时，画OD 的垂直平分线与x 轴的正半轴交于点P ，设垂足为E （如图1-4）．

在Rt △OPE 中，3cos 5OE DOP OP ∠=

=，52OE =，所以256OP =．

此时点P 的坐标为25(

,0)

6．

图1-2 图1-3 图

1-4

上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中①和②画好图就知道答案了，只需要对③进行计算．

代数法先设点P的坐标为(x, 0)，其中x＞0，然后罗列△DOP的三边长（的平方）．DO2＝52，OP2＝x2，PD2＝(x－3)2+42．

①当DO＝DP时，52＝(x－3)2+42．解得x＝6，或x＝0．

当x＝0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在△DOP．

②当OD＝OP时，52＝x2．解得x＝±5．当x＝－5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）．

③当PO＝PD时，x2＝(x－3)2+42．这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点．

代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验．

图1-5

例❷如图2-1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B 移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q两点移动的过程中，当△PQC为等腰三角形时，求t的值．

图2-1

【解析】在P、Q两点移动的过程中，△PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是∠PCQ的大小，夹∠PCQ的两条边CQ＝t，CP＝10－2t.因此△PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠C就可以了，在∠C的边上取点P或Q画圆．

图2-2 图2-3 图2-4

①如图2-2，当CP＝CQ时，t＝10－2t，解得

10

3

t

(秒

).

②如图2-2，当QP ＝QC 时，过点Q 作QM ⊥AC 于M ，则CM 152PC t

=

=-. 在Rt △QMC 中，45cos 5CM t QCM CQ t -∠=

==，解得259t =(秒).

③如图2-4，当PQ ＝PC 时，过点P 作PN ⊥BC 于N ，则CN .

在Rt △PNC 中，

142

cos 5102t CN PCN CP t ∠===-，解得8021t =(秒). 这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的∠PCQ ，使得画图简洁，计算简练．

例❸ 如图3-1，直线y ＝2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q ，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标．

图3-1

【解析】我们先用代数法解这道题．

由y ＝2x ＋2得，A (－1，0)，B (0，2)．所以OA ＝1，OB ＝2．

如图3-2，由于∠QPA ＝∠ABO ，所以OP ∶OQ ＝OB ∶OA ＝2∶1．

设点Q 的坐标为(0，m )，那么点P 的坐标为(2m ，0)．

因此AP 2＝(2m ＋1)2，AQ 2＝m 2＋1，PQ 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2．

①当AP ＝AQ 时，解方程(2m ＋1)2＝m 2＋1，得0m =或

43m =-．所以符合条件的点

P 不存在． ②当PA ＝PQ 时，解方程(2m ＋1)2＝5m 2

，得2m =±

．所以

(4P +． ③当QA ＝QP 时，解方程m 2＋1＝5m 2，得12m =±

．所以(1,0)P ．

图3-2 图3-3 图3-4

我们再用几何法验证代数法，并进行比较．如图3-3，在直线PQ 平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠QPO 的大小是不变的，因此△PQA 也符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个∠P ，点P 在点A 的右侧，暂时不画y 轴（如图3-4）．

①如果AP ＝AQ ，以A 为圆心、AP 为半径画圆，得到点Q （如图3-5）．因为点Q 在y 轴上，于是“奇迹”出现了，点A (－1, 0)怎么可以在y 轴的右侧呢？

图3-5 图3-6

②当PA ＝PQ 时，以P 为圆心、PA 为半径画圆，得到点Q ，再过点Q 画y 轴．此时由

21m +=，解得2m =+，所以(4P +（如图3-6）．请问代数法解得的

点(4P -在哪里？看看图3-7就明白了．

③当QA ＝QP 时，点Q 在AP 的垂直平分线上，由于A (－1, 0)，所以P (1, 0) （如图3-8）．

我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便．

图3-7 图3-8

例❹ 如图4-1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0, m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点

D ．当△APD 是等腰三角形时，求m 的值．

图4-1

【解析】点P (0, m )在运动的过程中，△APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解．

因为PC //DB ，M 是BC 的中点，所以BD ＝CP ＝2－m ．所以D (2, 4－m )．

于是我们可以罗列出△APD 的三边长（的平方）：

22(4)AD m =-，224AP m =+，2222(42)PD m =+-．

①当AP ＝AD 时，22(4)4m m -=+．解得32m =（如图4-2）．