(完整版)100所名校高考模拟金典卷(四)理科数学

100所名校高考模拟金典卷（四）理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
参考公式： 样本数据12,,,n x x x L
的标准差
s =
其中x 为样本平均数 柱体体积公式V
Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
锥体体积公式
1
3
V Sh =
其中S 为底面面积，h 为高
球的表面积，体积公式
24R S π=，33
4R V π=
其中R 为球的半径
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数11z i =+，21z i =-（i 是虚数单位），则
12
21
z z z z +等于 A ．i - B ．i
C ．0
D ．1
2．若tan 2α=，则
1
sin 2α
的值等于
A ．54
- B ．54
C ．45
-
D ．
45
3
．在(
6
1+
的展开式中，x 的系数等于
A ．6
B ．10
C ．15
D ．20
4．函数|34|,(2),()2,(2),1
x x f x x x -≤⎧⎪
=⎨>⎪-⎩则当()1f x ≥时，自变量x 的取值范围
是
A ．51,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．5,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．()5,1,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
U
D ．(]5,1,33⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦
U
5．按如图所示的程序框图运算，若输入200x =，则输出k 的值是
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．如图所示是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为
A ．
143
B ．4
C ．
163
D ．16
7．已知点(,)P x y 满足约束条件30,10,10,x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪-≥⎩O 为坐标原点，则
42z x y =+的最大值是
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
8．点,M N 在圆2
2
240x y kx y +++-=上，且点,M N 关于直线250x y ++=对称，则该圆截直线10x y ++=所得的弦长为
A
．
B
C ．6
D
9．四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，若其底面是边长为4的正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，2PA =，则此球的表面积为
A ．12π
B ．18π
C ．24π
D ．36π
10．已知点(1,0)A ，(1,1)B ，(0,1)C ，现向矩形OABC 中投入一粒米粒，则该米粒落在曲线2
y x =和直线0x =，1x =，1
4
y =所围成的图形（阴影部分）中的概率为
A ．18
B ．14
C ．12
D ．23
11．函数cos()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图
像如图所示，A 、B
分别为最高点与最低点，且||AB =图像的一条对称轴为
A ．1x =
B ．2
x π=
C ．2x =
D ．2
x π
=
12．对于定义域为D 的函数()y f x =，若同时满足：①()f x 在D 内单调递增或单调递减；②存在区间[],a b D ⊆，使()f x 在[],a b 上的值域为[],a b ，那么函数()()y f x x D =∈叫做闭函
数．若函数y k =是闭函数，则实数k 的取值范围是
正视图
侧视图
俯视图
4
4
2
A ．(]2,1--
B ．9,24⎛⎤
-
- ⎥⎝⎦
C ．(]1,2-
D ．9,24⎛⎤
-
⎥⎝⎦
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
13．对一些城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千元）统计调查后知，
y 与x 具有相关关系，且满足回归方程0.6 1.6y x =+．若某被调查城市居民人均消费水平为6.4
（千元），则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为 ％．
14．已知(2,1)a =r ，(,3)b a =r ，若1a b ⋅=r r ，则||b r
＝ ．
15．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，点M 在椭圆上，且112MF F F ⊥，
14||3MF =
，214||3
MF =，则b ＝ ． 16．已知锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c
，
2222sin )ac B b c a =+-，则cos cos B C +的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，满足245,13a a ==，数列{}n b 的前n 项和是n T ，且3n n T b +=．
（1）求数列{}n a 及数列{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =⋅，求数列{}n c 中的最大项．
18．（本小题满分12分）某高校在2012年的春
季自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的
笔试成绩，按成绩分组：第1组，第2组，第3
组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如
图所示． （1）求第3、4、5组的频率；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法
O
抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
（3）在（2）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组和第5组被甲考官面试的人数之和X 的分布列及X 的数学期望．
19．（本小题满分12分）过点(0,1)F 作直线l 与抛物线2
4x y =相交于点A 、B 两点，圆C ：
22(1)1x y ++=．
（1）抛物线在点B 处的切线恰好与圆C 相切，求直线l 的方程； （2）过点A 、B 分别作圆C 的切线BD 、AE ，试求
222
||||||AB AE BD --的取值范围．
20．（本小题满分12分）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别为AB 、AC 、BC 上的点，且满足
1AE FC CP ===．将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面
角，连结1A B 、1A P （如图2）．
（1）求证：1A E ⊥平面BEP ；
（2）求直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小．
21．（本小题满分12分）已知函数()f x 满足2(2)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，()ln f x x ax =+（1
2
a <-
），当(4,2)x ∈--时，()f x 的最大值为4-． （1）求(0,2)x ∈时函数()f x 的解析式；
（2）是否存在实数b
使得不等式
()x b
f x x
->+(0,1)(1,2)x ∈U 时恒成立，若存在，求出
实数b 的取值集合；若不存在，说明理由．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】
如图，CB 是O e 的直径，AP 是O e 的切线，AP 与CB 的延长线交于点P ，A 为切点．若10PA =，5PB =，BAC ∠的平分线AE 与BC 和O e 分别交于点D 、E ．
（1）求AC 、AB 的长； （2）求AD AE ⋅的值． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】
A 1
E
B
P
C
F
在极坐标系中，O 为极点，半径为2的圆C 的圆心的极坐标为(2,
)3
π．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）在以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立的直角坐标系中，直线l
的参数方程为
11,22,2
x t y ⎧=+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩（t 为参数），若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且已知定点(1,2)M -，求||||MA MB ⋅．
24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】
已知()|1||1|f x x x =++-，不等式()4f x <的解集是M ． （1）求M ；
（2）当,a b M ∈时，证明：2|||4|a b ab +<+．
数学试题参考答案
一、选择题，本题考查基础知识，基本概念和基本运算能力
二、填空题．本题考查基础知识,基本概念和基本运算技巧 13． 14． 15． 16．
三、解答题 17．。