量子统计复习题

1. 证明量子正则系综的“等几率分布”是最可几分布。

2. 证明正则分布ˆˆˆ()

H H

e

Tr e ββρ

--=的熵最大。

3. 证明巨正则系综分布ˆˆ()ˆˆ()ˆ()

H

N H

N e

Tr e βμβμρ

----=的熵最大。

4. 证明等温等压系综ˆˆ()ˆˆ()ˆ()

H

pV H

pV e

Tr e ββρ

-+-+=的熵最大。

5. 证明：1）箱中自由粒子到达箱中任一位置的几率相等；2）箱中自由粒子波包的空间范围量级

为3）箱中自由粒子的平均能量为

32

B k T 。@P52

6. 利用量子正则系综理论，求磁场B 中自由电子的平均自旋。@P57

7. 证明正则系综的密度矩阵满足微分方程ˆˆˆH

ρρβ

∂-

=∂ @P58 8. 证明相对于谐振子，非谐振子对外做功的能力变小了。

9. 对一线性谐振子 222ˆ1H 22

p m q m ω=-+，利用量子正则系综理论证明：@P52

(1)

12

V T

H ==

（维里定理）

已知：

2

2

[()tanh

()coth(

)]

42

2

q m q q q q H

e

q ωωβωββ''-++--'=

(2) 高温极限

1

2

ωβ<< ，

112

2

B V

T

H k T

==

=

(已知:1x

e x =++ )

(3) 低温极限

1

2

ωβ>> ，2

1

()

2

2(,)(

)m q q m q q e

ωω

ρπ'-

+'=

，对应n=0的基态极限情况。

10. 对正则系综，证明下列关系 (1) ,,()[

()]V N B V N F S k T lnQ T

T

∂∂=-=∂∂

(2) ,,(

)(

)T N B N T

F S k T T lnQ V

V

∂∂

=-=∂∂

(3) ,,()(

)V T B V T F k T lnQ N

N

μ∂∂=-=-∂∂

(4) ,ˆ[

]N V

U H

lnQ β

∂=

=-∂

(5) 22

,,2

()(

)[

]V

N V B N V

S lnQ C T k T

ββ

∂∂==∂∂

(6) S =(E -F)β

11. 证明体积为0V 的孤立系中的压强涨落为

2

2

1P P

N

∆=

12. 证明正则系综中能量的涨落为22B V U k T C ∆=，

对理想气体，设263=10N m -?

=

13. 证明正则系综中压强的相对涨落为，

2

22

2

2

ˆ[

]B p

k T p H

p

p

V

V

δ∂∂=+

∂∂

14. 何为能斯特定理（热力学第三定律），试证明之。 15. 证明经典刘维方程{,}0H t

ρρ∂+=∂

16. 证明量子刘维方程

ˆˆˆ[,]0H t ρ

ρ∂+=∂，其中：1ˆˆˆˆˆˆ[,]()H H H i ρρρ=-

17. 证明密度矩阵定义的平均值在表象变换下不变，即， r()r()T b T b ρ

ρ''= 18. 证明系综的熵可写为i i S ln ρρ=-∑ 19.算符n n ψψ的平均值是什么？

20. 写出沿Z 方向传播的线偏振单色光的混合态密度矩阵。

21. 设体积为V 的立方箱中有N 个不可分辨的自由粒子，其在坐标表象中的正则系综密度矩阵对角

元为

111131,...,,...,[()...()]!H N N P N N N

P

r r e r r f pr r f pr r N βδλ

-=

--∑

，

其中()

22

r

f r e πλ

-= ，λ

=

22. 已知玻色和费米气体的巨配分函数为

1

=(1-z )

e

βε

ε

--Ξ∏ (B.E)， 1

=(1+z )

e

βε

ε

--Ξ∏ (F.D)，

其中z e

βμ

=，求两种气体的单粒子态的平均占据数。

23. 证明体积为V 的箱中自由粒子的能级密度是32()(2V

m h

πρε=；在低温极限，电子

气的磁化率与温度无关。

24. 以直角坐标系的定轴转动为例，证明坐标系的旋转是幺正变换1A A +-=。证明在坐标系做定轴转动时，对矢量R =（x, y ）有： ; ''≠=R R R R ，即证明：

2222

x x x A x y x y y y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=≠+=+ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，但， 25．解释德哈斯-范阿尔芬效应的物理图像