量子统计复习题
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1. 证明量子正则系综的“等几率分布”是最可几分布。
2. 证明正则分布ˆˆˆ()
H H
e
Tr e ββρ
--=的熵最大。
3. 证明巨正则系综分布ˆˆ()ˆˆ()ˆ()
H
N H
N e
Tr e βμβμρ
----=的熵最大。
4. 证明等温等压系综ˆˆ()ˆˆ()ˆ()
H
pV H
pV e
Tr e ββρ
-+-+=的熵最大。
5. 证明:1)箱中自由粒子到达箱中任一位置的几率相等;2)箱中自由粒子波包的空间范围量级
为3)箱中自由粒子的平均能量为
32
B k T 。@P52
6. 利用量子正则系综理论,求磁场B 中自由电子的平均自旋。@P57
7. 证明正则系综的密度矩阵满足微分方程ˆˆˆH
ρρβ
∂-
=∂ @P58 8. 证明相对于谐振子,非谐振子对外做功的能力变小了。
9. 对一线性谐振子 222ˆ1H 22
p m q m ω=-+,利用量子正则系综理论证明:@P52
(1)
12
V T
H ==
(维里定理)
已知:
2
2
[()tanh
()coth(
)]
42
2
q m q q q q H
e
q ωωβωββ''-++--'=
(2) 高温极限
1
2
ωβ<< ,
112
2
B V
T
H k T
==
=
(已知:1x
e x =++ )
(3) 低温极限
1
2
ωβ>> ,2
1
()
2
2(,)(
)m q q m q q e
ωω
ρπ'-
+'=
,对应n=0的基态极限情况。
10. 对正则系综,证明下列关系 (1) ,,()[
()]V N B V N F S k T lnQ T
T
∂∂=-=∂∂
(2) ,,(
)(
)T N B N T
F S k T T lnQ V
V
∂∂
=-=∂∂
(3) ,,()(
)V T B V T F k T lnQ N
N
μ∂∂=-=-∂∂
(4) ,ˆ[
]N V
U H
lnQ β
∂=
=-∂
(5) 22
,,2
()(
)[
]V
N V B N V
S lnQ C T k T
ββ
∂∂==∂∂
(6) S =(E -F)β
11. 证明体积为0V 的孤立系中的压强涨落为
2
2
1P P
N
∆=
12. 证明正则系综中能量的涨落为22B V U k T C ∆=,
对理想气体,设263=10N m -?
=
13. 证明正则系综中压强的相对涨落为,
2
22
2
2
ˆ[
]B p
k T p H
p
p
V
V
δ∂∂=+
∂∂
14. 何为能斯特定理(热力学第三定律),试证明之。 15. 证明经典刘维方程{,}0H t
ρρ∂+=∂
16. 证明量子刘维方程
ˆˆˆ[,]0H t ρ
ρ∂+=∂,其中:1ˆˆˆˆˆˆ[,]()H H H i ρρρ=-
17. 证明密度矩阵定义的平均值在表象变换下不变,即, r()r()T b T b ρ
ρ''= 18. 证明系综的熵可写为i i S ln ρρ=-∑ 19.算符n n ψψ的平均值是什么?
20. 写出沿Z 方向传播的线偏振单色光的混合态密度矩阵。
21. 设体积为V 的立方箱中有N 个不可分辨的自由粒子,其在坐标表象中的正则系综密度矩阵对角
元为
111131,...,,...,[()...()]!H N N P N N N
P
r r e r r f pr r f pr r N βδλ
-=
--∑
,
其中()
22
r
f r e πλ
-= ,λ
=
22. 已知玻色和费米气体的巨配分函数为
1
=(1-z )
e
βε
ε
--Ξ∏ (B.E), 1
=(1+z )
e
βε
ε
--Ξ∏ (F.D),
其中z e
βμ
=,求两种气体的单粒子态的平均占据数。
23. 证明体积为V 的箱中自由粒子的能级密度是32()(2V
m h
πρε=;在低温极限,电子
气的磁化率与温度无关。
24. 以直角坐标系的定轴转动为例,证明坐标系的旋转是幺正变换1A A +-=。证明在坐标系做定轴转动时,对矢量R =(x, y )有: ; ''≠=R R R R ,即证明:
2222
x x x A x y x y y y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=≠+=+ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,但, 25.解释德哈斯-范阿尔芬效应的物理图像