(完整)初中数学专题训练--圆--圆的内接四边形

例 圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数的比是3﹕2﹕7，求四边形各内角度数． 解：设∠A 、∠B 、∠C 的度数分别为3x 、2x 、7x ．
∵ABCD 是圆内接四边形．∴∠A +∠C=180°即3x+7x=180°，
∴x=18°，
∴∠A=3x=54°，∠B=2x=36°，∠C=7x=126°， 又∵∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°一36°＝144°．
说明：①巩固性质；②方程思想的应用．
例 （2001厦门市，教材P101中17题）如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，AD 与三角形ABC 的外接圆相交于D ．求证：DB=DC ．
分析：要证DB=DC ，只要证∠BCD=∠CBD ，充分利用条件和圆周角的定理以及圆内接四边形的性质，即可解决．
证明：∵AD 平分∠EAC ，∴∠EAD =∠DAC ， ∵∠EAD 为圆内接四边形ABCD 的外角，∴∠BCD=∠EAD ，
又∠CBD=∠DAC ，
∴∠BCD=∠CBD ，∴DB=DC ．
说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁．
例 如图，△ABC 是等边三角形，D 是上任一点，求证：DB+DC=DA ．
分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法都可以证明．
证明： 延长DB 至点E ，使BE=DC ，连AE ． 在△AEB 和△ADC 中，BE=DC ．
△ABC 是等边三角形．∴AB=AC ．
∵ 四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形， ∴∠ABE=∠ACD ．
∴△AEB ≌△ADC ． ∴∠AEB=∠ADC=∠ABC ． ∵∠ADE=∠ACB ，
又 ∵∠ABC=∠ACB ＝60°， ∴∠AEB=∠ADE=60°．
∴△AED 是等边三角形，∴AD=DE=DB+BE ． ∵BE=DC ，∴DB+DC=DA ．
说明：本例利用“截长”和“补短”法证明．培养学生“角相等的灵活转换”能力．在圆中，圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视．
典型例题四
例 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，CD AH ⊥，如果︒=∠30HAD ，那么=∠B （ ）
A ．90°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
解：,90,30︒=∠︒=∠AHD HAD
A
B
C
D E
A
B C D
E
O
︒=∠∴60D ，
由圆内接四边形的对角和是180°，得︒=∠120B ，故选B. 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.”这个定理很重要，要正确运用.
典型例题五
例 如图，已知：⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，P 是⊙1O 上任意一点，P A 、PB 的延长线交⊙2O 于点C 、D ，⊙1O 的直径PE 的延长线交CD 于点M .
求证：CD PM ⊥.
分析：要证CD PM ⊥，即证︒=∠+∠90D DPM ，连结公共弦AB 及EB ，即得证.
证明：连结AB 、EB ，在⊙中，PEB PAB ∠=∠.
∵ABCD 为⊙2O 的内接四边形.
.,D PEB D PAB ∠=∠∠=∠∴
∵PE 为⊙1O 的直径..90︒=∠PBE
.
90.
90.90︒=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠∴DMP D DPM PEB DPM
即CD PM ⊥.
说明：连接AB 就构造出圆内接四边形性质定理的基本图形.
典型例题六
例 如图，AD 是ABC ∆外角EAC ∠的平分线，AD 与ABC ∆外接⊙O 交于点D ，N 为BC 延长线上一点，且DN CD CN ,=交⊙O 于点M .
求证：（1）DC DB =；
（2）.2
DN CM DC ⋅=
分析：（1）由于DB 与DC 是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与
圆内接四边形的基本性质得到：（2）欲证乘积式.2
DN CM DC ⋅=，只须证比例式
DC CM DN DC =，也即CN
CM
DN DC =，这只须要证明DCM ∆∽DNC ∆即可. 证明 （1）连结DC.
∵AD 平分EAC ∠，
∴.DBC DAC EAD ∠=∠=∠ 又ABCD 内接于⊙O ， ∴.DCB EAD ∠=∠ 故.DCB DBC ∠=∠ .DC DB =∴
（2）.,180180NDC CDM DCN DCB DBC DMC ∠=∠∠=∠-︒=∠-︒=∠Θ ∴DMC ∆∽DCN ∆，故DN
CM
CN CM DN DC =
=. ∴.2
DN CM DC ⋅=
说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法.本题曾是1996年南昌市中考试题.
典型例题七
例 如图，已知四边形ABCD 是圆内接四边形，EB 是⊙O 的直径，且AD EB ⊥，AD 与BC 的延长线相交于.F 求证：DC
BC
FD AB =
. 证明 连结AC .∵ EB AD ⊥. ∴
.∴ DAB ACB ∠=∠.
∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴ .,ABC FDC DAB FCD ∠=∠∠=∠∴ FCD ACB ∠=∠. ∴ ABC ∆∽FDC ∆.∴
DC
BC
FD AB =
. 说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ∆，再证ABC ∆∽FDC ∆.易错点是不易想到证ACB FCD ∠=∠而使解题陷入困境或出现错误.
典型例题八
例 如图，已知四边形ABCD 内接于半圆O ，AB 是直径，DC AD =，分别延长BA ，CD 交于点E ，EC BF ⊥，交EC 的延长线于F ，若12,==BC AO EA ，求CF 的长.
解 连结OD ，BD .∵DC AD =，
的度数AOD ∠=.
∴.//BC OD
∴
EB
EO
BC OD =
. .24,16.8.32
12,12,==∴=∴=∴
===EB AB OD OD BC
BO
AO EA Θ
ABCD Θ内接于⊙O ，∴.EBC EDA ∠=∠
又 E ∠公用，∴EDA ∆∽EBC ∆. ∴EB
ED
EC EA BC AD =
=. 设y ED x DC AD ===,，则有
y
x y x +==82412. ∴24=x . ∴24=AD .
AB Θ为⊙O 的直径，∴.90︒=∠=∠F ADB 又.FCB DAB ∠=∠ ∴Rt ADB ∆∽Rt .CFB ∆
∴
.BC
AB
CF AD =即
.121624=CF ∴.23=CF 说明 本题主要考查圆内接四边形的性质，解题关键是作出辅助线.
典型例题九
例 （海南省，2000） 如图，AB 是⊙O 的直径，弦（非直径）AB CD ⊥，P 是⊙O 上不同于D C ,的任一点.（1）当点P 在劣弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论；（2）当点P 在优弧CD 上运动时，APC ∠与APD ∠的关系如何？请证明你的结论（不要讨论P 点与A 点重合的情形）
分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理来解决.
解 ∵弦AB CD ⊥，AB 是直径，∴
∴（1）.APD APC ∠=∠
（2）.180︒=∠+∠APD APC
（如图中虚线所示）.
选择题
1．在圆的内接四边形ABCD 中，A ∠和它的对角C ∠的度数的比为1：2，那么A ∠为（ ）
A．30°B．60°C．90°C．120°
2．四边形ABCD内接于圆，A
∠、B
∠、C
∠、D
∠的度数依次可以是（）A．1：2：3：4 B．6：7：8：9 C．4：1：3：2 D．14：3：1：12
3.四边形ABCD内接于圆，A
∠、B
∠、C
∠、D
∠的度数比依次可以是（）
A．4:3:2:1B．1:3:2:4C．2:1:3:4D．2:3:1:4
4.如图，四边形ABCD内接于⊙O，︒
=
∠110
BOD，那么BCD
∠的度数为（）
A．︒
125B．︒
110C．︒
55D．︒
70
5. 如图，⊙
1
O与⊙
2
O交于A、B两点，且⊙
2
O过⊙
1
O的圆心
1
O，若︒
=
∠40
M，则N
∠等于（）
A．︒
40B．︒
80C．︒
100D．︒
70
6. 圆内接平行四边形一定是（）
（A）矩形（B）正方形（C）菱形（D）梯形
7．已知AB、CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC一定是（）
A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形
8、四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是( )
（A）1﹕2﹕3﹕4 （B）7﹕5﹕10﹕8
（C）13﹕1﹕5﹕17 （D）1﹕3﹕2﹕4
9、若ABCD为圆内接四边形，AE⊥CD于E，∠ABC=130°，则∠DAE为（）（A）50°（B）40°（C）30°（D）20°
10、如图，圆内接四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线
相交于P，对角线AC和BD相交于点Q，则图中共有相似的三
角形( )
（A）4对（B）3对
（C）2对（D）1对
11．如图，在ABC
∆，AD是高，ABC
∆的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：（1）CD
BD
AD⋅
=
2；（2）AE
EG
BE⋅
=
2；（3）AC
AB
AD
AE⋅
=
⋅；
（4）CG
BG
EG
AG⋅
=
⋅.其中正确的结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．已知：如图，劣弧，那么D
B∠
+
∠的度数是（）
A
C
D
P
Q
A ．320°
B ．160°
C ．150°
D ．200° 13．钝角三角形的外心在（ ）
A ．三角形内
B ．三角形外
C ．三角形的边上
D ．上述三种情况都有可能 14．圆内接平行四边形的对角线（ ）
A ．互相垂直
B ．互相垂直平分
C ．相等
D ．相等且平分每组对角 15．如图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且3,7,5====B
E AC CD AB ，下列命题错误的是（ ）
A ．DCE ABE ∆≅∆
B ．︒=∠45BDA
C ．5.24=ABC
D S 四边形 D ．图中全等的三角形共有2对
答案：
1．B 2．D 3.C 4. A 5. D 6、A ；7．A 8、C ； 9、B ； 10、A. 11．B 12．B 13．B 14．D 15．D.
填空题
1. 已知ABCD 是圆内接四边形，若∠A 与∠C 的度数之比是1﹕2，则∠A 的度数是 度．
2. 若A ，B ，C ，D 四点共圆，且∠ACD 为36°，则
所对的圆心角的度数是 度．
3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2﹕1﹕7，则这个四边形的最大角的度数为 度．
4. 圆上四点A 、B 、C 、D ，分圆周为四段弧，且
=4:3:2:1，则
圆内接四边形ABCD 的最大角是_________
5. 圆内接四边形ABCD 中，若EBC ∠是ABC ∠相邻的一个外角，且︒=∠105EBC ，
︒=∠93C ，则______=∠D ，______=∠A ，若3:2:1::=∠∠∠C B A ，则
______=∠D ，______=∠A
6. 四边形ABCD 内接于圆，A ∠、C ∠的度数之比是4:5，B ∠比D ∠大︒30，则
______=∠A ，______=∠D
7. 圆内接梯形是________梯形，圆内接平行四边形是_________
8．圆内接四边形ABCD 中，如果4:3:2::=∠∠∠C B A ，那么______=∠D 度. 9．在圆内接四边形ABCD 中，5:3:4::=∠∠∠C B A ，则______=∠D .
10．如图，在圆内接四边形ABCD 中，α
=
︒
=
∠
=AC
BAD
AD
AB,
30
,，则四边形ABCD
的面积为________.
11．如图，把正三角形ABC的外接圆对折，使点A落在的中点A'，若5
=
BC，则折痕在ABC
∆内的部分DE长为_______.
答案：
1. 60°；
2. 72°；
3.160°;
4. ︒
126 5. ︒
105，︒
87，︒
90，︒
45;6. ︒
100，︒
757. 等腰，
矩形.8．90 9．120°10．2
4
3
a11．
3
10
.
判断题
1. 顶点在圆上的角叫做圆周角；（）
2. 相等的圆周角所对的弧相等；（）
3. 直角所对的弦是直径；（）
4. 在圆中，同一弦上的两个圆周角相等或互补；（）
5. 弓形含的圆周角为︒
120，则弓形弧也为︒
120；（）
6. 四边形的对角互补.（）
答案:
1. ×
2. ×
3. ×
4. √
5. ×
6. ×.
解答题
1、如图，已知：ABCD为圆内接四边形，（1）若DB∥CE，求证：
AD﹕BC=CD﹕BE；（2）若AD﹕BC=CD﹕BE，求证：DB∥CE ．
2、已知：⊙O中，直径AB垂直弦CD于H，E是CD延长线上一点，AE交⊙O于F．求证：∠AFC=∠DFE．
3．如图，已知四边形ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于E，且DBA
CBE∠
=
∠，求证：BD
EC
BE
AD⋅
=
⋅
B
C
D
O
4．如图，点A 、D 在⊙O 上，以点A 为圆心的⊙A 交⊙O 于B 、C 两点，AD 交⊙A 于点E ，交BC 于点F ，求证：AD AF AE ⋅=2
5．已知圆内接四边形，ABCD 中，4:5:2::=∠∠∠C B A ，求最小的角。

6．如图，在ABC ∆中，AC AB =，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，ABD ∆的外接圆交BC 于E .求证：CE AD =
7．如图，ABC ∆是圆内接正三角形，P 为劣弧
上一点，已知6,72==PA AB .（1）
求证：PA PC PB =+；（2）求PB 、PC 的长（PC PB <）.
8．如图，已知：菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，⊙O '是ABD ∆的外接圆，E 是⊙O '上的一点，连结AE 并延长与BD 的延长线相交于点F .求证：
AF AE BD AC ⋅=+422.
9．如图，BC 是⊙O 的直径，BC AD ⊥，垂足为D ，
，BF 交AD 于点E .
（1）求证BF BE AF ⋅=2；
（2）若2,1==AD BD ，求DBE ∠tan 的值.
10．已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，︒=∠︒=∠90,60ADC BAD ，AB 的延长线交DC 延长线于点E ，过A 作AB 的垂线交圆于点F ，交CD 延长线于点G .
（1）求证：BC AF =；
（2）求证：BE AD DE AF ⋅=⋅；
（3）设AD AB ⋅的长分别为a 、b 求CE 的长.
答案：
1. 提示：连结AC ，证明△ADC ∽△CBE 即可；
2. （略） 3．提示：证EBC ∆∽DBA ∆
4．提示：连AB 证ABF ∆∽ADB ∆，得AD AF AB ⋅=2，又AE AB =，AD AF AE ⋅=∴2 5．︒30
6．提示：连结DE 证AE AD =，再证CF DE =
7．（1）延长CP 到M ，使PB PM =.连结BM ，证CBM ABP ∆≅∆；（2）4,2==PC PB 8．连结BE .AEB ∆∽ABF ∆得AF AE AB ⋅=2.由勾股定理可得 9．（1）连结AB 、AC ，证BE FB AB ⋅=2
；（3）
4
3
10．（1）连结CF ，证四边形ABCF 为矩形；（2）BCE ∆∽DAE ∆；（3）)2(3
3
2a b EC -=
1. 如下图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠AOC ＝100°，则∠B ＝ ，∠D ＝ .
2、如下图，已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且AB=CD=5，AC=7，BE=3，下列命题错误的是
A 、△AED ∽△BEC
B 、∠AEB=90º
C 、∠BDA=45º
D 、图中全等的三角形共有2对.
A B
C O
A D O E
3. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 在BC 延长线上，若∠=︒A 50，则∠DCE 等于（ ） A. 40︒
B. 50︒
C. 70︒
D. 130︒
4．如图，已知⊙O 中∠AOB 度数为100°，Ｃ是圆周上的一点，则∠ACB 的度数为 （A ） 130° （B ） 100°
（C ） 80° O
（D ） 50° A B
参考答案: 1. 0
50 、0
130 2. D 3. B 4. A.。