金融数学_第二章_均值-方差资产选择模型

E ( Rp )
它们是从点
[0,
E ( R1 ) E ( R2 ) ( R2 ) E ( R2 )] 向右发射，斜率为 ( R1 ) ( R2 )
的两条射线。
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E ( R1 ) E ( R2 ) [ ( Rp ) ( R2 )] E ( R2 ) ( R1 ) ( R2 )
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第二章 均值方差资产选择模型

分散投资
分散投资就是投资者将资金有选择的投放到很多彼此间相关程度很低 的高质量（收益高、风险小）的证券上的一种投资方式。
( RP ) xi x j ij i j
2 i 1 j 1
N
N
x x
i 1 j 1 i j i
N
N
解得
1 X 1i 2
2(i 1i)1
1
进而
i 1 1 X i 2 i 1i
i 1i
2
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第二章 均值方差资产选择模型
1 i 1 1 由 X i 2 i 1i
2 ( Rp ) X X
N
N
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第二章 均值方差资产选择模型
E( RP ) 0.5 10% 0.5 8% 9%
( RP ) [0.5 15% 0.5 12% 2 0.5 0.5 0.4 15% 12%] 11.3%
2 2 2
1 2
投资组合的期望收益率介于两种证券之间，但是风险却比两种证券都要低。 这个简单的例子也说明了“不要将所有的鸡蛋放入同一个篮子”的原因。
60000 xB 1.2 50000
xC 20000 0.4 50000
于是该投资的组合向量为
X (0.6,1.2, 0.4)
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第二章 均值方差资产选择模型

证券组合收益率期望与方差
E( RP ) x1E( R1 ) x2 E(R2 ) xN E(RN )
( X AX ) N N ( ak a j xk x j ) 2aii xi (aij a ji )x j xi xi j 1 k 1 i j

即
d ( X AX ) ( A A) X dX
d ( X AX ) 2 AX dX
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第二章 均值方差资产选择模型
最优组合系数的建模和求解
2 min ( R p ) X X iX 1 s.t. 这是一个条件极值问题，可以用Lagrange方法来求解。构造Lagrange函数：
L( X ) X X (iX 1)
可以得到
L( X ) [ X X ] (iX 1) 2 X i 0 X X X L( X ) iX 1 0
[ ( R1 ) (1 ) ( R2 )]2
{
即
E ( Rp ) E ( R2 ) E ( R1 ) E ( R2 )
[ ( R1 ) ( R2 )] ( R2 )}2
[ ( R1 ) ( R2 )] ( R2 )
( Rp )

E ( R1 ) E ( R2 ) ( R1 ) ( R2 )
第二章 均值方差资产选择模型
E ( Rp )
和
E ( R1 ) E ( R2 ) [ ( Rp ) ( R2 )] E ( R2 ) ( R1 ) ( R2 )
E ( R1 ) E ( R2 ) [ ( Rp ) ( R2 )] E ( R2 ) ( R1 ) ( R2 )
证明略。 值得注意的是，均值-方差准则的基本思想是以投资收益率的方差来作为
投资风险的度量，这正是大多数主流经济学家所认同的,因此在本书后续的章
节中，均采用这种度量方法.
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第二章 均值方差资产选择模型
第二节 组合投资理论概述
组合向量
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第二章 均值方差资产选择模型
解
xA
30000 0.6 50000
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第二章 均值方差资产选择模型

市场证券组合
市场证券组合(Market Portfolio)的概念是Fama于1968年提出来的，它是 指包括市场上每一种证券的总的组合，其中每种证券的组合权重等于该种证券 在市场交易中尚未清算部分的价值在市场上全部证券的总价值所占的比例。从 理论上讲，市场证券组合是风险性证券的理想证券组合，每个“具有高度理性” 的投资者都按一定的比例持有它。 如假设股票市场只有A和B两种股票构成，且股票A的均衡市场价格为400万 美元，股票B的均衡市场价格为600万美元，则显然任何“具有高度理性”的投资者 都会按照 2：3的比例投资A股和B股。 市场证券组合是一个理论上的抽象概念，现实生活中并不存在。通常的做 法是选取一些覆盖面较大的股票价格指数来代表它。如美国标准普尔500股指数 和道琼斯价格指数等。
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第二章 均值方差资产选择模型
组合线是一条如图所示的射线
O
B
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第二章 均值方差资产选择模型

两种以上证券的投资组合线
E( RP ) x1E( R1 ) x2 E( R2 ) (1 x1 x2 ) E( R3 )
2 (RP ) x12 2 (R1 ) x22 2 ( R2 ) (1 x1 x2 )2 32 ( R3 )
2 (RP ) E{[ X R E( X R)][ X R E( X R)]}
X E{[ R E( R)][ R E ( R)]}X
X X
xi x j ij
i 1 j 1 N N
xi x j ij i j
i 1 j 1
相应的收益率期望和方差分别为
E( RP ) i (1 ) E( RA )
( RP ) (1 ) ( RA )
即

( Rp )
( RA )
1
代入期望收益率的等式中，得到该投资组合线为
E ( RP ) i
E ( RA ) i ( Rp ) ( RA )
即
( RP )
1 N
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第二章 均值方差资产选择模型
理论上，只要证券的种类数非常大，投资组合的风险就可以完全消除。然而， 事实并非如此。美国学者Home根据多人的实验，绘制了一条反映投资组合风险与 其包含证券种类关系的曲线，如图所示。
组合的风险＝系统风险＋非系统风险 随着证券种类数的增多非系统性风险可以逐渐减少，甚至是消除，但是系 统风险却不可消除。 人们多次试验的结果一般认为：一个较好的组合至少应包含10种证券，以15种为好。
以下来看几种特殊情况
( RP ) [ 2 2 ( R1 ) (1 )2 2 ( R2 )]

E ( Rp ) E ( R2 ) E ( R1 ) E ( R2 )
1 2
投资组合为双曲线。
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第二章 均值方差资产选择模型
2 (RP ) 2 2 (R1 ) (1 )2 2 (R2 ) 2 (1 ) (R1 ) (R2 )
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第二章 均值方差资产选择模型
第三节
背景知识
最优组合系数
问题：在不考虑收益的情况下要求投资组合的风险最小，即具有最小 风险的组合(最优组合)的组合向量求解问题。
(aX ) N ( a j x j ) ai xi xi j 1
即
(aX ) ( X a) a xi xi
( i
即
1
i
1
) ( i i
1
1 1i i ) 1 i (i 1i)2
i

i 1i
1
2 ( Rp )
i 1i
1
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第二章 均值方差资产选择模型
解 证券组合收益率的协方差矩阵为
(0.15)2 0.15 0.12 0.4 0.0225 0.0072 0.15 0.12 0.4 2 0.0072 0.0144 (0.12)
j
=
[ xi i ]2
i 1
N
即
( RP ) xi i
i 1
N
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 RP R1 R2 RN ( RP ) 2 ( R1 ) 2 ( R2 ) 2 ( RN ) N N N N N N N
2x1 x212 2x1 (1 x1 x2 )13 2x2 (1 x1 x3 ) 23
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第二章 均值方差资产选择模型
x2 E ( R3 ) r * E ( R1 ) r * x1 E ( R3 ) E ( R2 ) E ( R3 ) E ( R2 )
r uF

) (
r uG

) G (r )
于是有

r

F (t )dt G(t )dt

r
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第二章 均值方差资产选择模型
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第二章 均值方差资产选择模型



u
G(t ) F (t )]dt u G(2u x) F (2u x)]dx
G(2u t ) F (2u t )]dt
u
{[G(t ) G(2u t )] [ F (t ) F (2u t )]}dt 0

u
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第二章 均值方差资产选择模型
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第二章 均值方差资产选择模型
M-LPV则与TSD准则的等价关系

定理2.2 对于绝对风险厌恶递减型投资者而言， M-LPV准则与TSD准则等价。
E ( Rp ) E ( R2 ) E ( R1 ) E ( R2 )
进一步的，在 ( R) E ( R) 坐标系下，即为直线
E ( Rp )
E ( R1 ) E ( R2 ) [ ( Rp ) ( R2 )] E ( R2 ) ( R1 ) ( R2 )

M-V准则
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第二章 均值方差资产选择模型

M-LPV准则
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第二章 均值方差资产选择模型
均值-方差准则与随机占优准则的关系
在某些条件下期望-方差准则与随机占优准则是等价的。

M-V准则与SSD准则的等价关系
证明
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第二章 均值方差资产选择模型
(
即
r uF

) (
r uG

)
F (r ) (
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第二章 均值方差资产选择模型
投资组合线

两证券的投资组合线
E( RP ) E( R1 ) (1 ) E( R2 )
( RP ) [ ( R1 ) (1 ) ( R2 ) 2 (1 ) ( R1 ) ( R2 )]
第二章 均值-方差资产选择模型
均值-方差准则
组合投资理论概述
最优组合系数 最小方差集
1
第二章 均值方差资产选择模型
第一节

均值-方差准则
均值-方差准则
假定投资者均为风险厌恶型,在具有相同的期望收益率的诸多投资机会中，
总是选择收益率方差最小的投资机会；或者在具有相同的收益率方差的诸种
投资机会中，总是选择期望收益率最大的投资机会。
2 2 2 2
源自文库
1 2
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第二章 均值方差资产选择模型
可以得到

E ( Rp ) E ( R2 ) E ( R1 ) E ( R2 )
2 (RP ) 2 2 (R1 ) (1 )2 2 (R2 ) 2 (1 ) (R1 ) (R2 )
E ( Rp )
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第二章 均值方差资产选择模型
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第二章 均值方差资产选择模型
由图，至少可以得到两点结论： （1）投资组合线均通过A和B两点，且
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第二章 均值方差资产选择模型
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第二章 均值方差资产选择模型

含债券和股票的两证券投资组合线
此时，证券组合的收益率为
RP i (1 ) RA