对一道高考创新题的探究
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种是直接将几何条件解析化， 另一种是先确定轨 迹的形状， 然后直接写出方程或利用待定 系数法 求 出方程．例如在 一 ２＜ Ｙ＜ ０ 这一情况下， 由
２１ ≤ ≤）射 ２ 量 ≥） ＋（ ２ 线 ＝ （ ２ １ 与 一
组 成 的 图形 ， 图 ６ 如 ．
ｄＰ １ （ ． ）＝ ｄ １ 可得点 Ｐ到点 Ｂ的距 离与到 １ （ ２ ） 直线 Ｘ＝ － 的距离相等， １ 接下来可 以直接将有
一
、
试题评析
此 题 是 试 卷 的 最 后 一 题 ，其 新 颖 之 处 在 于：
① 引入 了新定义 “ 点到线段 的距离” ，并运用它 解决相关数学 问题， 这里体现 了对学生学 习能力
又３≤ Ｘ≤ ５ 故 ＩＱＩ ， Ｐ 的最小值为 、５ 即 ／， ／ ｄＰ ＝ （ｊ ． ２ ） 其二是利用数形结合， 设线段 Ｚ 的左右两端 点分别为 、 ， （，） 则Ａ ３０、Ｂ（，）如图１ ５２， ．由 Ａ ・ Ｂ ＝ （ ２ １ ・２２ Ｐ － ，） （，）＝ － ＜ ０ 可知 ２ ， Ｚ Ｂ是钝角， Ｊ ＰＡ 故 ＰＱＪ 的最小值为 Ｉ ＝ 、５ ＰＡｌ ／ ． ／ 对于第 （） ２小题， 首先确定集合 Ｄ：． ｄ ［ （ ＰＩ ｆ ≤ １ 所表示的图形 （ ） ） 如图２ 所示， 形状类似 田
｛ ｄ ｆ ≤ｌ 所表示的图形面积； Ｐｌ （ ） ｝ （） 出到两条线段 ｆ、１距离相等 的点 的 ３写 ｌ ２ 集合 Ｑ ＝ ｛ ｄＰ １）＝ ｄ ２）， ＰＩ ， （ １ （ ２｝ 其中１ １＝
Ｂ，２： ＣＤ， 、Ｂ、Ｃ、Ｄ是 下列三组 点中 １ Ａ 的一组．
对于第 （） １ 小题， ｄＰ ｆ有如下两种 思路： 求 （’ ） 其一是代数方法， 设Ｏ（，）则 ｘ ，
２１ 年第 １期 ０１ １
数 学数 学
ｌ一９ ｌ３
对 一道 高考创 新题 的探 究
２ ０ 上海市卢湾区教师进修学院 寇恒清 ０２ ００
２ １ 年高考上海卷 （ ０１ 理科） ２ 题是一道创 第 ３ 新 型试 题 ， 目如 下 ： 题
已知 平 面 上 的 线 段 ｆ 点 Ｐ．任 取 ２ 一 点 及 上
≤ １ 所表示图形的面积， ｝ 能力要求不算高， 在时 间允许的情况下许多学生是能够顺利解答 的； 第
（） ３ 小题 的情形 ① 较为简单， 但情 形 ② 、 ⑨ 特 别是 ⑧ 的思维容量 比较大， 从而 为优 秀生提供
Ｑ， 线段 Ｐ Ｑ长度的最小值称为 点Ｐ到 线段 ｆ 的
距离， 记作ｄ ｆ． （ ）
ＩＱ ＝、（ ）＋（一１ Ｐ ｌ ／ ／ 一１０ Ｙ ）
＝ 、
／ｘ～１２ ～４ （ ） ＋（ １
对于下列三种情形， 只需选做一种， 满分分
别是 ①２ ② ６ ③ ８ 若选择 了多于一种 分， 分， 分； 情 形， 则按 照序号较小的解答计分．
蹶
① Ａ １３、 １０、 －１３、 －１０． （，）Ｂ（，）Ｃ（ ，）Ｄ（ ，） ②Ａ（，）Ｂ（，） 一 ，）Ｄ（ ， ２。 １３、 １０、 （ １３、 －１－ ） ③Ａ（，）Ｂ（，）Ｃ（，）Ｄ（，） ０１、 ００、 ００、 ２０．
固
图１ 图３
在第 （） 中， Ｐ（， ， 于情 形 ① ， ３题 设 ｘ ）对 可
分 Ｙ＞ ３ ０≤ Ｙ≤ ３ Ｙ＜ ０ ， ， 三种情况来讨论， 易得 集合 Ｑ即为 Ｙ 轴， 如图 ３ ．对于情形 ② ， 可
到线段距离” 的定义求点的集合Ｄ ＝｛ ｄ ｚ Ｐｌ （ ）
１－０ ｉ４
径场， 中间是边 长为 ２ 的正方形， 左右两边是两 个半径为 １ 的半 圆） 其面积 为该正方形 的面积 ， 与一个 圆 （ 半径为 １ 的面积之和． ）
的考查； 在第 （） ② ３ 小题 中设计了不 同分值的选 做题 ， 体现不 同层次的考查要求， 从而让具有不
同 自我效能感 （ 指个体对 自己是否有能力完成某 行为所进行 的推测与判断） 与思维层次的学生
关点的坐标代入几何条件得 出方程， 或者 由抛物 线定义判断点 Ｐ在抛物线上， 从而用待定系数法
求 出 方 程．
Ｕ ＾
图 ５
图６
三、 进一步探究
１求 ｄ 尸 Ｚ的 算 法 ． （ ＇）
第 （） １ 小题是 给出特殊 的点 Ｐ与线段 ２ 求 来
数 学教 学
２ １ 年第 １期 ０１ １
分 Ｙ＞ ３ ，０ ≤ Ｙ ≤ ３ ，－２ ＜ Ｙ ＜ ０ ，Ｙ ≤ －２
域， 线段 Ｙ＝ Ｘ（ ０≤ Ｘ ≤ １， ） 一段抛物 线 Ｙ＝
四种情况 进行讨 论， 可得 集合 Ｑ是 由射 线 Ｘ ＝
０ Ｙ≥ ０， （ ） 一段抛 物线 Ｙ ＝ ４ － ｘ（ ２≤ Ｙ≤ ０ ） 与射线 Ｙ ＝ － Ｘ一 １ Ｙ ≤ 一 ） 成的图形， （ ２组 如 图４ 为方便叙述， （ 这里 的分界点有所重叠， 以下 同） 其 中每一种情况 的讨论， ． 都有两种途径： 一
（） １求点 Ｐ（，） １１到线段ｆ Ｘ 一 ： 一 ３＝０３≤ （
Ｘ≤５ 的距离 ｄＰ Ｚ ） （ ＇） ； （） ２ 长为 ２ ２设 是 的线段， 点的集合 Ｄ ＝ 求
了展示 的空间． 此外， 本题还 突出考查 了分类讨 论பைடு நூலகம் 数形结合、 等价转化等数学思想． 因此， 本题
新而不难、 层次清楚， 对学生 的数学素养考查全 面 、 入 ， 一道 不 可 多 得 的好 题 ． 深 是 二、 解法分析
一
都有 展现 自我才能的空间． 学生在解答时， 需依 据 自己的 自我效能感来进行选择， 这也体现了对
三维 目标 中 隋感态度与价值 ’ 的考查．
本题 中的新定义“ 点到线段的距离” 是一个很 容易理解 的概念， 同时第 （） １小题是 已知具体的
点与 线段求点到线段距离， 入手较为容易， 而 从 不会让多数学生 “ 忘而却步” 第 （） ； ２ 小题利用“ 点
２１ ≤ ≤）射 ２ 量 ≥） ＋（ ２ 线 ＝ （ ２ １ 与 一
组 成 的 图形 ， 图 ６ 如 ．
ｄＰ １ （ ． ）＝ ｄ １ 可得点 Ｐ到点 Ｂ的距 离与到 １ （ ２ ） 直线 Ｘ＝ － 的距离相等， １ 接下来可 以直接将有
一
、
试题评析
此 题 是 试 卷 的 最 后 一 题 ，其 新 颖 之 处 在 于：
① 引入 了新定义 “ 点到线段 的距离” ，并运用它 解决相关数学 问题， 这里体现 了对学生学 习能力
又３≤ Ｘ≤ ５ 故 ＩＱＩ ， Ｐ 的最小值为 、５ 即 ／， ／ ｄＰ ＝ （ｊ ． ２ ） 其二是利用数形结合， 设线段 Ｚ 的左右两端 点分别为 、 ， （，） 则Ａ ３０、Ｂ（，）如图１ ５２， ．由 Ａ ・ Ｂ ＝ （ ２ １ ・２２ Ｐ － ，） （，）＝ － ＜ ０ 可知 ２ ， Ｚ Ｂ是钝角， Ｊ ＰＡ 故 ＰＱＪ 的最小值为 Ｉ ＝ 、５ ＰＡｌ ／ ． ／ 对于第 （） ２小题， 首先确定集合 Ｄ：． ｄ ［ （ ＰＩ ｆ ≤ １ 所表示的图形 （ ） ） 如图２ 所示， 形状类似 田
｛ ｄ ｆ ≤ｌ 所表示的图形面积； Ｐｌ （ ） ｝ （） 出到两条线段 ｆ、１距离相等 的点 的 ３写 ｌ ２ 集合 Ｑ ＝ ｛ ｄＰ １）＝ ｄ ２）， ＰＩ ， （ １ （ ２｝ 其中１ １＝
Ｂ，２： ＣＤ， 、Ｂ、Ｃ、Ｄ是 下列三组 点中 １ Ａ 的一组．
对于第 （） １ 小题， ｄＰ ｆ有如下两种 思路： 求 （’ ） 其一是代数方法， 设Ｏ（，）则 ｘ ，
２１ 年第 １期 ０１ １
数 学数 学
ｌ一９ ｌ３
对 一道 高考创 新题 的探 究
２ ０ 上海市卢湾区教师进修学院 寇恒清 ０２ ００
２ １ 年高考上海卷 （ ０１ 理科） ２ 题是一道创 第 ３ 新 型试 题 ， 目如 下 ： 题
已知 平 面 上 的 线 段 ｆ 点 Ｐ．任 取 ２ 一 点 及 上
≤ １ 所表示图形的面积， ｝ 能力要求不算高， 在时 间允许的情况下许多学生是能够顺利解答 的； 第
（） ３ 小题 的情形 ① 较为简单， 但情 形 ② 、 ⑨ 特 别是 ⑧ 的思维容量 比较大， 从而 为优 秀生提供
Ｑ， 线段 Ｐ Ｑ长度的最小值称为 点Ｐ到 线段 ｆ 的
距离， 记作ｄ ｆ． （ ）
ＩＱ ＝、（ ）＋（一１ Ｐ ｌ ／ ／ 一１０ Ｙ ）
＝ 、
／ｘ～１２ ～４ （ ） ＋（ １
对于下列三种情形， 只需选做一种， 满分分
别是 ①２ ② ６ ③ ８ 若选择 了多于一种 分， 分， 分； 情 形， 则按 照序号较小的解答计分．
蹶
① Ａ １３、 １０、 －１３、 －１０． （，）Ｂ（，）Ｃ（ ，）Ｄ（ ，） ②Ａ（，）Ｂ（，） 一 ，）Ｄ（ ， ２。 １３、 １０、 （ １３、 －１－ ） ③Ａ（，）Ｂ（，）Ｃ（，）Ｄ（，） ０１、 ００、 ００、 ２０．
固
图１ 图３
在第 （） 中， Ｐ（， ， 于情 形 ① ， ３题 设 ｘ ）对 可
分 Ｙ＞ ３ ０≤ Ｙ≤ ３ Ｙ＜ ０ ， ， 三种情况来讨论， 易得 集合 Ｑ即为 Ｙ 轴， 如图 ３ ．对于情形 ② ， 可
到线段距离” 的定义求点的集合Ｄ ＝｛ ｄ ｚ Ｐｌ （ ）
１－０ ｉ４
径场， 中间是边 长为 ２ 的正方形， 左右两边是两 个半径为 １ 的半 圆） 其面积 为该正方形 的面积 ， 与一个 圆 （ 半径为 １ 的面积之和． ）
的考查； 在第 （） ② ３ 小题 中设计了不 同分值的选 做题 ， 体现不 同层次的考查要求， 从而让具有不
同 自我效能感 （ 指个体对 自己是否有能力完成某 行为所进行 的推测与判断） 与思维层次的学生
关点的坐标代入几何条件得 出方程， 或者 由抛物 线定义判断点 Ｐ在抛物线上， 从而用待定系数法
求 出 方 程．
Ｕ ＾
图 ５
图６
三、 进一步探究
１求 ｄ 尸 Ｚ的 算 法 ． （ ＇）
第 （） １ 小题是 给出特殊 的点 Ｐ与线段 ２ 求 来
数 学教 学
２ １ 年第 １期 ０１ １
分 Ｙ＞ ３ ，０ ≤ Ｙ ≤ ３ ，－２ ＜ Ｙ ＜ ０ ，Ｙ ≤ －２
域， 线段 Ｙ＝ Ｘ（ ０≤ Ｘ ≤ １， ） 一段抛物 线 Ｙ＝
四种情况 进行讨 论， 可得 集合 Ｑ是 由射 线 Ｘ ＝
０ Ｙ≥ ０， （ ） 一段抛 物线 Ｙ ＝ ４ － ｘ（ ２≤ Ｙ≤ ０ ） 与射线 Ｙ ＝ － Ｘ一 １ Ｙ ≤ 一 ） 成的图形， （ ２组 如 图４ 为方便叙述， （ 这里 的分界点有所重叠， 以下 同） 其 中每一种情况 的讨论， ． 都有两种途径： 一
（） １求点 Ｐ（，） １１到线段ｆ Ｘ 一 ： 一 ３＝０３≤ （
Ｘ≤５ 的距离 ｄＰ Ｚ ） （ ＇） ； （） ２ 长为 ２ ２设 是 的线段， 点的集合 Ｄ ＝ 求
了展示 的空间． 此外， 本题还 突出考查 了分类讨 论பைடு நூலகம் 数形结合、 等价转化等数学思想． 因此， 本题
新而不难、 层次清楚， 对学生 的数学素养考查全 面 、 入 ， 一道 不 可 多 得 的好 题 ． 深 是 二、 解法分析
一
都有 展现 自我才能的空间． 学生在解答时， 需依 据 自己的 自我效能感来进行选择， 这也体现了对
三维 目标 中 隋感态度与价值 ’ 的考查．
本题 中的新定义“ 点到线段的距离” 是一个很 容易理解 的概念， 同时第 （） １小题是 已知具体的
点与 线段求点到线段距离， 入手较为容易， 而 从 不会让多数学生 “ 忘而却步” 第 （） ； ２ 小题利用“ 点