初中数学专题---------直线等分 面积问题

初中数学专题讲座---------直线等分面积问题
一、直线等分常见的一些特殊图形
二、直线等分三角形
（1）不受限制的等分
（2）过一边上一点等分
三、直线等分梯形
（1）不受限制的等分
（2）过一腰上一点等分
四、等分基本图形
练 习：
1、作图题，请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分，请用一条直线把阴影部分的面积两等分．（保留作图痕迹）
2、在一个矩形中，把此矩形面积二等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过此矩形的 点（一个矩形只画一条直线，不写画法）．
3、轴对称图形的对称轴将图形面积二等分，中心对称图形过对称中心的直线将图形面积二等分．请用学过的知识将下图所示的图形面积分成相等的两部分．
4、在一个矩形中，把此矩形面积两等分的直线最多有 条，这些直线都必须经过该矩形 ．
5、在复习“四边形”时，刘老师出了这样一道题：
如图1，已知四边形ABCD、BEFG都是矩形，点G、H分别在AB、CD上，点
B、C、E在同一条直线上．
（1）当S矩形AGHD=S矩形CEFH时，试画一条直线将整个图形面积2等分．（不写画法）
（2）①当S矩形AGHD＜S矩形CEFH时，如图3；②当S矩形AGHD＞S矩形CEFH时，如图4．画一条直线将整个图形面积2等分，在（1）的基础
上，应该如何画图呢？（不写画法，保留作图痕迹或简要的文字说明）（3）小娟和小宇两位同学的画法是图5和图6：刘老师看过之后说这两
个图形实质上体现的是一种画法，请你用简要的文字说明两个图形画法
的共同点：
（把原图形分割或构造成两个矩形，再过这两个矩形对角线的交点画一
条直线）．
6、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式
7、如图所示，▱ABCD内有一圆，请你画一条直线，同时将圆和平行四边形的周长二等分．（保留画图痕迹，并简要说出画图步骤）
8、提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（AB=BC，且BC≠AC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”．尝试解决：
（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．
（2）小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C画了一条直线CD交AB于点D．你觉得小华会成功吗如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB=BC=5cm，AC=6cm，请你找出△ABC的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．
9、提出问题：如图，在“儿童节”前夕，小明和小华分别获得一块分布均匀且形状为等腰梯形和直角梯形的蛋糕（AD∥BC），在蛋糕的边缘
均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将自己的这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）．
背景介绍：这条分割直线既平分了梯形的面积，又平分了梯形的周长，我们称这条线为梯形的“等分积周线”．
尝试解决：（1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出．请你帮小明在图1中作出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕．（2）小华觉得小明的方法很好，所以模仿着在自己的蛋糕（图2）中画了一条直线EF分别交AD、BC于点E、F．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由．
（3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．若图2中AD∥BC，∠A=90°，AD＜BC，AB=4cm，BC=6cm，CD=5cm．请你找出梯形ABCD的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法．
10、阅读下面问题的解决过程：
问题：已知△ABC中，P为BC边上一定点，过点P作一直线，使其等分
△ABC的面积．
解决：情形1：如图①，若点P恰为BC的中点，作直线AP即可．情形2：如图②，若点P不是BC的中点，则取BC的中点D，连接AP，过点D作DE∥AP交AC于E，作直线PE，直线PE即为所求直线．
问题解决：如图③，已知四边形ABCD，过点B作一直线（不必写作法），使其等分四边形ABCD的面积，并证明．
11、如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为 等分．
12、用一条直线把下图分成面积相等的两部分．
13、用三种不同的方法把▱ABCD的面积四等分，并简要说明分法．
12题图
14、、如图，所示，张家兄弟要平分这块地，请你用一条直线把它分成面积相等的两部分．（至少有两种画法）
15、抛物线y=x2， 和直线x=a（a＞0）分别交于A、B两点，已知∠AOB=90°．
（1）求过原点O，把△AOB面积两等分的直线解析式；
（2）为使直线与线段AB相交，那么b值应是怎样的范围才适合．
16、如图长为2的线段PQ在x的正半轴上，从P、Q作x轴的垂线与抛物线y=x2交于点、Q′．（1）已知P的坐标为（k，0），求直线OP′的函数解析式；
（2）若直线OP′把梯形P′PQQ′的面积二等分，求k的值．
17、一条直线过△ABC的内心，且平分三角形的周长，那么该直线分成的两个图形的面积比为（ ）
A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1
18、某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：
（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；
（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；
…
现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S 表示面积）
问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知=S△ABC，请证明．
问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD，如图2，Q1，Q2三等分边DC．请探究与S四边形ABCD之间的数量关系．
问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC．若S四边形ABCD=1，求．
问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB，Q1，Q2，Q3四等分边DC，
P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．
19、阅读下面材料，再回答问题：
有一些几何图形可以被某条直线分成面积相等的两部分，我们将“把一个几何图形分成面积相等的两部分的直线叫做该图形的二分线”，如：圆的直径所在的直线是圆的“二分线”，正方形的对角线所在的直线是正方形的“二分线”．
解决下列问题：
（1）菱形的“二分线”可以是
（2）三角形的“二分线”可以是
（3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形ABCD的“二分线”，并说明你的画法．
20、用一条直线将一个直角梯形分成面积相等的两部分，请你在下面的图中分别画出两种不同的分割图形．
21、下图所示是一块木板的示意图，能不能用一条直线把这块木板分成面积相等的两部分．（3种画法）
22、如图所示的图案是一个轴对称图形，直线l是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积是（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
23、如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一条直线
将它分成面积相等的两部分．（在原图上作出）．
24、九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明：这九条直线中至少有三条经过同一点．
抽屉原理．专题：证明题．分析：首先根据抽屉定理证明9条直线中的
每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形中至少有5条直
线穿过一对边，然后再根据抽屉原理证明至少必有三点经过同一点．解
答：证明：按抽屉原理，9条直线中的每一条直线都把正方形分成面积
比为2：3的两个四边形，
则至少有5条直线穿过一对边．
又2：3≠1：1，
根据“梯形的面积等于中位线长乘以高”，
可知这5条直线必过正方形的一条对边中点连线上的两定点．
故若5个点不全经过一点，则必经过这条直线上的两点，
再据抽屉原理，至少必有三点经过同一点．
25、一条直线平行于直线y=2x-1，且与两坐标轴围成的三角形面积是
4，则直线的解析式是
A．y=2x+4 B．y=2x-4 C．y=2x±4 D．y=x+2 （ ）
26、把一个圆心为点O，半径为r的圆的面积四等分，请你尽可能多地设
想各种分割方法．如图，如果圆心也是点O的三个圆把大圆O的面积四等分．求这三个圆的半径OB、OC、OD的长．
27、已知直线AB与x，y轴分别交于A、B（如图），AB=5，OA=3，
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）如果P是线段AB上的一个动点（不运动到A，B），过P作x轴的垂
线，垂足是M，连接PO，设OM=x，图中哪些量可以表示成x的函数？试写
出5个不同的量关于x的函数关系式．（这里的量是指图中某些线段的长度或某些几何图形的面积等）
28、（1）如图1所示，已知△ABC中，D为BC的中点，请写出图1中，面积相等的三角形： ，理由是
（2）如图2所示，已知：平行四边形A′ABC，D为BC中点，请你在图中过D作一条线段将平行四边形A′ABC的面积平分，平分平行四边形A
′ABC的方法很多，一般地过
画直线总能将平行四边形A′ABC的面积平分．
（3）如图3所示，已知：梯形ABCA′中，AA′∥BC，D为BC中点，请你在图3中过D作一条线段将梯形的面积等分．
（4）如图4所示，某承包人要在自己梯形ABCD（AD∥BC）区域内种两种等面积的作物，并在河岸AD与公路BC间挖一条水渠EF，EF左右两侧分别种植了玉米、小麦，为了提高效益，要求EF最短．
①请你画出相应的图形．
②说明方案设计的理由．
19、如图，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y 轴交于点D，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值．。