对一道高考创新题的探究
高考数学创新题思维方法分析
高考数学创新题思维方法分析高考数学创新题：解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。
即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。
因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。
在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。
在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。
高考数学创新题：新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。
近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。
比如2021年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。
在大题具体解题中笔者会详细叙述。
高考数学创新题：新名词对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。
此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。
新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路北京海淀区2021届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路。
比如2021年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。
高考数学创新题：知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。
浅谈高考数学创新问题应对策略
撷英篇一、问题特点统观近几年数学高考试题，创新题频繁出现。
主要以新运算、新概念和新背景形式给出命题。
要求学生不仅有扎实的基础知识、基本方法，还要有较强的阅读能力、分析转化能力、逻辑推理能力、抽象概括能力和良好的数学综合素养。
由于试题新颖对每个考生公平、公正有利于选拔优秀人才。
二、常见问题1.新运算：所指通过数学中符号语言、图形语音、文字语言给出新的运算模型，要求考生根据模型结合所学知识点、方法和数学思想去探究，求解结论。
例1.2015浙江（理6）设A ，B 是有限集，定义d （A ，B ）=card （A ∪B ）-card （A ∩B ），其中card （A ）表示有限集A 中的元素个数命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d （A ，B ）>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d （A ，C ）≤d （A ，B ）+d （B ，C ），A.命题①和命题②都成立B.命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D.命题①不成立，命题②成立试题解析：命题①显然正确，通过右图可知a （A ，C ）表示的区域不大于d （A ，B ）+d （B ，C ）的区域，所以命题②也正确，故选A例2.2013湖北（理14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。
如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为n（n +1）2=12n 2+12n 。
记第n 个k 边形数为N （n ，k ）（k ≥3），以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N （n ，3）=12n 2+12n 正方形数N （n ，4）=n 2五边形数N （n ，5）=32n 2+12n 六边形数N （n ，6）=2n 2-n……可以推测N （n ，k ）的表达式，由此计算N （10，24）=。
试题解析：观察n 2和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故N （n ，24）=11n 2-10n ，∴N （10，24）=1000点评：从上述例题可以得出此类问题的研究。
高考创新型试题分析
Ｂ ２ １ （一 ， ）
（） １ 设函数 ）＝ｌ Ｉ （ ｎ ｘ＋ －ｌ ＞１ ， 中 ｂ为实 ）其
＂－
数。
（） ｉ求证 ： 函数 ｆ ） （ 具有 性质 Ｐ（ ） ｉ 求 函数 ６ ；（ｉ ）
厂 的单调 区间 。 － ） （ 。
） 。
（ ） 知 函 数 ｇ（ 具 有 性 质 Ｐ（ ） ２已 ） ２ 。给 定 ， ２ １ ＋∞） ＜ ２设 ｍ为实数 ， １ １ ， Ｅ（ ，ｌ ， ＝ ＋（ 一ｍ）２ ｘ， 卢＝（ １一ｍ） ｌ ２且 ＞１ ＞１ 若 Ｉ（ ｘ ＋， ， ， ， ｇ ）一 （ Ｉ ｇ 卢）
解析 ： 根据 运 算 符 号 Ｏ 的定 义 知 ｏ（ 一２）＝ （ ２ ２ 一 ）＋ ＋（ ２ ＋ 一２＜ 解 得 一２＜ ＜ 一 ）＝ ０，
求 。近几年来 ， 在全 国及各 省市 的高 考数 学试卷 中出 １ 所 以所求 的实数 的取值范 围为 （一 ， ）故 选 Ｂ ， ２１， 。 现了一些创新型试题 ， 这些试题具有立意 的鲜 明性 、 背 点评 ： 上面两题在实数 运算 的基 础上 分别定 义 了
② 高 探 ｇ编周． 碍 究 ｚｙ１芽 ｓ ＠３ 责ｙ６ ｚ 瑜 ｙ ｃ ｚ ｃ
高 Ｏ００试 分 考 题析
。韦 莉
创新是素质教 育 的根本宗 旨， 是新课 程 改革 的 也
Ｄ （一１ ２ ． ，）
中心任务 ， 创新必将 给未来 的高考 注入 新 的活力 。因
此， 设计 创新型试题是选 拔高 素质创新 人 才 的必 然要
景的深刻性 、 情境 的新颖性 、 问的灵 活性等特点 。认 新 的运算符号 ， 设 要求考 生在 准确把握 信息本 质 的基础
真研究创新型试题 的特点 ， 以揣摩命 题 者 的设 计 意 上 ， 可 通过观察 、 阅读 、 纳、 索进 行迁 移 ， 归 探 即读懂 新符
高考数学创新题解读
调配问题， 是对生活中最优化 的研 究， 需借用函数的＝ 师
构 成 的所有 集合 中 ，不含 “ 立 孤 元 ”的集合共有 —— 个 分 析 先弄 懂新 定 义 “ 立 孤 元”具备 的条件 ，再在 给定 ｓ中列 举满足 由 ３个元素构成 的真子集 ， 后对照定义进行排除筛选 ． 解析 由新定义可知，从 ｓ中 选取 ３个元素构成的集合有 ５ ， ６个 其 中不 含 “ 立 元 ” 的集 合 有 ： 孤 ｛，，｝ ２３ ｝｛，５ ｛，６， ，７ １ ３ ， ，， ， ４ ｝４ ，｝ ５６ ｝ ２ ｛ ４ ３， ５ ｛ ， ｛，，｝ ６ ８共有 ６个元素． ７
使 用 前 发现需 将 Ａ、Ｂ 、Ｄ 四 、Ｃ 序号 分组 组中值 频数 频率 个 维 修点 的这 批配 件分 别调 整 为 （） 睡 眠 时间 （ ） （ 数 ） 《 ｉ ｉ Ｇｉ 人 Ｆ） ４ 、４ 、５ 、６ 件， ０ ５ ４ １ 但调整 只能在 ｌ ［，５ ４５ ４ ） ． ６ Ｏ１ ．２ 相 邻维修 点之 间进行． 么要完成 那 ２ ［，６ ５５ ５ ） ． １ ０２ ０ ．０
构建相应的数学模型来解决， 主要 是 考查解决实际问题能力．
３ 直 击 知识 交汇 处 。 现 创 新 ． 再 考 试 大 纲 考查 要 求 “ 学 科 的 从
息 ；第二 ，将提取 的有 关信息进 行
分 析 与整 理 ，寻 找信 息与 相 关 的 知 识衔 接 点 ，找 到 最恰 当 方法 ．
Ａ．】 ８
）
Ｂ．】 Ｃ．】 Ｄ ．】 ７ ６ ５
整数集 的一个非空子集 ，对于 ｋ Ａ，如果 ｋ １ 一 Ａ，且 ｋ ｌ ＋ Ａ，那 么称
ｋ是 Ａ 的 一 个 “ 立 元 ” ． 定 ｓ 孤 给 ＝ ｛，，，５６７ ｝ １ ３ ，， ， ，由 ｓ的 ３个元素 ２ ４ ，８
高考数学创新题解题策略
高考数学创新题解题策略：高考数学创新题解题策略毕业论文创新推动着人类社会的不断进步，创新题在高考数学中能很好地把优秀考生和普通考生区分开来.数学创新试题相比于传统试题来说, 具有以下鲜明的特点: 背景新颖, 内涵深刻, 设问方式灵活，要求考生进行细致观察、认真分析、合理类比、准确归纳后才能实现, 它是以问题为核心, 以探究为途径、以发现为目的, 考查考生创新意识和创新能力的有效题型. 本文对高考数学创新试题的六种题型进行解析及揭秘其解题策略.1. 新型定义型试题新型定义型试题背景新颖、构思巧妙，主要通过定义一个新概念或约定一种新运算，或给定一个新模型来创设新的问题情境，要求考生在阅读理解的基础上，依据题中提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，从而顺利地解决问题，能有效地区分考生的思维品质和学习潜力.例1. 已知集合M?哿R，若实数x0满足：?坌t>0，?埚x∈M，0<x-x0A.②③ B. ①④ C. ①③ D. ①③④分析：本题新定义“聚点”，结合集合、简易逻辑及不等式知识进行综合考查，考生只需依据新的定义概念，结合绝对值不等式知识，对定义进行验证，即可解决问题.解析：对于集合①0，■，■，…，若取t=■，则不存在x∈■|n∈N，满足0<x-0<■，即不存在x∈m，使得0<x-0<t，从而0不是集合■|n∈n的聚点；集合②除去0这个实数，很明显，对任意的t，都存在x=■（实际上任意比t小的数都可以），使得0<x-x0=■■，也就是说t>■，那么取x=■，有0<x-0 例2. 对于非空集合A、B，定义运算：A?茌B={x|x∈A∪B，x?埸A∩B}，已知两个开区间M=（a，b）、P=（c，d），其中a、b、c、d满足a+b<c+d，ab=cdA （a，b）∪（c，d） B （a，c）∪（b，d）代写论文C （a，d）∪（b，c）D （c，a）∪（d，b）分析：本题以集合、不等式为背景，定义一个运算，关键对A?茌B中的元素x∈A∪B，x?埸A∩B有透彻理解，转化为学过的集合知识，进行知识迁移，已知条件中对于非空集合A、B，定义运算：A?茌B={x|x∈A∪B，x?埸A∩B}，可知M?茌P={x|x∈M∪P，x?埸M∩P}，而两个开区间M=（a，b）、P=（c，d）也可以看作两个集合M={x|a<x<b}，n={x|c<x解析：设ab=cd=t（t<0），则a<0<b，c<0<d.构造函数f（x）＝x2-（a+b）x+t，g（x）=x2-（c+d）x+t，则a、b为方程f（x）＝x2-（a+b）x+t=0的两个根，c、d为方程g（x）=x2-（c+d）x+t=0的两个根.因为f（c）=c2-（a+b）c+cd=c[（c+d）-（a+b）]<0，因为a、b为方程f（x）＝x2-（a+b）x+t=0的两个根，f（a）=f（b）=0，而f（c）<0，故由二次函数图像可知，c在（a，b）之间，所以a<c<b，而c<0<d，故a<c<d；同样可以证得：c<b<d，所以a<c<b解题策略：（1）对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号；（2）细细品味新定义的概念、法则，对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时可以寻找相近知识点，明确它们的共同点和不同点；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效的输出，其中对定义信息中的提取和化归转化是解题的关键，也是解题的难点.如果是新定义的运算、法则，直接按照运算法则计算即可；若是新定义的性质，一般就要判断性质的适用性，能否利用定义外延；也可用特殊值排除等方法.。
基础·能力·创新——由一道探究性高考题引发的思考
２．
故 ④ 是真命 题． 其 中的真命题 有 一
综上所述知真命题有 ①③④．
解法 ２ 根据 函数是分 段 的特点 ， 可采 取 分段 讨论 证
明．
本题 是新定 义型 问 题 ， 解题 时要 严 格 按 照 所 给定 义 ， 对每 个选项 逐一 论证 或排 除． 解法 １ 我 们 根 据 正 对 数 的定 义 可 以得 到 Ｉ ｎ
２＝ｌ ｎ ｒ 上＋ Ｉ ｎ ６＋ｌ ｎ ２ ．
① 若 口＞０ ， ６＞ ０ ， 贝 ４ Ｉ ｎ ０ ＝ ｂ ｌ ｎ 。 ； ②若ｒ 上＞ ０ ， ６＞ ０ ， 贝 ０ Ｉ ｎ ａ ｂ＝ Ｉ ｎ 。＋Ｉ ｎ ｂ ；
③ 若 ０＞０ ， ６＞０ ， 则Ｉ ｎ ÷ ≥Ｉ ｎ Ⅱ一ｉ ｎ ｂ ；
孚： ｌ ｎ 孚＝ ｌ ｎ 。 一 ｌ ｎ ６ ＝ ｌ ｎ ＋ 口 一 ｌ ｎ ６ ． 综 上 所 述， ③是 真
Ｏ
（ ２ ）当 １＜ ｎ ＋ ６ ≤２ 时， ｌ ｎ （ ０ ＋ ６ ）：ｍ ａ ｘ ｛ ０ ， Ｉ ｎ （ 口＋ ｂ ） ｝
＝ｌ ｎ （ ａ＋６ ）≤ Ｉ ｎ ２≤ Ｉ ｎ ｎ＋ｉ ｎ ６＋１ ｎ ２
命题：
：ｉ ｎ （ ８＋ｂ ）≤ Ｉ ｎ ２≤ Ｉ ｎ ０ ＋Ｉ ｎ ６＋Ｉ ｎ ２ ．
（ ３ ）当 。＋６＞２时 ， 则ｏ ， ６ 至 少有 一个大 于 １ ， 不妨 设
０＞１ ，此时 ０＜ ｂ≤ １和 ｂ＞ １分别对 应
１ ＋（ 。＋６ ）： ＝ｌ ｎ （ ａ＋ｂ ） ＜Ｉ ｎ ２ ａ＝Ｉ ｎ ０＋ｉ ｎ ２＝ｉ ｎ ０＋Ｉ ｎ ｂ＋ｌ ｎ ２ 和ｌ ｎ （ 口＋６ ）＝Ｉ ｎ （ Ⅱ＋６ ）≤ Ｉ ｎ ２ ａ ｂ＝Ｉ ｎ ｎ＋Ｉ ｎ ｂ＋ｌ ｎ
高考数学探究创新问题
8、已知O是平面上的一个定点，A，B，C，是平面上不共线三个点，动点P满足 )
,0(),
||||
(+∞∈++=λλAC
AC
AB
AB
OAOP，则动点
P的轨迹一定通过△ABC的
（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
51114115
4774
343
22
1探究创新问题参考答案 1【分析及解
分析及解分析及解
分析及解】由已知*{1,2,3,4}AB=,∴集合A*B中所有元素之和为10,故选C
2【分析及解
分析及解分析及解
分析及解】Ｍ为定义域,Ｎ为值域,则Ｎ中每个元素必有原象,只需使Ｍ中的某2个元素对
于第n－1行与之相邻的两个数的和， ,.....)
3,2,1(,.......,,2,1,=naaannnn分别表示第n行的第一个数，
第二个数，…….第n 个数。
求)
2(2,Nnnan∈≥且的通项式。
....
........................................
探究创新问题
探究创新问题探究创新问题
探究创新问题 ¤专题剖析：探究创新问题是创设新颖的环境，培养学生的创新能力，在新的情境中，
实现知识迁移，创造性地解决问题（新背景、新定义）. 一般地，对于虽给出了明确条件，
但没有明确的结论，或者结论不稳定，需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结
a,)5,4,3,2(=kak出现0的概率为3
1,出现1的概率为3
2,例
高考数学模拟题中的创新题解法赏析
高考数学模拟题中的创新题解法赏析汪亚运 深圳市坪山高级中学近些年来高考数学中创新题精彩纷呈，所谓创新题是指在高中教材中不曾出现过的概念、定义，这类题型虽然表面看上去新颖别致，但是只要把表面那层面纱揭开，就会发现仍旧是用我们以前所学的知识迁移来解决。
创新题因为能够很好地考查学生的数学素养和创新能力，所以越来越受高考命题人的关注和重视，下面以2020年部分地区的模拟题为例来解读创新题，希望对大家有所启迪。
一、科赫曲线（山东省2020年高考模拟）科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到。
任意画一条线段，然后把它分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉,这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”,用同样的方法把每条小线段重复上述步骤得到16条更小的线段构成的折线称为“二次构造”,…,如此进行“n 次构造”,就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是( ) (lg30.4771≈,3010.02lg =)A.16B.17C.24D.25解析：记初始长度为a ,则一次构造后的折线长度是a 34,二次构造后的折线长度是a2)34(, ， n 次构造后的折线长度是a n )34(,要使得到的折线长度达到原来的1000倍,应满足 a a n 100034≥⎪⎭⎫ ⎝⎛,两边同时取对数得到31000lg 34lg =≥n ，整理可得,3)3lg 2lg 2(≥-n 3lg 2lg 23-≥n ，把lg30.4771≈,3010.02lg =代入得02.244771.06020.03≈-≥n . 所以至少需要通过构造的次数是25次.故答案是D.点评：此题的背景是构造科赫曲线，同学们要能从复杂的背景中抽象出数学模型，列出不等式，再通过对数运算与估算得到答案。
主要考查同学们抽象概括能力和数学运算素养。
高考创新题解答与评析
高考创新题解答与评析（六）北京 明知白六、时代信息型多年来，高考命题强调考查学生的实践能力，以解决实际问题为主要题型．近几年，这类试题又有所发展，进一步扩展为：联系实际、反映生活、展开科技，总之，突出时代特征，这类试题成为高考创新题的又一亮点．例1 （2006年陕西12）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文2a b +，2b c+，23c d +，4d ．例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ ）Ａ．7，6，1，4 Ｂ．6，4，1，7Ｃ．4，6，1，7D ．1，6，4，7分析：首先懂得题意，可列方程组 214292323428.a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪=⎩，，， 解得6417a b c d ====，，，．故选C ．点评：懂得题意是关键，如有困难，可对照“例如”，这有助于帮助我们对信息的提供与转移．例2 （2007年安徽理20）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．的只数． （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率()P E ξξ≥．解：（Ⅰ）由题知可取值为6，5，4，3，2，1，0，分布列如下：（Ⅱ）113153165432102281428728144E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）1315()(2)1(01)141428P E P P ξξξξξ==-===--=≥≥，．点评：概率统计题大多与实际问题有关，其中不少是与现代信息有关的问题，这类问题已成为近几年高考的必考内容之一．例3 （2003年北京理19）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且2AB AC a BC b ===，．今计划合建一个中心医院，为同时方便三城镇，准备建在B C 的垂直平分线上的P 点处．（建立坐标系如图）．（I ）若希望点P 到三城镇距离的平方和为最小， 点P 应位于何处？（II ）若希望点P 到三城镇的最远距离为最小， 点P 应位于何处？解：（I ）由题设可知，0a b >>，记h =，设P 的坐标为(0)y ，，则P 至三城镇距离的平方和为222()2()()f y b y h y =++-22223233h y h b ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以，当3h y =时，函数()f y 取得最小值．答：点P的坐标是0⎛ ⎝．（II ）解法一：点P 至三城镇的最远距离为||()||||h y g y h y h y -=-<-⎪⎩，， ．h y -||解得222h b y h-≥，记22*2h b y h-=，于是**()||y y g y h y y y =-<⎪⎩ 当≥，， 当．当22*02h b y h-=≥，即h b ≥时，*[)y +∞，上是增函数，而||h y -在*(]y -∞，上是减函数．由此可知，当*y y =时，函数()g y 取得最小值．当22*02h b y h-=<，即h b <时，函数*[)y +∞，上，当0y =时，取得最x小值b ，而||h y -在*(]y -∞，上为减函数，且||h y b -<．可见，当0y =时，函数()g y 取得最小值．答：当h b ≤时，点P的坐标为220⎛⎫⎝； 当h b <时，点P 的坐标为（0，0），其中h =解法二：点P 至三城镇的最远距离为||()||||h y g y h y h y -=-<-⎪⎩，， ．h y -||解得222h b y h-≥，记22*2h b y h-=，于是**()||y y g y h y y y =-<⎪⎩ 当≥，， 当．当*0y ≥，即h b ≥时，()z g y =的图象如图（a ），因此，当*y y =时，函数()g y 取得最小值．当*0y <，即h b <时，()z g y =的图象如图（b ），因此，当0y =时，函数()g y 取得最小值． 答略．解法三：因为在A B C △中，AB AC a ==，所以A B C △的外心M 在射线A O 上，其坐标为220⎛⎫⎝，且A M B M C M ==．当P 在射线M A 上，记P 为1P ；x（a ）当P 在射线M A 的反向延长线上，记P 为2P ；若h b =（如图）， 则点M 在线段A O 上．这时P 到A B C ，，三点的最远距离为1P C 或2P A ，且1P C M C ≥，2P A M A ≥，所以点P 与外心M 重合时，点P 到三城镇的最远距离最小．若h b =<（如图），则点M 在线段A O 外． 这时P 到A B C ，，三点的最远距离为1P C 或2P A ， 且1P C O C ≥，2P A O C ≥，所以点P 与B C 边中点O 重合时，P 到三城镇的最远距离最小为b ． 答：当b 时，点P 的位置在A B C △的外心220⎛⎫⎝；当b <时，点P 的位置在原点O ．点评：（I ）的解答较为简单，()f y 为h 的二次函数，用配方法可求最小值； （II ）的解答较为困难，首先列出点P 至三点的最远距离()g y 的分段解析式．为书写简洁，先引出记号*y ，然后讨论分段函数()g y 的最小值，有两种方法．解法一为代数方法（利用函数()g y 的单调性），解法二利用函数的图象特征，体现数形结合思想．解法三另辟途径，利用平面几何知识（三角形外心），直观明了，不失为一个好的方法． 练习题： 1．（2007年北京13）2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于 ．2．（2003年北京）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ．规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令10i j a ij i j =⎧⎨⎩，第号同学同意第号同学当选；，第号同学不同意第号同学当选．BxBx其中12i k = ，，，，12j k = ，，，，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（ ）A ．1112121222k k a a a a a a +++++++B ．1121112222k k a a a a a a +++++++C ．1112212212k k a a a a a a +++D ．1121122212k k a a a a a a +++3．（2005年，湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生的资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，*n ∈N ，且10x >．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n成正比，死亡量与2n x 成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．（Ⅰ）求x n +1与x n 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅲ）设2a =，1c =，为保证对任意()102x ∈，，都有0n x >，*n ∈N ，则捕捞强度b 的最大允许值是多少？证明你的结论．练习题参考答案：1．设θ所对直角边为x ，则22(1)25x x ++=，解得3x =．故221697cos 2cos sin 252525θθθ=-=-=．2．分析：为便于理解题意并做出判断，不妨令3k =，则 A ．111213212223a a a a a a +++++ B ．112131122232a a a a a a +++++ C ．111221223132a a a a a a ++ D ．112112221323a a a a a a ++ 显然，应选C ．3．解（I ）从第n 年初到第n +1年初，鱼群的繁殖量为n ax ，被捕捞量为bx n ，死亡量为2n cx ，因此21n n n n n x x ax bx cx +-=--，*n ∈N ． ①即()11n n n x x a b cx +=-+-，*n ∈N ． ②（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则n x 恒等于x 1，*n ∈N ，从而由①式得()n n x a b cx --恒等于0，*n ∈N ，所以10a b cx --=．即1a b x c-=．因为10x >，所以a b >． 猜测：当且仅当a b >，且cb a x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变．（Ⅲ）若b 的值使得0n x >，*n ∈N由②及条件得()13n n n x x b x +=--，*n ∈N ，∴03n x b <<-，*n ∈N ，特别地，有103x b <<-，即103b x <<-． 而()102x ∈，，所以(]01b ∈， 由此猜测b 的最大允许值是1．以下证明当()102x ∈，，1b =时，都有()02n x ∈，，*n ∈N ①当1n =时，结论显然成立．②假设当n k =时结论成立，即()02k x ∈，， 则当1n k =+时，()120k k k x x x +=->． 又因为()()2121112k k k k x x x x +=-=--+<≤， 所以()102k x +∈，． 故当1n k =+时结论也成立．由①、②可知，对于任意的*n ∈N ，都有()02n x ∈，． 综上所述，为保证对任意()102x ∈，，都有0n x >，*n ∈N ，则捕捞强度b 的最大允许值是1．。
新高考创新性试题研究报告
新高考创新性试题研究报告新高考创新性试题研究报告引言随着社会的发展和教育改革的推进，我国高中教育领域也发生了重大的变革。
其中，新高考制度的推行是改变高中教育考试模式的一项重要举措。
新高考试题的设计是新高考制度中关键的环节之一，对于评估学生的综合素质和能力具有重要意义。
本报告旨在研究新高考创新性试题的设计与评估方法，以期为教育部门和相关研究人员提供参考。
1. 数据来源本研究所使用的数据来源包括教育部门提供的试题样卷、学生答卷和评卷结果，以及教育部门组织的新高考创新性试题设计竞赛中的优秀作品。
2. 试题设计原则在设计新高考创新性试题时，应遵循以下原则：2.1 综合素质评价新高考试题应着重评估学生的综合素质，而不仅仅是对知识的检测。
因此，试题应注重学生的思维能力、创新思维、实践能力、团队协作能力等方面的考察。
2.2 深度与广度兼顾试题的设计应既注重学生对基础知识的理解和掌握，又要引导学生运用知识解决实际问题，培养学生的独立思考和解决问题的能力。
2.3 多样性与灵活性试题应具有一定的多样性和灵活性，以满足不同学生的需求和能力。
试题设计应充分考虑到学生的兴趣点和学科特点，注重培养学生的创新意识和创造能力。
3. 试题设计方法为了实现新高考创新性试题设计的目标，我们结合了已有的教育理论和实践经验，提出了以下设计方法：3.1 项目式学习项目式学习是一种以实践项目为主要学习方式，通过学生团队合作解决实际问题，促进学生的主动学习和创新能力。
试题设计应借鉴项目式学习的理念，将学生从传统的被动接受知识转变为主动探究和实践。
3.2 开放性问题试题应设计一定数量的开放性问题，鼓励学生进行自由发挥和探索。
开放性问题可以引导学生思考和分析问题的不同角度，培养学生的逻辑思维和判断能力。
3.3 情境设计试题设计应设置情境，让学生在具体的实际情境中思考和解决问题。
情境设计可以帮助学生将抽象的知识应用到具体的实践中，提高学生的应用能力和创造力。
高考数学创新型试题浅析
高考数学创新型试题浅析创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具活力的课题。
自从1999年教育部明确提出高考命题“要遵循教学大纲，又不拘泥于大纲”，在试题设计上要“增加应用型和能力型的题目”，要“更加注重对考生能力和素质的考查”。
近几年来，特别是2001年，为了考查学生在新情况中的迁移能力、创新能力、灵活应用所学知识的能力，出现了不受大纲字句约束，然而所考内容大体在高中数学范围内的问题。
我们暂称为创新性问题。
如2001年高考试题中的第12题的设计就是如此，这类试题的设计既不超越数学大纲，又不拘泥于大纲，情景新颖，富有时代气息，有科学依据，切合实际，贴近生活。
这类试题，对于培养学生创新意识，创造性思维极为有利。
因此在研究高考和指导高考复习中，实在不能轻视和放松对这类试题的研究。
下面通过的对近几年的高考试题中出现的此类试题的分析，谈一下对这类试题的认识，不当之处，请批评指正。
一、近几年高考中创新型题的特点与趋向1.突出数学思想和能力的考查，富有时代生活气息。
由于不再将知识点的覆盖面作为命题追求的指标，这就给试题的更新解除了束缚。
一些看来与高中数学内容没有太多联系，却能分辩出学生能力高下的好题，都纳入了命题人员的视野。
如【例1】（2001年高考试题第12题）如图，示他们有网络相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。
现从结点A向结点B传递信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A）26 （B）24 （C）20 （D）19分析：该题有很多考生不理解题意，利用常规不等式或函数最值的解法不易找到突破口，且易走入误区，其实根据直觉只要类比成“水流量”的最大值即可。
也可以理解为“木桶效应”原理，木桶盛水的多少不取决于长的木板，而取决于最短的木板，就是取每条线路的最小值之和，也就是从上到下最小值和：3+4+6+6＝19。
本题从立意上具有四个特点：（1）时代性。
对一道高考创新题的探究
图１
解： 一： 方法 如图 １ ＡＤ、 ＢＥ、 ＣＦ为 △ ＢＣ的中线， Ｇ 是△ＡＢ 的重心
， ，
Ｇ ／ Ｃ， Ｈ／ Ａ 直是 ＡＡ ， ＢＣ的重心， 若把 Ａ 、 、 Ｇ ＢＧ ＣＧ看作是弹性的橡皮筋，由题意， 应将 Ｑ从 Ｇ 开始和ＡＢ拉近， 而远离 ＢＣ， ＡＣ距离不变， 离
（） ２ １＝ ２＝ Ａ ３＝ １ 此时尸为如图３ ， 所 示 的三个点 Ｑｌ Ｑ２ Ｑ ， 中四边形 Ａ Ｑ１ 、 、 ３其 Ｂ Ｃ、 ＢＣＱ Ａ ＣＡ Ｂ均为平行 四边形． ２ 、 Ｑ３
， Ｊ， 、 ，、 ， Ｊ 、Ｊ～ ，’ ， 、Ｊ，、Ｊ， 、Ｊ，、 ， ，ｕ Ｊ ’ ￣ ￣ ， ， Ｊ ， Ｊ… ～ … ＾ Ｊ＾ … …
＼‘ … ｏ … ｕ／ … …
一
…
…
ｏ△ Ｂ Ｃ Ａ …
…
＝音 即知Ｑ ，
ｏ
… … … … …
项为正， 且满足：ｌ （ ＞０， ：６６ ） ｎ≤－ － ！
（ 中结论的加强） 例２ ・
等等．
（ 若 ＞ｌ ｎ ） ， ２ ） ｎ ＋１ 一１则 （
ｎ
＜ 百
可；
我们 的课改、 教学 、 高考真正需要 的是这种 新颖 的试题． 对于高考 中的开放式、 探索性试题 我们也不必担心其评价的公平性 ， 因为网上阅卷
（ １＋一Ｉ ３ ＞（１言ｌ ） ｎ ）贝 若 礼 Ｊ
‘ 。
，
礼 ＋ ａｎ＿ １
（ 已 南 ＞１ ， ∈Ｎ ）则 ５ 知２ ） ＋壬 （ ，
１
2025高考物理 电学创新实验
2025高考物理电学创新实验一、实验题1．小明通过实验探究电压表内阻对测量结果的影响．所用器材有：干电池（电动势约1.5V，内阻不计）2节；两量程电压表（量程0~3V，内阻约3kΩ；量程0~15V，内阻约15kΩ）1个；滑动变阻器（最大阻值50Ω）1个；定值电阻（阻值50Ω）21个；开关1个及导线若干．实验电路如题1图所示．（1）电压表量程应选用（选填“3V”或“15V”）．（2）题2图为该实验的实物电路（右侧未拍全）．先将滑动变阻器的滑片置于如图所示的位置，然后用导线将电池盒上接线柱A与滑动变阻器的接线柱（选填“B”“C”“D”）连接，再闭合开关，开始实验．（3）将滑动变阻器滑片移动到合适位置后保持不变，依次测量电路中O与1，2，…，21之间的电压．某次测量时，电压表指针位置如题3图所示，其示数为V．根据测量数据作出电压U与被测电阻值R的关系图线，如题4图中实线所示．（4）在题1图所示的电路中，若电源电动势为E ，电压表视为理想电压表，滑动变阻器接入的阻值为1R ，定值电阻的总阻值为2R ，当被测电阻为R 时，其两端的电压U = （用E 、1R 、2R 、R 表示），据此作出U R -理论图线如题4图中虚线所示．小明发现被测电阻较小或较大时，电压的实测值与理论值相差较小．（5）分析可知，当R 较小时，U 的实测值与理论值相差较小，是因为电压表的分流小，电压表内阻对测量结果影响较小．小明认为，当R 较大时，U 的实测值与理论值相差较小，也是因为相同的原因．你是否同意他的观点？请简要说明理由 ．2．小明同学打算估测5个相同规格电阻的阻值。
现有一个量程为0.6 A 的电流表、一个电池组（电动势E 不大于4.5 V 、内阻r 未知）、一个阻值为R 0的定值电阻、一个阻值为R 1的定值电阻（用作保护电阻），开关S 和导线若干。
他设计了如图（a ）所示的电路，实验步骤如下：第一步∶把5个待测电阻分别单独接入A 、B 之间，发现电流表的示数基本一致，据此他认为5个电阻的阻值相等，均设为R 。
高考数学创新型试题浅析
高考数学创新型试题浅析创新意识的激发，创新思维的训练，创新能力的培养，是素质教育中最具活力的课题。
自从1999年教育部明确提出高考命题“要遵循教学大纲，又不拘泥于大纲”，在试题设计上要“增加应用型和能力型的题目”，要“更加注重对考生能力和素质的考查”。
近几年来，特别是2001年，为了考查学生在新情况中的迁移能力、创新能力、灵活应用所学知识的能力，出现了不受大纲字句约束，然而所考内容大体在高中数学范围内的问题。
我们暂称为创新性问题。
如2001年高考试题中的第12题的设计就是如此，这类试题的设计既不超越数学大纲，又不拘泥于大纲，情景新颖，富有时代气息，有科学依据，切合实际，贴近生活。
这类试题，对于培养学生创新意识，创造性思维极为有利。
因此在研究高考和指导高考复习中，实在不能轻视和放松对这类试题的研究。
下面通过的对近几年的高考试题中出现的此类试题的分析，谈一下对这类试题的认识，不当之处，请批评指正。
一、近几年高考中创新型题的特点与趋向1.突出数学思想和能力的考查，富有时代生活气息。
由于不再将知识点的覆盖面作为命题追求的指标，这就给试题的更新解除了束缚。
一些看来与高中数学内容没有太多联系，却能分辩出学生能力高下的好题，都纳入了命题人员的视野。
如【例1】（2001年高考试题第12题）如图，示他们有网络相连，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。
现从结点A向结点B传递信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最１大信息量为（A）26 （B）24 （C）20 （D）19分析：该题有很多考生不理解题意，利用常规不等式或函数最值的解法不易找到突破口，且易走入误区，其实根据直觉只要类比成“水流量”的最大值即可。
也可以理解为“木桶效应”原理，木桶盛水的多少不取决于长的木板，而取决于最短的木板，就是取每条线路的最小值之和，也就是从上到下最小值和：3+4+6+6＝19。
本题从立意上具有四个特点：（1）时代性。
高考创新题解答与评1
高考创新题解答与评析（七）北京 明知白七、图表符号型在近几年的高考试题中，不断出现图表符号型试题，它的特点是用图与表的形式表达题意，这是一种特殊的数学语言，直观明显，很有特色，值得学习．例 1 （2006年，北京8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A ，B ，C 的机动车辆数如图所示，图中123x x x ，，分别表示该时段单位时间通过路段 AB BC CA，，的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ ）A ．123x x x >>B ．132x x x >>C ．231x x x >>D ．321x x x >>分析：设由路段 CA 进入路段 AB 的车辆数为a ，如图，应为150x a =+，2(50)203060x a a =+-+=+，3(60)353055x a a =+-+=+．∴231x x x >>，应选C ．回顾及反思：此题新颖有趣，首先是认真审题，对照文字与图弄懂题意；其次，解题时引进一个a ，然后用a 表达123x x x ，，，从而立即得出它们的大小关系，十分简单．如列方程组，则比较麻烦．例2 （2005年，全国）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字A ．6EB ．72C ．5FD ．B0 分析：先理解1E D B +=．E D + 在十进制中为14+13=27，又112716116÷=，而11对应于B ， ∴27在十六进制中为1B ．A B ⨯在十六进制中为1011110⨯=，又1411016616÷=，而14对应于E ，1x2x3x6A B E ∴⨯=，故应选A ．例3 （2007年，北京18）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．（I ）求合唱团学生参加活动的人均次数； （II ）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率． （III ）从合唱团中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40． （I ）该合唱团学生参加活动的人均次数为1102503402302.3100100⨯+⨯+⨯==．（II ）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为222105040021004199C C C P C ++==． （III ）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A ，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B ，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C ．易知(1)()()P P A P B ξ==+111110505040241001005099C C C C C C =+=； (2)()P P C ξ==1110402100899C C C ==； ξ的分布列：ξ的数学期望：0129999993E ξ=⨯+⨯+⨯=． 123练习题：1．（2007年，四川理11）如图，123l l l ，，是同一平面内的三条平行直线，1l 与2l 间的距离是21l ，与3l 间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在123l l l ，，上，则ABC △的边长是（ ）A．CD．32．（2007年，北京理14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是．3．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的边线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网络单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ ）A ．26B ．24C ．20D ．19练习题参考答案：1．D ． 提示：方法多多，如：设AC 与2l 交于D （如图），ABD α∠=，CBD β∠=，则60αβ+=．又设AB x =，则1sin cos x x α==，2sin cos xββ==，由1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=+-=，得1212x x = ．化简并求解，得x =Al 1BC l 2 l 3αβ DABC1l 2l3l2．((1))(3)1f g f ==．将123x =，，逐一代入不等式中，可知2x =． 3．由A 向B 传递信息共有四条路线，依题意，从上到下传递的最大信息量依次为：3，4，6，6，故单位时间内传递的最大信息量为346619+++=，故应选D ．。
2025届新高考创新定义题型解密
创新定义题型命题解读考向考查统计1.高考对创新定义的考查，是新高考改革出现的题型，一般难度较大。
2024年九省联考出现了概率的新定义问题，而2025年新高考中出现了解析几何、数列的新定义问题。
解析几何创新问题2024·新高考Ⅰ卷，11数列新定义2024·新高考Ⅰ卷，19命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷11题考查了解析几何的创新题型，主要是曲线方程的求法及性质。
Ⅱ卷虽然未考查新定义类型，但是压轴题将数列与双曲线相结合，也是一次独特的创新。
新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，难度较难，需重点特训。
预计2025年高考还是主要考查数列、函数的新定义问题。
试题精讲一、多选题1(2024新高考Ⅰ卷·11)造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F (2,0)的距离与到定直线x =a (a <0)的距离之积为4，则()A.a =-2B.点(22,0)在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2二、解答题2(2024新高考Ⅰ卷·19)设m为正整数，数列a1,a2,...,a4m+2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i和a j i<j后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列．(1)写出所有的i,j，1≤i<j≤6，使数列a1,a2,...,a6是i,j-可分数列；(2)当m≥3时，证明：数列a1,a2,...,a4m+2是2,13-可分数列；(3)从1,2,...,4m+2中一次任取两个数i和j i<j，记数列a1,a2,...,a4m+2是i,j-可分数列的概率为P m，证明：P m>18．一、新定义问题“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、新定义问题的方法和技巧(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.一、解答题1(2024·北京·三模)给定正整数n≥2，设数列a1,a2,...,a n是1,2,...,n的一个排列，对i∈1,2,...,n，x i表示以a i为首项的递增子列的最大长度，y i表示以a i为首项的递减子列的最大长度.(1)若n=4，a1=1，a2=4，a3=2，a4=3，求x1和y2；(2)求证：∀i∈1,2,...,n-1，x i-y i2+x i+1-y i+12≠0；(3)求ni=1x i-y i的最小值.2(2024·河南·三模)已知数列a n的前n项和为S n，若存在常数λ(λ>0)，使得λa n≥S n+1对任意n ∈N*都成立，则称数列a n具有性质P(λ)．(1)若数列a n具有性质P(3)；为等差数列，且S3=-9,S5=-25，求证：数列a n(2)设数列a n具有性质P(λ)．的各项均为正数，且a n①若数列a n是公比为q的等比数列，且λ=4，求q的值；②求λ的最小值．3(2024·河北保定·三模)在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得b=ka，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列{a n}是公差为p的等差整数数列，b n为q除a n所得的余数，S n为数列{b n}的前n项和.(1)若a1=1，p=3，q=2，求S2024；(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列{b n}的前q项中任意两项均不相同；(3)证明：S8q+1为完全平方数.4(2024·海南·二模)设数列A :a 1,a 2,a 3,⋯,a n n ≥3,n ∈N * ，如果A 中各项按一定顺序进行一个排列，就得到一个有序数组Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n ．若有序数组Γ:b 1 ,b 2,b 3,⋯,b n 满足b n -b 1 <b n -b i +1 (i ∈{1,2,3,⋯,n -2})恒成立，则称Γ:b 1,b 2,b 3,⋯ ,b n 为n 阶减距数组；若有序数组Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n 满足b n -b i ≥b n -b i +1 (i ∈{1,2,3,⋯,n -2})恒成立，则称Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n 为n 阶非减距数组．(1)已知数列A :-1,3,2,-3，请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；(2)设Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n 是数列A :1,3,5,⋯,2n -1n ≥4,n ∈N * 的一个有序数组，若Γ:b 1,b 2,b 3,⋯,b n 为n 阶非减距数组，且Γ :b 1,b 2,⋯,b n -1 为n -1阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组Γ；(3)已知等比数列A :a 1,a 2,a 3,⋯,a n (n ≥3)的公比为q ，证明：当q >0时，Γ:a 1 ,a 2,a 3,⋯,a n 为n 阶非减距数组．5(2024·江西九江·三模)已知数列a n 共有m m ≥2 项，且a n ∈Z ，若满足a n +1-a n ≤11≤n ≤m -1 ，则称a n 为“约束数列”.记“约束数列”a n 的所有项的和为S m .(1)当m =5时，写出所有满足a 1=a 5=1,S 5=6的“约束数列”；(2)当m =2000,a 1=25时，设p :a 2000=2024;q :“约束数列”a n 为等差数列.请判断p 是q 的什么条件，并说明理由；(3)当a 1=1,a 2k =01≤k ≤m 2,k ∈N + 时，求S m 的最大值.6(2024·山东青岛·三模)在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于A ,B 两点，当PF 2⊥x 轴时，直线y =1为△PF 1F 2的等线.(1)求E 的方程;(2)若y =2x 是四边形AF 1BF 2的等线，求四边形AF 1BF 2的面积;(3)设OG =13OP ，点G 的轨迹为曲线Γ，证明:Γ在点G 处的切线n 为△AF 1F 2的等线7(2024·浙江·三模)在平面直角坐标系中，如果将函数y=f(x)的图象绕坐标原点逆时针旋转α0<α≤π2后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称f x 为“α旋转函数”.(1)判断函数y=3x是否为“π6旋转函数”，并说明理由；(2)已知函数f x =ln2x+1x>0是“α旋转函数”，求tanα的最大值；(3)若函数g x =m x-1e x-x ln x-x22是“π4旋转函数”，求m的取值范围.8(2024·上海·三模)设t>0，函数y=f(x)的定义域为R．若对满足x2-x1>t的任意x1、x2，均有f(x2)-f(x1)>t，则称函数y=f(x)具有“P(t)性质”．(1)在下述条件下，分别判断函数y=f(x)是否具有P(2)性质，并说明理由；①f(x)=32x； ②f(x)=10sin2x；(2)已知f(x)=ax3，且函数y=f(x)具有P(1)性质，求实数a的取值范围；(3)证明：“函数y=f(x)-x为增函数”是“对任意t>0，函数y=f(x)均具有P(t)性质”的充要条件．9(2024·新疆喀什·三模)已知定义域为R 的函数f x 满足：对于任意的x ∈R ，都有f x +2π =f x +f 2π ，则称函数f x 具有性质P ．(1)判断函数g x =x ，h x =sin x 是否具有性质P ；(直接写出结论)(2)已知函数f x =sin ωx +φ 32<φ<52，ϕ <π2，判断是否存在ω，φ，使函数f x 具有性质P ？若存在，求出ω，φ的值；若不存在，说明理由；(3)设函数f x 具有性质P ，且在区间0,2π 上的值域为f 0 ,f 2π ．函数g x =sin f x ，满足g x +2π =g x ，且在区间0,2π 上有且只有一个零点．求证：f 2π =2π．10(2024·贵州六盘水·三模)若函数f x 在a ,b 上有定义，且对于任意不同的x 1,x 2∈a ,b ，都有f x 1 -f x 2 <k x 1-x 2 ，则称f x 为a ,b 上的“k 类函数”(1)若f x =x 2，判断f x 是否为1,2 上的“4类函数”；(2)若f x =2e ln x +a +1 x +1x为1,e 上的“2类函数”，求实数a 的取值范围；(3)若f x 为1,2 上的“2类函数”且f 1 =f 2 ，证明：∀x 1，x 2∈1,2 ，f x 1 -f x 2 <1.11(2024·江西南昌·三模)给定数列{A n}，若对任意m，n∈N*且m≠n，A m+A n是{A n}中的项，则称{A n}为“H数列”．设数列{a n}的前n项和为S n.(1)若S n=n2+n，试判断数列{a n}是否为“H数列”，并说明理由；(2)设{a n}既是等差数列又是“H数列”，且a1=6，a2∈N*，a2>6，求公差d的所有可能值；(3)设{a n}是等差数列，且对任意n∈N*，S n是{a n}中的项，求证：{a n}是“H数列”．12(2024·黑龙江·三模)如果n项有穷数列a n满足a1=a n，a2=a n-1，⋯，a n=a1，即a i=a n-i+1i=1,2,⋯,n为“对称数列”.，则称有穷数列a n(1)设数列b n是项数为7的“对称数列”，其中b1,b2,b3,b4成等差数列，且b2=3,b5=5，依次写出数列b n的每一项；(2)设数列c n是项数为2k-1(k∈N∗且k≥2)的“对称数列”，且满足c n+1-c n=2，记S n为数列c n 的前n项和.①若c1，c2，⋯，c k构成单调递增数列，且c k=2023.当k为何值时，S2k-1取得最大值?②若c1=2024，且S2k-1=2024，求k的最小值.13(2024·安徽·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，若数列a n 满足：①数列a n 为有穷数列；②数列a n 为递增数列；③∀k ≥2，k ∈N *，∃p ,q ∈N *，使得a k =a p +a q ；则称数列a n 具有“和性质”.(1)已知S n =n 2+n 1≤n ≤100 ，求数列a n 的通项公式，并判断数列a n 是否具有“和性质”；(判断是否具有“和性质”时不必说明理由，直接给出结论)(2)若首项为1的数列a n 具有“和性质”.(ⅰ)比较a n 与S n +12的大小关系，并说明理由；(ⅱ)若数列a n 的末项为36，求S n 的最小值.14(2024·湖北荆州·三模)对于数列x n，如果存在一个正整数m，使得对任意n n∈N*，都有x n+m =x n成立，那么就把这样的一类数列x n称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列x n的最小正周期，简称周期.(1)判断数列x n=sin nπ和y n=2,n=13,n=2y n-1-y n-2+1,n≥3是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.(2)设(1)中数列y n前n项和为S n，试问是否存在p,q，使对任意n∈N*，都有p≤(-1)n⋅S nn≤q成立，若存在，求出p,q的取值范围，若不存在，说明理由.(3)若数列a n和b n满足b n=a n+1-a n，且b1=1,b2=ab n+2=b n+1b nn≥1,n∈N，是否存在非零常数a，使得a n是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数a；若不存在，请说明理由.15(2024·安徽芜湖·三模)若数列a n的各项均为正数，且对任意的相邻三项a t-1,a t,a t+1，都满足a t-1a t+1≤a2t，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项a t-1,a t,a t+1，都满足a t-1+a t+1≤2a t则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列c n是一个“凸数列”，且a n=e c n，(其中e为自然常数，n∈N*)，证明：数列a n是一个“对数性凸数列”，且有a1a10≤a5a6；(2)若关于x的函数f x =b1+b2x+b3x2+b4x3有三个零点，其中b i>0i=1，2，3，4．证明：数列b1,b2, b3,b4是一个“对数性凸数列”：(3)设正项数列a0,a1，⋯,a n是一个“对数性凸数列”，求证：1n+1ni=0a i1n-1n-1j=1a j≥1 n n-1i=0a i1n nj=1a j16(2024·湖南·二模)直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1,0)的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.(1)若圆C1:x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m,n∈R)的包络曲线，求m,n满足的关系式；(2)若点P x0,y0不在直线族：Ω:(2a-4)x+4y+(a-2)2=0(a∈R)的任意一条直线上，求y0的取值范围和直线族Ω的包络曲线E；(3)在(2)的条件下，过曲线E上A,B两点作曲线E的切线l1,l2，其交点为P.已知点C0,1，若A,B,C 三点不共线，探究∠PCA=∠PCB是否成立？请说明理由.17(2024·江苏南通·二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63，直线l 与Γ相切，与圆O ：x 2+y 2=3a 2相交于A ，B 两点.当l 垂直于x 轴时，|AB |=26.(1)求Γ的方程；(2)对于给定的点集M ，N ，若M 中的每个点在N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d (M ,N ).(ⅰ)若M ，N 分别为线段AB 与圆O 上任意一点，P 为圆O 上一点，当△P AB 的面积最大时，求d (M ,N )；(ⅱ)若d (M ,N )，d (N ,M )均存在，记两者中的较大者为H (M ,N ).已知H (X ,Y )，H (Y ,Z )，H (X ,Z )均存在，证明：H (X ,Z )+H (Y ,Z )≥H (X ,Y ).18(2024·新疆乌鲁木齐·二模)在平面直角坐标系xOy 中，重新定义两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 之间的“距离”为AB =x 2-x 1 +y 2-y 1 ，我们把到两定点F 1-c ,0 ,F 2c ,0 c >0 的“距离”之和为常数2a a >c 的点的轨迹叫“椭圆”．(1)求“椭圆”的方程；(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；(3)设c =1,a =2，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为C ,C 的左顶点为A ，过F 2作直线交C 于M ,N 两点，△AMN 的外心为Q ，求证：直线OQ 与MN 的斜率之积为定值．19(2024·江西新余·二模)通过研究，已知对任意平面向量AB =x ,y ，把AB 绕其起点A 沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP =x cos θ-y sin θ,x sin θ+y cos θ ，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P ，(1)已知平面内点A -3,23 ，点B 3,-23 ，把点B 绕点A 逆时针旋转π3得到点P ，求点P 的坐标：(2)已知二次方程x 2+y 2-xy =1的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 绕原点O 逆时针旋转π4所得的斜椭圆C ，(i )求斜椭圆C 的离心率；(ⅱ)过点Q 23,23 作与两坐标轴都不平行的直线l 1交斜椭圆C 于点M 、N ，过原点O 作直线l 2与直线l 1垂直，直线l 2交斜椭圆C 于点G 、H ，判断2MN +1OH2是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.20(2024·河南新乡·二模)定义：若函数f x 图象上恰好存在相异的两点P ，Q 满足曲线y =f x 在P 和Q 处的切线重合，则称P ，Q 为曲线y =f x 的“双重切点”，直线PQ 为曲线y =f x 的“双重切线”．(1)直线y =2x 是否为曲线f x =x 3+1x 的“双重切线”，请说明理由；(2)已知函数g x =e x -2e ,x ≤0,ln x ,x >0, 求曲线y =g x 的“双重切线”的方程；(3)已知函数h x =sin x ，直线PQ 为曲线y =h x 的“双重切线”，记直线PQ 的斜率所有可能的取值为k 1，k 2，⋯，k n ，若k 1>k 2>k i (i =3,4,5,⋅⋅⋅,n )，证明：k 1k 2<158．21(2024·上海长宁·二模)设函数y=f x 的定义域为D，若存在实数k，使得对于任意x∈D，都有f x ≤k，则称函数y=f x 有上界，实数k的最小值为函数y=f x 的上确界；记集合M n={f x y=f x x n在区间0,+∞上是严格增函数}；(1)求函数y=2x-1(2<x<6)的上确界；(2)若f x =x3-hx2+2x ln x∈M1，求h的最大值；(3)设函数y=f x 一定义域为0,+∞；若f x ∈M2，且y=f x 有上界，求证：f x <0，且存在函数y=f x ，它的上确界为0；。
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２１ ≤ ≤）射 ２ 量 ≥） ＋（ ２ 线 ＝ （ ２ １ 与 一
组 成 的 图形 ， 图 ６ 如 ．
ｄＰ １ （ ． ）＝ ｄ １ 可得点 Ｐ到点 Ｂ的距 离与到 １ （ ２ ） 直线 Ｘ＝ － 的距离相等， １ 接下来可 以直接将有
一
、
试题评析
此 题 是 试 卷 的 最 后 一 题 ，其 新 颖 之 处 在 于：
① 引入 了新定义 “ 点到线段 的距离” ，并运用它 解决相关数学 问题， 这里体现 了对学生学 习能力
又３≤ Ｘ≤ ５ 故 ＩＱＩ ， Ｐ 的最小值为 、５ 即 ／， ／ ｄＰ ＝ （ｊ ． ２ ） 其二是利用数形结合， 设线段 Ｚ 的左右两端 点分别为 、 ， （，） 则Ａ ３０、Ｂ（，）如图１ ５２， ．由 Ａ ・ Ｂ ＝ （ ２ １ ・２２ Ｐ － ，） （，）＝ － ＜ ０ 可知 ２ ， Ｚ Ｂ是钝角， Ｊ ＰＡ 故 ＰＱＪ 的最小值为 Ｉ ＝ 、５ ＰＡｌ ／ ． ／ 对于第 （） ２小题， 首先确定集合 Ｄ：． ｄ ［ （ ＰＩ ｆ ≤ １ 所表示的图形 （ ） ） 如图２ 所示， 形状类似 田
｛ ｄ ｆ ≤ｌ 所表示的图形面积； Ｐｌ （ ） ｝ （） 出到两条线段 ｆ、１距离相等 的点 的 ３写 ｌ ２ 集合 Ｑ ＝ ｛ ｄＰ １）＝ ｄ ２）， ＰＩ ， （ １ （ ２｝ 其中１ １＝
Ｂ，２： ＣＤ， 、Ｂ、Ｃ、Ｄ是 下列三组 点中 １ Ａ 的一组．
对于第 （） １ 小题， ｄＰ ｆ有如下两种 思路： 求 （’ ） 其一是代数方法， 设Ｏ（，）则 ｘ ，
２１ 年第 １期 ０１ １
数 学数 学
ｌ一９ ｌ３
对 一道 高考创 新题 的探 究
２ ０ 上海市卢湾区教师进修学院 寇恒清 ０２ ００
２ １ 年高考上海卷 （ ０１ 理科） ２ 题是一道创 第 ３ 新 型试 题 ， 目如 下 ： 题
已知 平 面 上 的 线 段 ｆ 点 Ｐ．任 取 ２ 一 点 及 上
≤ １ 所表示图形的面积， ｝ 能力要求不算高， 在时 间允许的情况下许多学生是能够顺利解答 的； 第
（） ３ 小题 的情形 ① 较为简单， 但情 形 ② 、 ⑨ 特 别是 ⑧ 的思维容量 比较大， 从而 为优 秀生提供
Ｑ， 线段 Ｐ Ｑ长度的最小值称为 点Ｐ到 线段 ｆ 的
距离， 记作ｄ ｆ． （ ）
ＩＱ ＝、（ ）＋（一１ Ｐ ｌ ／ ／ 一１０ Ｙ ）
＝ 、
／ｘ～１２ ～４ （ ） ＋（ １
对于下列三种情形， 只需选做一种， 满分分
别是 ①２ ② ６ ③ ８ 若选择 了多于一种 分， 分， 分； 情 形， 则按 照序号较小的解答计分．
蹶
① Ａ １３、 １０、 －１３、 －１０． （，）Ｂ（，）Ｃ（ ，）Ｄ（ ，） ②Ａ（，）Ｂ（，） 一 ，）Ｄ（ ， ２。 １３、 １０、 （ １３、 －１－ ） ③Ａ（，）Ｂ（，）Ｃ（，）Ｄ（，） ０１、 ００、 ００、 ２０．
固
图１ 图３
在第 （） 中， Ｐ（， ， 于情 形 ① ， ３题 设 ｘ ）对 可
分 Ｙ＞ ３ ０≤ Ｙ≤ ３ Ｙ＜ ０ ， ， 三种情况来讨论， 易得 集合 Ｑ即为 Ｙ 轴， 如图 ３ ．对于情形 ② ， 可
到线段距离” 的定义求点的集合Ｄ ＝｛ ｄ ｚ Ｐｌ （ ）
１－０ ｉ４
径场， 中间是边 长为 ２ 的正方形， 左右两边是两 个半径为 １ 的半 圆） 其面积 为该正方形 的面积 ， 与一个 圆 （ 半径为 １ 的面积之和． ）
的考查； 在第 （） ② ３ 小题 中设计了不 同分值的选 做题 ， 体现不 同层次的考查要求， 从而让具有不
同 自我效能感 （ 指个体对 自己是否有能力完成某 行为所进行 的推测与判断） 与思维层次的学生
关点的坐标代入几何条件得 出方程， 或者 由抛物 线定义判断点 Ｐ在抛物线上， 从而用待定系数法
求 出 方 程．
Ｕ ＾
图 ５
图６
三、 进一步探究
１求 ｄ 尸 Ｚ的 算 法 ． （ ＇）
第 （） １ 小题是 给出特殊 的点 Ｐ与线段 ２ 求 来
数 学教 学
２ １ 年第 １期 ０１ １
分 Ｙ＞ ３ ，０ ≤ Ｙ ≤ ３ ，－２ ＜ Ｙ ＜ ０ ，Ｙ ≤ －２
域， 线段 Ｙ＝ Ｘ（ ０≤ Ｘ ≤ １， ） 一段抛物 线 Ｙ＝
四种情况 进行讨 论， 可得 集合 Ｑ是 由射 线 Ｘ ＝
０ Ｙ≥ ０， （ ） 一段抛 物线 Ｙ ＝ ４ － ｘ（ ２≤ Ｙ≤ ０ ） 与射线 Ｙ ＝ － Ｘ一 １ Ｙ ≤ 一 ） 成的图形， （ ２组 如 图４ 为方便叙述， （ 这里 的分界点有所重叠， 以下 同） 其 中每一种情况 的讨论， ． 都有两种途径： 一
（） １求点 Ｐ（，） １１到线段ｆ Ｘ 一 ： 一 ３＝０３≤ （
Ｘ≤５ 的距离 ｄＰ Ｚ ） （ ＇） ； （） ２ 长为 ２ ２设 是 的线段， 点的集合 Ｄ ＝ 求
了展示 的空间． 此外， 本题还 突出考查 了分类讨 论பைடு நூலகம் 数形结合、 等价转化等数学思想． 因此， 本题
新而不难、 层次清楚， 对学生 的数学素养考查全 面 、 入 ， 一道 不 可 多 得 的好 题 ． 深 是 二、 解法分析
一
都有 展现 自我才能的空间． 学生在解答时， 需依 据 自己的 自我效能感来进行选择， 这也体现了对
三维 目标 中 隋感态度与价值 ’ 的考查．
本题 中的新定义“ 点到线段的距离” 是一个很 容易理解 的概念， 同时第 （） １小题是 已知具体的
点与 线段求点到线段距离， 入手较为容易， 而 从 不会让多数学生 “ 忘而却步” 第 （） ； ２ 小题利用“ 点