构造“弦图”巧解题
中考数学几何模型之弦图模型（解析版）
中考数学几何模型之弦图模型（解析版）中考数学几何模型：弦图模型名师点睛拨开云雾开门见山弦图模型，包含两种模型：内弦图模型和外弦图模型.（一）内弦图模型：如图，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH ⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.注意局部弦图（二）外弦图模型：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH.包含“一线三垂直”典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB，AC向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG，若AB=12，BC=16，求△AEG的面积.变式练习>>>1．如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE，以CE为边作正方形CEFG，点D，F在直线CE的同侧，连接BF，若AE=1，求BF的长.例题2. 如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF，该正方形的中心为点O，连接AO.若AB=4，AO=62，求AC的长.变式练习>>>2．如图，点A，B，C，D，E都在同一条直线上，四边形X，Y，Z都是正方形，若该图形总面积是m，正方形Y的面积是n，则图中阴影部分的面积是___________.例题3. 如图，在△ABC 中，∠BAC=45°，D 为△ABC 外一点，满足∠CBD=90°，BC=BD ，若=4.5ACD S △，求AC 的长.变式练习>>>3．点P 是正方形ABCD 外一点，PB=10cm ，△APB 的面积是60cm 2，△CPB 的面积是30cm 2．求正方形ABCD 的面积.例题4. 在边长为10的正方形ABCD 中，内接有6个大小相同的正方形，P 、Q 、M 、N 是落在大正方形边上的小正方形的顶点，如图所示，求这六个小正方形的面积.变式练习>>>4．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为1+．【解答】解：在△AOM和△BAN中，，∴△AOM≌△BAN（AAS），∴AM＝BN＝，OM＝AN＝，∴OD＝+，BD＝﹣，∴B（+，﹣），∴双曲线y＝（x＞0）同时经过点A和B，∴（+）?（﹣）＝k，整理得：k2﹣2k﹣4＝0，解得：k＝1±（负值舍去），∴k＝1+；故答案为：1+．例题 5. 如图，在等腰Rt △ACB 和等腰Rt △DCE 中，∠AXB=∠DCE=90°，连接AD ，BE ，点I 在AD 上，（1）若IC ⊥BE ，求证：I 为AD 中点；（2）若I 为AD 中点，求证：IC ⊥BE例题6. 在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为2y x b =+，其与x 轴交于点A,与y 轴交于点B ，在直线l 移动的过程中，直线y=4上是否存在点P ，使得△PAB 是等腰直角三角形，若存在，请求出满足条件的所有点P 的坐标，如不存在，请说明理由.。
三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型(学生版+解析版)
三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。
弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久远，被誉为“中国数学界的图腾”。
弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学思想渗透的绝佳载体。
一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，它就是数学教育里的不老神话。
广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。
模型1、弦图模型(1)内弦图模型：如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E，BF⊥CG于点F，CG⊥DH于点G，DH⊥AE于点H，则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
图1图2图3(2)外弦图模型：如图2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；S正方形ABCD =4S△EAB+S正方形EFGH。
(3)内外组合型弦图模型：如图3，2S正方形EFGH =S正方形ABCD+S正方形PQMN.1(2023秋·湖北·九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且a2+b2=ab+10，那么图中小正方形的面积是()A.2B.3C.4D.52(2022·安徽安庆·八年级期末)汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD =45，则△ADE的面积为()A.24B.6C.25D.2103(2023·山西八年级期末)如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6,BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A.24B.52C.61D.764(2022·杭州九年级月考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3=12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是()A.S1=2B.S2=3C.S3=6D.S1+S3=85(2023·广东·九年级专题练习)公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”(如图1)中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形MNPQ，记空隙处正方形ABCD，正方形EFGH的面积分别为S1，S2S1>S2，则下列四个判断：①S1+S2=14S四边形MNPQ②DG=2AF；③若∠EMH=30°，则S1=3S2；④若点A是线段GF的中点，则3S1=4S2，其中正确的序号是模型2. 勾股树模型6(2022·福建·八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A、B、C、D的边长分别为3，4，1，2．则最大的正方形E的面积是．7(2022·浙江·乐清市八年级期中)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是()A.S 甲=S 丁B.S 乙=S 丙C.S 甲-S 乙=S 丁-S 丙D.S 甲+S 乙=S 丙+S 丁8(2022·河南八年级期末)如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，⋯按照此规律继续下去，则S 9的值为()A.126B.127C.128D.1299(2023春·山东菏泽·八年级校考阶段练习)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2023代勾股树中所有正方形的面积为．10(2023·浙江八年级期中)如图，以Rt △ABC 的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积分别为S 1、S 2，Rt △ABC 的面积S 3．若S 1=4，S 2=8，则S 3的值为．11(2022春·浙江温州·九年级校考开学考试)如图1，是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”．如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，以其三边为边分别向外作正方形，延长EC ，DB 分别交GF ，AH 于点N ，K ，连接KN 交AG 于点M ，若S 1S 2=916，则tan ∠ACB 为()A.12B.23C.34D.51212(2023·贵州遵义·统考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB =90°，分别以Rt △ABC 的三条边为边向外作正方形，连接BE ，DG 、BE ，交AC 于点Q ，若∠BAC =30°，BC =2，则四边形EQGD 的面积是．13(2023秋·浙江·八年级专题练习)【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．【实践操作】(1)请叙述勾股定理；(2)验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的验证方法中任选一种来验证该定理：(以下图形均满足验证勾股定理所需的条件)【探索发现】(3)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(4)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系并说明理由．课后专项训练1(2022·云南九年级一模)如图是按照一定规律“生长”的“勾股树”：经观察可以发现：图(1)中共有3个正方形，图(2)在图(1)的基础上增加了4个正方形，图(3)在图(2)的基础上增加了8个正方形，⋯⋯，照此规律“生长”下去，图(6)应在图(5)的基础上增加的正方形的个数是()A.12B.32C.64D.1282(2022·浙江初三期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若图2中阴影部分的面积为2，且AB+AC=8，则BC的长为()图1图2A.42B.6C.254D.1323(2023·浙江·杭州八年级阶段练习)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以△ABC的三边为边作正方形ABDE，正方形BCFG，正方形ACHI，AI交CF于点J．三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形BGFJ的面积为S1，四边形CHIJ的面积为S2，若S1-S2=12，S△ABC=4，则正方形BCFG的面积为()A.16B.18C.20D.224(2023春·湖北黄冈·八年级统考期中)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则EF 的长为()A.9B.92C.32D.35(2022·四川成都·模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边上的两顶点旋转得到图2．则图2中阴影部分面积等于()A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积6(2023春·广东潮州·九年级校考期末)我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就．如图所示的“弦图”，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为12，则小正方形ABCD 的面积的大小为()A.144B.100C.49D.257(2023春·湖北武汉·八年级统考期末)大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形ABCD ，中空的部分是小正方形EFGH ，连接EG ，BD 相交于点O ，BD 与HC 相交于点P ，若GO =GP ，则直角三角形的边CG 与BG 之比是()A.12B.25C.2-1D.3-28(2023春·江苏泰州·七年级统考期末)大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(如图1)．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC 为等边三角形，AD 、BE 、CF 围成的△DEF 也是等边三角形．已知点D 、E 、F 分别是BE 、CF 、AD 的中点，若△ABC 的面积为14，则△DEF 的面积是()A.1B.2C.3D.49(2023·河北石家庄·校考二模)如图1，毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．在图2中，∠ACB=90°，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，连接BE，DG，BE交AC于点Q．若∠BAC=30°，BC=2，则四边形EQGD的面积是()B.23C.53+3D.3A.53+3210(2023·江苏扬州·统考中考真题)我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b-a=4，c=20，则每个直角三角形的面积为．11(2022秋·四川成都·八年级校考期中)“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票(如图1)，欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,DG,CM分别与AB,BE相交于点P,Q．若∠ABE=30°，则DGQM的值为.12(2022春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中)如图①，在Rt△ACB中∠ACB=90°，分别以AC、BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S1、S2、S3，请解答以下问题：(1)S1、S2、S3满足的数量关系是．(2)现将△ABF向上翻折，如图②，若阴影部分的S甲=6、S乙=5、S丙=4，则S△ACB=．13(2023·湖北孝感·统考三模)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为．14(2022·山东临沂·统考二模)中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图”，开创了“以形证数”的思想方法．在图中，小正方形ABCD的面积为1，如果把它的各边分别延长一倍得到正方形A1B1C1D1(如图1)，则正方形的面积为；再把正方形A1B1C1D1的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2(如图2)，如此进行下去，得到的正方形A n B n C n D n的面积为(用含n的式子表示，n为正整数)．15(2023·浙江台州·八年级校考期中)如图1，是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互联通，已知∠ACB=90°，AC=6，BC=8，开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为；(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O(正方形两条对角线的交点)，则Ⅱ中有水部分的面积为．16(2023·湖北黄冈·统考中考真题)如图，是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形．设图中AF=a，DF=b，连接AE,BE，若△ADE与△BEH的面积相等，则b2a2+a2b2=．17(2023·江苏徐州·统考二模)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH．连接AC，若AG平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为2，则正方形ABCD的面积为．18(2023·陕西渭南·统考二模)魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形ABCD、四边形BFGH和四边形AFMN都是正方形，BF交CD于E，若DE=2，CE=4，则BF的长为．19(2022·宁夏吴忠·统考一模)2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1)，且大正方形的面积是17，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，则图2中最大的正方形的面积为31．试求图1中小正方形的面积是为．20(2023·山东济宁·统考二模)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”(如图1)，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．勾股定理内容为：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2．(1)如图2、3、4，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有个；(2)如图5所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图6所示的“勾股树”．在如图7所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1=∠2=∠3=∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：(结果可用含m的式子表示)①a2+b2+c2+d2=；②b与c的关系为，a与d的关系为．21(2022·湖南·八年级课时练习)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理．(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长24，OC=3，求该飞镖状图案的面积．(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3，若S1+S2+S3=40，求S2．22(2023·广东深圳·校联考三模)中华文明源远流长，如图①是汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称之为赵爽弦图，被誉为中国数学界的图腾．2002年北京国际数学家大会依据赵爽弦图制作了会标，该图有4个全等的直角三角形围成几个大正方形和中间一个小正方形，巧妙的证明了勾股定理．问题发现：如图①，若直角三角形的直角边BC=3，斜边AB=5，则中间小正方形的边长CD=，连接BD，△ABD的面积为．知识迁移：如图②，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，当∠BPC=90°，BP=10时，△PAB的面积为．拓展延伸：如图③，已知∠MBN=90°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交射线BM，BN分别于A，C两点．(1)已知D为线段AB上一个动点，连接CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E；在CE上取一点F，使EF=BE；过点F作GF⊥CD交BC于点G，试判断三条线段BE，DE，GF之间的数量关系，并说明理由．(2)在(1)的条件下，若D为射线BM上一个动点，F为射线EC上一点；当AB=10，CF=2时，直接写出线段DE的长．三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，相关的题目有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。
中考数学几何模型 第6讲弦图模型(解析版)
中考数学几何模型第6讲弦图模型(解析版)中考数学几何模型第6讲弦图模型(解析版)弦图模型是中考数学中的一个重要概念，它在解决几何问题中起到了重要的作用。
本文将为大家介绍弦图模型的概念、性质以及应用，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
1. 弦图模型的概念弦图是指在一个平面上画出的一条封闭曲线，该曲线穿过图中的所有顶点，而且没有自交。
而弦图模型就是利用弦图的特性来解决几何问题的一种方法。
2. 弦图模型的性质弦图中有几个重要的性质，包括弦的交点、弦的性质以及连接弦和圆心的关系。
首先是弦的交点，对于任意的弦，其交点一定在圆心上。
这是由于封闭曲线的特性所决定的。
其次是弦的性质，弦分为三种情况：直径、割线和弦。
直径是连接圆上任意两点的弦，割线是不通过圆心的弦，而弦则是连接圆上任意两点的弦。
最后是连接弦和圆心的关系，对于任意一条弦和圆心，连接它们的线段被称为弦上的垂线，垂线平分弦，且垂线所垂直弦的两条弧相等。
3. 弦图模型的应用弦图模型在解决几何问题时有广泛的应用，可以帮助我们快速、准确地得到问题的解答。
应用一：利用弦图模型证明几何定理。
弦图模型可以通过连接弦和圆心的关系来证明一些几何定理，比如证明割线的性质、直径的性质等。
应用二：求解几何问题。
弦图模型可以帮助我们求解一些几何问题，比如求弦长、角度等。
通过利用弦图的性质，我们可以建立方程组，进而解得所求的未知数。
应用三：构造几何图形。
弦图模型可以用来构造一些特定的几何图形，如正多边形、相似图形等。
通过利用弦图的性质，我们可以找到适当的弦长度，从而得到我们想要构造的图形。
4. 弦图模型的解题技巧在运用弦图模型解题时，我们需要注意一些技巧，以便能够更好地应用这一模型。
首先是要熟练掌握弦图的性质，包括弦的交点、弦的性质以及连接弦和圆心的关系。
只有深入理解这些性质，才能在解题中运用自如，做到有的放矢。
其次是要通过观察题目中给出的条件，找到与弦图模型相关的部分。
有时候，题目中的条件并不明显，我们需要通过转化或运用其他知识来抓住其中的关键信息。
第1讲 巧解“弦图”与面积(解析)
第一讲巧解“弦图”与面积“弦图”是由八个完全一样的直角三角形组拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形，如图所示。
“弦图”的特点：(1)小长方形长宽之和＝大正方形边长；(2)小长方形长宽之差＝小正方形边长。
根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。
(1) 一张5×5的方格纸，每个方格都编了号码（如下图）。
挖去一个方格后，可以剪成8个1×3的长方形，那么应挖去的方格的编号是几？答案：挖去13号解析：利用弦图的方法，画一画，便很容易看出，挖去的方格的编号应为13。
剪成的8个长方形分别是：（1）1号、6号、11号；（2）2号、7号、12号；（3）3号、4号、5号；（4）8号、9号、10号；（5）14号、19号、24号；（6）15号、20号、25号；（7）16号、17号、18号；（8）21号、22号、23号。
结果如右上图。
(2)用同样的长方形条砖，在一丛花的周围镶成一个正方形边框（见下图）。
边框的外周长为264厘米，里面小正方形的面积为900平方厘米。
问：每块长方形条砖的长与宽各是多少厘米？答案：长：24；宽：18解析：由题中信息可以先求到大正方形与小正方形的边长。
（1）900＝30×30 →小正方形的边长为30厘米（2）大正方形的边长：264÷4＝66（厘米）（3）观察图形可知：2长＋1宽＝66→①2长－1宽＝30→②（4）利用消去法将①、②相加可得：长为：（66＋30）÷4＝24（厘米）宽为：66－24×2＝18厘米(3)大、小两个长方形摆成如下图所示的形状，小长方形的长是宽是2倍。
如果大、小两个长方形对应边之间的距离是1厘米，夹在大、小两个长方形之间那部分图形的面积是40平方厘米，那么大、小长方形的面积各是多少平方厘米？答案：大：112；小：72解析：四个角上是边长为1厘米的小正方形，图中最小的长方形的宽为1厘米。
几何第17讲_弦图(学生版)A4
勾股弦方图是一种证明勾股定理的图像，具体来说就是：用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．在这幅“勾股弦方图”中，以弦为边长的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的．每个直角三角形的面积为(2)a b ⨯÷；中间的小正方形边长为()b a -，则面积为2()b a -．于是便可得如下的式子：22 4(2)()a b b a c ⨯⨯÷+-=，化简后便可得：222a b c +=．重难点：弦图的实际应用． 题模一：正方形弦图例1.1.1如图，大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，则中间小正方形的面积为_____．例1.1.2如右图，直角三角形PQR 的两个直角边分别为5厘米，9厘米问下图中3个正方形面积之和比4个三角形面积之和大多少？例1.1.3如图，四边形CDEF 是正方形．四边形ABCD 是等腰梯形，它的上底4AD =厘米，下底8BC =厘米．求三角形ADE 的面积．几何第17讲_弦图a b例1.1.4如下图所示，五边形ABCDEF 面积是2014平方厘米，BC 与CE 垂直于C 点，EF 与CE 垂直于E 点，四边形ABDF 是正方形，:3:2CD DE ．那么，三角形ACE 的面积是多少平方厘米？题模二：一般四边形弦图例1.2.1如果长方形ABCD 的面积是562cm ，那么四边形MNPQ 的面积是多少2cm ？例1.2.2如图，将矩形ABCD 分成15个大小相等的正方形，E 、F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 、CD 边上，且是某个 小正方形的顶点，若四边形EFGH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积为多少？EABCDFFEDC BA235 C PBNAMDQ AF BGCHD E例1.2.3图中外侧的四边形是一个边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．例1.2.4有5个长方形，它们的长和宽都是整数，且5个长和5个宽恰好是1～10这10个整数；现在用这5个长方形拼成1个大正方形，那么，大正方形面积的最小值为多少?随练 1.1如图，三角形ABC 是直角三角形，四边形ACDE 、FGBA 都是正方形6AB =， 8BC =，那么三角形AEF 的面积是多少？随练1.2如图6，阴影小正方形的边长是2，最外面的大正方形的边长是6，则正方形ABCD 的面积是___________．随练1.3图中外侧的四边形是一个边长为12的正方形，那么阴影部分的面积是________．2厘米 3厘米FEDCBAGDCBA图6作业1以三角形ABC 的两条边为边长，做两个正方形BDEC 和ACFG ．已知三角形ABC 与正方形BDEC 的面积比，以及正方形BDEC 和ACFG 的边长的比都是3：5，求三角形CEF 与整个图形面积的最简整数比是多少？作业2在边长等于5的正方形内有一个平行四边形（如图），这个平行四边形的面积为__________．作业3如图，图中最大的长方形面积是27，最小的长方形面积是5，求阴影部分的面积__________．作业4如图，在边长为20的正方形中，有一个四边形，那么阴影部分的面积是_______．34DEFGCBA。
小升初的考试形式分析几何题心算技巧(三)弦图
2019育才双语，实验北小升初的考试形式分析几何题心算技巧（三）弦图
弦图是中国古代数学家赵爽提出，并用它证明了勾股定理。
现在的小学奥数中，利用弦图来解几何题是非常好用的，掌握熟练，可以心算一些类型的几何题。
例题：如图正方形ABCD中，GH=5，EF=4，阴影部分面积是120，求正方形ABCD的面积。
这道题的阴影面积是无法直接计算的，表面看来是无从下手，但是通过构
造弦图
可知中间的小长方形的面积是4×5=20，小长方形周围的四个阴影三角形和阴影外围的四个白三角形面积相等。
所以大正方形的面积是（120-20）×2+20=220
巧妙利用弦图，完全可以快速的心算出答案。
下面再看一道题
例题：正方形ABCD，DE=4，长方形BCEF的面积是16.25，求正方形ABCD的边长
如果可以用笔，可以列方程设正方形ABCD的边长是x，则x（x-4)=16.25
但是需要会解一元二次方程。
我们利用长方形BCEF构造弦图
中间的小正方形面积是4×4=16，四个长方形的面积是16.25×4=65 所以大正方形的面积是16+65=81，边长是9
长方形BCEF的：长+宽=9；长-宽=4；
又变成了最熟悉的和差问题，
正方形ABCD的边长=（9+4）÷2=6.5。
应用“构造法”解题例析
应用“构造法”巧解数学问题例析河北省隆化县职业中学 曹瑞民（068150）构造法是初中数学的一种重要的数学方法，利用构造法可以巧妙的解决数学中的很多难题。
一、构造矛盾，巧证几何题例1、 求证：两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
证明：如图1，已知∆ABC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠,的平分线。
BD=CE ，要证AB=AC 。
假设AB ,AC ≠不妨设AB>AC,则有ACB ∠>ABC ∠ A因而ACE ∠>ABD ∠构造ECF ∠=ABD ∠. F设CF 分别交AB 、BD 于G ，则CEF BFG ∆≈∆。
E G D 即BF ：CF=BG ：CE但BF>CF ∴BG>CE B C BD>BG ∴ BD>CE (图1)这显然与已知BD=CE 相矛盾，故AB ≠AC 的假设不成立，而必有AB=AC 。
二、构造对偶式，巧求非对称式的值例2、设x 21x 是方程x 2＋5x ＋2=0的两根，不解方程；求21x x 的值。
分析：21x x 是非对称式，构造其对偶式12x x （即将21x x 中的2,1x x 互换位置）以后，组合成对称式再进行运算。
22124)5(2)(11,221212212122211221=--=-+=+=+∴==x x x x x x x x x x y y y x x y x x 则解：设即2y 2－21y ＋2=0,解之得 4175212,1±=y 三、构造方程，巧解几何最值问题例2、 如图2，平行四边形MNPQ 的一边在ABC ∆的边BC 上， A 另两个顶点分别在AB ，AC 上。
M H N 求证：平行四边形MNPQ 的面积的最大值为ABC ∆面积的一半。
分析：题设中出现两个相关图形——平行四边形，三角形；结论是证明面积最值问题，面积问题自然联想到作高AG ， 与两个图形面积有关的元素有四个：MN 、HG 、BC 、AG 。
正方形其三：弦图的应用
弦图的应用在勾股定理的证明中，我们学习过赵爽弦图，如下，有△AED ≌△BF A ≌△CGB ≌DHC ．EF GHCDAB稍作变形，若DE ⊥AF ，则可得：△DAE ≌△ABF ．（证明思路类似三垂直模型）一般地，在正方形ABCD 中，若MN ⊥PQ ，则必有MN =PQ ．HMNPQCD AB法一：分别将PQ 、MN 平移至AF 、DE 位置（作平行线）证明AF =DE 即可．E F BA D CQPNM法二：过点P 作PE ⊥BC ，过点N 作NF ⊥AB 交AB 于点F ，易证△PEQ ≌△NFM ．M反之，若已知PQ =MN ，但不一定存在PQ ⊥MN ． 如下：EF =PQ =MN ，但EF 不与MN 垂直．EF BAD CQPNM由位置关系可推数量关系， 但由数量关系未必可推位置关系．其他结论：（1）弦图与对称：对称点连线被对称轴垂直且平分．A'B'MNCD AB将正方形ABCD 沿MN 折叠，则'AA MN 且'AA ⊥MN ． （2）弦图与辅助圆：垂足H 轨迹是个圆弧（定边对直角）以AD 中点M 为圆心，MA 为半径的圆，两端分别的点A 及对角线交点O ． （3）弦图与四点共圆：C 、D 、H 、F 四点共圆．连接DF ，取DF 中点N ，以点N 为圆心，DN 为半径作圆，C 、D 、H 、F 四点共圆． 特别地，若E 、F 分别是AB 、BC 中点，连接CH ，则CH =CD ．证明：∵∠CHD =∠CFD =∠AED =∠CDE ，∴CH =CD ．（4）矩形中的弦图构造：在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AF ⊥DE ，则AF ABDE AD=． ABC DE FH证明：易证△ABF ∽△DAE ，∴AF ABDE AD=．1．（2018·青岛）如图，已知正方形ABCD 的边长为5，点E 、F 分别在AD 、DC 上，2AE DF ==，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为 ．EFGHCDAB【分析】∵AE =DF ，易证△BAE ≌△ADF ， ∴∠ABE =∠DAF ，∵∠DAF +∠BAG =90°，∴∠ABE +∠BAG =90°，∴∠AGB =90°． ∵DF =2，∴CF =3，∴BF ==∴12GH BF ==故GH．2．（2018·聊城）如图，正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，过B 点作BH AE ⊥，垂足为点H ，延长BH 交CD 于点F ，连接AF ． （1）求证：AE BF =．（2）若正方形边长是5，2BE =，求AF 的长．EFH CDAB【分析】（1）易证：△ABE ≌△BCF ，∴AE =BF ． （2）CF =BE =2，DF =3，∴AF =3．（2018·上海）已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP ，DF ⊥AP ，垂足分别是点E 、F ． （1）求证：EF ＝AE ﹣BE ； （2）连接BF ，如果AF DFBF AD=．求证：EF ＝EP ． EFPCDAB【分析】（1）易证△DF A ≌△AEB ，∴AF =BE ，∵EF =AE -AF ，∴EF =AE -BE ． （2）∵△DF A ≌△AEB ，∴AF =BE ，∴BE AF DFBF BF AD==， EFPCDAB∴△BEF ∽△DF A ，易证△BEP ∽△DF A ，∴△BEF ∽△BEP ， 又BE 是公共边，∴△BEF ≌△BEP ，∴EF =EP ．4．（2018·长春）在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点（点E 不与点C 、D 重合），连结BE ．图1图2图3E CDABGMMGBADCFEEF CDAB【感知】如图①，过点A 作AF BE ⊥交BC 于点F ．易证ABF BCE ∆≅∆．（不需要证明） 【探究】如图②，取BE 的中点M ，过点M 作FG BE ⊥交BC 于点F ，交AD 于点G ． （1）求证：BE FG =．（2）连结CM ，若1CM =，则FG 的长为 ．【应用】如图③，取BE 的中点M ，连结CM ．过点C 作CG BE ⊥交AD 于点G ，连结EG 、MG ．若3CM =，则四边形GMCE 的面积为 ．【分析】（1）过点A 作AP ∥GF ，则四边形APFG 是平行四边形，∴AP =FG ，PEFCDABGM又∵GF ⊥BE ，∴AP ⊥BE ，由题意得△ABP ≌△BCE ，∴AP =BE ，∴BE =FG ． （2）如图，若CM =1，则BE =2CM =2，∴FG =BE =2．EFCDABGM（3）若CM =3，BE =6，∵CG ⊥BE ，∴CG =6，考虑四边形GMCE 对角线互相垂直，∴1136922GMCE S ME CG =⋅=⨯⨯=四边形．故四边形GMCE 是面积为9．5．（2019·广西）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是AB 边上的一个动点（点E 与点A ，B 不重合），连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于点G ，交AD 于点F ． （1）求证：△ABF ≌△BCE ；（2）如图2，当点E 运动到AB 中点时，连接DG ，求证：DC DG =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点C 作CM DG ⊥于点H ，分别交AD ，BF 于点M 、N ，求MNNH的值． 图3图2图1NHM E F G CDABBADCGFE E FGCDAB【分析】（1）∵∠ABF +∠CBG =90°，∠BCE +∠CBG =90°，∴∠ABF =∠BCE ，在△ABF 和△BCE 中， ABF BCEAB BCBAF CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABF ≌△BCE （ASA ）．（2）∵∠CDF =∠CGF =90°，故C 、D 、F 、G 四点共圆，连接CF ，取中点O ，点O 即为圆半径．∴∠DGF =∠DCF ，∵点F 是AD 边中点，∴∠FCD =∠FBA =∠BCE ， ∴∠DGF =∠BCE ，∴∠DGC =∠DCG ，∴DG =DC ． （3）tan ∠DGC =tan ∠DCG =2，∴1tan 2GCN ∠=， 不妨设BC =，则BG =a ，CG =2a ，∴NG =a ，CN=， 又CH ，∴NH =． 易证3tan4DCM ∠=，∴CM，∴MN =． ∴54MH NH =．6．（2018·杭州）如图，在正方形ABCD 中，点G 在边BC 上（不与点B ，C 重合），连结AG ，作DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ，设BGk BC=． （1）求证：AE ＝BF ．（2）连结BE ，DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β．求证：tan α＝ktan β．（3）设线段AG 与对角线BD 交于点H ，△AHD 和四边形CDHG 的面积分别为S 1和S 2，求21S S 的最大值． EFGCDAB【分析】（1）易证△AED ≌△BF A ，∴AE =BF ． （2）tan BG BGBAG k BA BC∠===，设DE =a ，则AF =a ， tan AE BF a BAG ak ==⋅∠=，∴()1EF a ak k a =-=-．()1tan 1k a EF k DE a α-===-，()11tan k a EF kBF ak kβ--===，∴tan tan k αβ=⋅． （3）设正方形边长为单位1，则BG =k ，1CG k =-，易证△BHG ∽△DHA ，∴GH BGk AH AD==， HBADCGFE连接DG ，则DHG DHAS k S=，又11=22AGDABCD SS =正方形， 即1111222AHDSk k =⋅=++，11222DHGk kS k k =⋅=++， 又()111122DGC kS k -=⋅-⋅=，∴221122222k k k k S k k --++=+=++， 2211S k k S =-++，当12k =时，取到最大值54， ∴当12k =时，21S S 的最大值为54．7．（2019·襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD 中，点E ，Q 分别在边BC ，AB 上，DQ AE ⊥于点O ，点G ，F 分别在边CD ，AB 上，GF AE ⊥．①求证：DQ AE =； ②推断：GFAE的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD 中，(BCk k AB=为常数）．将矩形ABCD 沿GF 折叠，使点A 落在BC 边上的点E 处，得到四边形FEPG ，EP 交CD 于点H ，连接AE 交GF 于点O ．试探究GF 与AE 之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP ，当23k =时，若3tan 4CGP ∠=，GF =，求CP 的长．ABCD E FGHOP图1图2GO Q E F CD AB【分析】（1）①易证△DAQ ≌△ABE ，∴DQ =AE ．②易证四边形DGFQ 是平行四边形，∴FG =DQ ，∴FG =AE ，∴1GF AE =． （2）如图，过点F 作FM ⊥CD 交CD 边于M 点，易证△FMG ≌△ABE ，∴FG FM BC k AE AB AB ===． （3）∵GF =23GF AE =，∴AE = ∵PG ∥EF ，CG ∥BF ，易证∠CFP =∠BFE ，∴3tan 4BFE ∠=， ∴4BF =，5AF EF ==，3BE =，过点P 作PQ ⊥BC 交BC 延长线于点Q ，易证△FBE ∽△EQP ，∴FB FE BE EQ EP QP ==，代入得：4536EQ PQ ==，解得：185PQ =，245EQ =， ∴95CQ EQ EC =-=，∴CP ．。
构造——“巧”解赛题的又一法宝
２ ， ＝１时 等号 成 立 ， 所以 ａ 。 ＋ｂ 。的最 小
值为 ８ ．
２ 构造函数 ． 隐性问题显性化
函数知识贯穿于整个高 中数学之中， 在
解决诸如方程、 三角函数 、 不等式、 数列、 解析
几何等问题时 ， 如果我们 能设法建立起限制 条件及 目 标 函数 ， 用函数的观点加以分析 ， 常 能使数学赛题得到巧妙解决． 例３ （ ２ ０ １ １ 年全国竞赛一试试题） 如果
１ ） ．
而 ｊ ｂ Ｉ ＝２ ５ ， 根据向量性质： Ｉ 口・ ｂ ｌ ≤ｌ ａ Ｉ ｌ ｂ Ｉ ，
可知 口 ， ６ 共线且方 向相 同， 所 以 ＝ ＝ ＝ ，
３ 构造 向量 ． 表 象 问题本 质化
， ，
１
从 而不等 式 得证 ．
例２ （ ２ ０ １ １ 年湖北预赛题） 已知 口 ， ｂ Ｅ
由此构造 函数 ， （ ） 一 ． ｔ ｚ ５ ＋ ， 显然它为 Ｒ
２ ４
数学教学研究
第３ ２ 卷第 ８ 期
２ ０ １ ３ 年 ８月
上 的单调 增 函 数 ， 所以 ｓ ｉ ｎ ＞ Ｃ Ｏ Ｓ 又 ０ ∈
≤
・
干
，
［ ０ ， ２ ， ｃ ） ， 故 的 取 值 范 围 是 （ 詈 ， 警 ） ．
例４ （ ２ ０ １ ２ 年辽宁省预赛试题） 不等式
即 （ 口 １ ｂ １ ＋口 ２ ６ ２ ＋… ＋口 ） 。 ≤（ ＋ ＋…＋ ） ・（ 躇＋踺＋… ） ．
＋） １ ０ ＋ 曼 ＋ 一 １ ｘ ３ — ５ ｘ ＞ ／ 口 ０ 的 解 肝 集 罘 ． Ｐ Ｊ
构造向量 ａ － ￣（ －７ ， ２ ４ ） ， ６ ＝（ ｓ ｉ ｎ口 ， 增 函 数 ． 于 是 原 不 等 式 转 化 为 ， （ ） ＞ 量数量积 ，
初中数学解题模型专题讲解27---弦图及推广图在三角形面积最大值中的应用
5/6
内角或某 2 个内角之和能不能成为一个正多边形的内角. 1.当有一个内角为α 的三角形的对边已知，α 能成为一个正多边形的外角(即剩下
2 个角的和可成为正多边形的内角)时，我们用“关联正多边形Ⅰ型”来证明或解答其 面积最大值；
内弦图
图1
图2
弦图一般用来证明勾股定理之外，笔者研究发现还可以用来求某些直角三角形面 积最大值问题.
例 1.(1)求斜边为 4 的直角三角形面积的最大值；
(2)求直角边之和为 4 的直角三角形面积的最大值.
解：(1) 如图 3，取 4 个这样的全等直角三角
形组
成外弦图，直角三角形面积等于外
正方形的面
的面积减去内正方形面积的差再除以 4 的结
果.
外正方形的面积为 16，当内正方形的半径最小时，内正方形的面积取得最小
值，而内正方形的半径最小值为 2，此时直角三角形的两边相等，故直角三角形的
1 面积最大值为： ×2×2=2.
2
分析与反思：这 2 道问题略有不同，差别在于已知条件的不同，一个是斜边为定 值，一个是直角边之和为定值，因而选择不同的弦图，那么为什么要选择弦图来解决 这类问题呢？当然这 2 个问题的解决还有许多方法，不一一列举了，经过观察，我们 能发现，首先，直角三角形最大角是直角，正多边形内角为直角的仅仅是正方形，而 且，直角三角形两个锐角之和也为直角，因此，此类问题都可以运用弦图来解决.
1 S = absinA 、余弦定理和基本不等式来证明！原因何在？我们观察例 1(2)与例 2(2)，
2 发现 90°和 120°都可以成为一个正多边形的内角，而没有任何一个正多边形的内角 可以是 45°！我们应当放弃这种方法！
初中数学几何辅助线秘籍-弦图的构造及应用
THANKS
主讲老师：某某某
初中数学几何 专题之辅助线
主讲老师：某某某
弦图的构造及应用
弦图的构造及应用
考情分析
勾股定理的证明，从古至今引起无数人的关注，其证 法到现在已有五百多种，“弦图”就是我国三国时期的数 学家赵爽，利用面积相等，形象巧妙的证明方法.随着课改 的深入，利用弦图或其衍生图来解决数学问题，已成为全 国多个省份中考的热点题型，预计与弦图相关的中考题型 有填空题、选择题、计算题及探究题，对探究题要多加注 意；同时在解题时，要掌握作辅助线构造弦图的方法。
弦图的构造及应用
已知，两个正方形按图a-c并列排列，要求剪两刀 （剪的为直线哦），使之拼成一个新的正方形。 （1）如图a所示，若正方形边长分别为1、2，请在图 中画出剪切线。 （2）如图b所示，若正方形边长分别为a、b，请画出 剪切线并标出各边的长度。 （3）若要求剪三刀拼成一个正方形，请在图c中画出 剪切线。
弦图的构造及应用
总结
勾股定理的证明方法是多样的，而其中的多种方法是具有共性的， 每个图形中都可以提炼出一个相同的图形—三垂直全等模型。三垂直全等 模型其实是从弦图中衍生出来的一个模型，当我们解直角三角形或者正方 形的试题时，在很多情况下我们可以考虑构造弦图来解决，有时候是完整 的弦图，有时只需一半弦图—三垂直全等模型。
弦图的构造及应用
如图所示，已知AD∥BC，△ABE和△CDF是等 腰直角三角形，∠EAB=∠FDC=90°，AD=2， BC=5，求四边形AEDF的面积。
弦图的构造及应用
如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a， AC=b，以其各边为边向外作正方形，得到一个凸六 边形DEFGHI。 （1）求这个六边形的面积 （2）试判断线段EF、GH、DI能否构成三角形，若 能，探求该三角形的面积与△ABC面积的关系；若不 能，请说明理由。
四边形中的弦图结构(北师版)(含答案)
C.（-5，2）D.（-6，4）
答案：A
解题思路：
思路：由斜放置的正方形想到弦图结构，补全即可，如图
弦图中大正方形和小正方形共用一个中心，
∴点M也是大正方形的中心，
∴ ，∠OME=90°，
∴OE=6，
由弦图结构知，DE=OA=2，
∴点D（-2，6）．
故选A.
试题难度：三颗星知识点：弦图结构
A.12 B.16
C. D.
答案：B
解题思路：
思路：正方形内含一个以正方形边长为斜边的直角三角形，这是残缺的弦图结构，补全即可，如图
弦图中大正方形和小正方形共用一个中心，
∴点O也是小正方形的中心，
∴ ，∠AOD=90°，
∴AD=12．
∵BD=16，
∴AC=BD=16．
故选B.
试题难度：三颗星知识点：弦图结构
解题过程：
∵长方形周长为20，AB=4，
∴BC=6．
∵AE⊥EF，
∴∠AEB+∠CEF=90°．
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠CEF=∠BAE．
又∵∠B=∠C=90°，AE=EF，
∴△ABE≌△ECF，
∴CE=AB=4，CF=BE=6-4=2
故选B.
试题难度：三颗星知识点：弦图结构
3.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标是（0，2），顶点B在x轴负半轴上，对角线AC，BD交于点M， ，则点D的坐标是( )
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°， ，分别以AB，BC ，CA为一边向△ABC外作正方形ABDE，BCMN，CAFG，连接EF，GM，ND，设△AEF，△CGM，△BND的面积分别为 ， ， ，则下列结论正确的是( )
“弦图”解题例谈
“弦图”解题例谈特级教师吴乃华“弦图”是由八个形状相同、大小相等的直角三角形，拼成的四个长方形而围成的中空也为正方形的正方形（图1）。
早在一千七百多年前，三国时期的吴国数学家赵爽，在为我国数学巨著《周髀算经》作注释时，就利用它对勾股定理作出了严格而又简捷的证明。
弦图的特点是大正方形的边长等于长方形的长边与宽边的和，中空部分的小正方形的边长,就是长方形长边与宽边的差。
根据大、小两个正方形的边长与长方形长和宽的关系，斜边与直角边的关系，可以巧妙而简捷地解决许多实际问题。
【例1】一个直角三角形的斜边长101厘米，而它的两条直角边一条比另一条短79厘米，这个三角形的面积多少平方厘米？解：“弦图”这个名称，也可以说是以四个完全一样的直角三角形的斜边为边的正方形，赵爽称它为“勾股圆方图”。
本题，如果我们想到了这个图，问题就变得十分简单了。
如右图2，我们用四个完全一样的直角三角形拼成一个大正方形。
大正方形的边长是101厘米，面积是：101×101＝10201（平方厘米）里面小正方形的边长恰好是两条直角边的差，其面积是：79×79＝6241（平方厘米）右图的阴影部分，正是两个正方形面积的差，也即4个这样的直角三角形面积的和。
所以这个直角三角形的面积是：（10201－6241）÷4＝990（平方厘米）。
【例2】一块正方形铁皮，从它上面剪下一个宽2分米的长条后，剩下的部分为一个面积是15平方分米的长方形（如图3a）。
剪下的长条铁皮的面积是多少平方分米？解法一：设正方形边长为x分米。
根据题意，则有x（x－2）＝15x2－2x＝15x2－2x＋12＝15＋12（x－1）2＝42x－1＝4x＝5这种方法是很难适合大多数小学生的。
解法二：假设剩下的长方形铁皮有4块，我们就可以拼成如右图3b的正方形。
把4个形状相同、大小相等的长方形这样摆放，就构成了一个“弦图”。
这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和。
第13讲巧解弦图与面积
第13讲巧解“弦图”与面积巧点睛——方法和技巧三国时期，吴国数学家赵爽在为数学巨著《周髀算经》注释时，就得用“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。
“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小下方形，如图所示。
“弦图”的特点：（1）小长方形长宽之各=大正方形边长；（2）小长方形长宽之差=小正方形边长。
根据“弦图”中大、小正方形与长方形的关系，我们可以得到一些面积问题的解题思路。
巧指导——例题精讲A级冲刺名校·基础点睛【例1】如右图，正方形与阴影长方形的边分别平行，正方形边长为10，阴影长方形的面积为6，那么图中四边形ABCD的面积是。
解由题给条件“正方形与阴影长方形的边分别平行”（或直观上观察）知，正方形四角处的四个四边形都为长方形，而四边形ABCD的各边都分别平分这四个长方形，所以，四边形ABCD的面积=四角处四个长方形面积和的一半+6=（10×10-6）÷2+6=47+6=53。
做一做1 四个一样的长方形和一个小正方形拼成了一个大正方图1图2形（如右图），大正方形的面积是49平方米，小正方形的面积是4平方米。
问：长方形的短边是几米？【例2】如图1，有一大一小两个正方形，对应边之间的距离都是1厘米。
如果夹在两正方形之间的面积是12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？分析 要求出大正方形的面积，只要先求出大正方形或小正方形的边长即可。
下面设法求这两个量中的某个量。
图2与图1有类似之处，添辅助线将图1变成图2，就成了一人“弦图”。
图2中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为12÷4=3（厘米2）。
又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为3÷1=3（厘米）。
大正方形的边长为4厘米，这样就可以求出面积了。
解法1 一个长方形的面积：12÷4=3（厘米2）， 长方形的长：3÷1=3（厘米）， 大下正方形的边长：3+1=4（厘米）， 大正方形的面积：4×4=16（厘米2）。
小学数学竞赛弦图
用“弦图”求面积同学们，给你八个边长分别为3厘米、4厘米的直角三角形，不许重迭，不许剪裁，你能拼出一个正方形来吗？聪明的小朋友一定会想出许多巧妙的方法.图1就是小慧想出的一种拼法，这就是有名的“弦图”.三国时期吴国数学家赵爽，在为我国早期数学巨著《周髀算经》作注释时，就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明.“弦图”是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的，中间空出一个小正方形.根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系，可使我们得到一些面积问题的解题思路.一、例题选讲例1有一大一小的两个正方形（见图2），对应边之间的距离都是1厘米，如果夹在两个正方形之间部分的面积为12平方厘米，那么大正方形的面积是多少？分析与解要想求出图2中大正方形的面积，根据公式，只要先求出大正方形或小正方形的边长就行.下面设法来求这两个量中的某个量.图2与图1有类似之处，添辅助线将图2变成图3，就成了一个“弦图”.图3中小正方形外围的四个长方形的形状和面积都一样，这样其中一个的面积为（12÷4=）3平方厘米，又因为这个长方形的宽为1厘米，所以长方形的长为（3÷1=）3厘米，大正方形的边长为4厘米，这一来面积就可求出了.12÷4=3（平方厘米）（一个长方形面积）3÷1=3（厘米）（长方形的长）3+1=4（厘米）（大正方形的边长）4×4=16（平方厘米）（大正方形的面积）利用同解法1类似的想法还可以找到下面的一些解法.也可以先添辅助线，将图2变成图4，先求图4中长方形A的面积，因为大正方形四角都是边长为1厘米的正方形，而剩下的四个长方形形状和面积都一样，所以A的面积为：（12-1×4）÷4=2（平方厘米）又因为长方形A的宽为1厘米，所以它的长为：2÷1=2（厘米）大正方形的面积为：12+2×2=16（平方厘米）还可以另添辅助线，将图2变为图5.图5中4个梯形的形状和面积都一样，所以每个梯形的面积为（12÷4=）3平方厘米.梯形面积等于上、下底之和乘以高再除以2，每个梯形上、下底（即大、小正方形的两个边长）之和为6，而大小正方形边长之差为2厘米，所以大正方形的边长为4厘米，这一来大正方形面积为（4×4=）16平方厘米.另外，适当移动小正方形后，再添辅助线，将图2变为图6.因图6中两个梯形的面积与形状都一样，所以一个梯形的面积为（12÷2=）6平方厘米.和解法3类似，可求出梯形上、下底之和与差分别为6厘米和2厘米.故梯形的上底（即大正方形的边长）为4厘米，大正方形的面积为（4×4=）16平方厘米.以上解法各有千秋，小朋友，你还有其他的解法吗？例2用同样大小的22个小纸片摆成图7所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和.分析与解图7猛一看似乎无从下手，但只要你仔细观察，马上就会发现，该图1中间三个图形的形状一样，都是与图3一样的“弦图”.我们知道，“弦图”的特点是，小长方形的长与宽的和，恰好是大正方形的边长，而长方形的长与宽之差，恰好是小正方形的边长.现在要求图7中阴影部分的面积和，由于每个小阴影部分都是一个小正方形，所以只要求出它的边长就行了，而小正方形边长等于长方形长与宽之差，由于长方形的长是18厘米，因此只要求出它的宽，问题便解决了.为求出长方形的宽，我们再来观察图7.从图7的第一排和第二排可以看出，小纸片的五个长等于它的三个长加它的三个宽，也就是它的两个长等于它的三个宽.由于两个长等于（18×2=）36厘米，所以每个宽为12厘米，这样问题就好解决了.由于图中5个小纸片的长等于3个小纸片的长加上3个小纸片的宽，所以3个小纸片的宽等于2个小纸片的长.每个小纸片的长为18厘米，所以3个纸片的宽为36厘米，因而每个小纸片的宽为12厘米.一个阴影部分小正方形的边长等于长方形长与宽的差，即小正方形的边长为（18-12=）6厘米.因此一个阴影小正方形的面积为（6×6=）36平方厘米， 3个阴影部分面积和为：36×3=108（平方厘米）例3从一个正方形的木板上锯下宽0.5米的一个长方形木条以后，剩下的长方形的面积为5平方米，问锯下的长方形木条的面积等于多少？分析与解先将题目中的已知条件画成图8，我们先看图8中下面剩下的那个长方形.已知它的面积等于5平方米，它的长与宽的差为0.5米，根据“弦图”的启示，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个如图9那样的一个“弦图”.图9是一个大正方形，它的边长等于长方形的长与宽之和，中间那个小正方形的边长，等于长方形长与宽之差，即等于0.5米.这样小正方形的面积为（0.5×0.5=）0.25平方米，那么大正方形的面积为（5×4+0.25=）20.25平方米.由于 4.5×4.5=20.25，所以大正方形的边长为 4.5米.这样我们便知道了剩下的长方形长与宽的和为4.5米，而长与宽的差为0.5米，使用：（和+差）÷2=大数，（和-差）÷2=小数这两个公式中的任一个，便能求出长方形的长来，这个长就是锯下的小长方形的长.有了这个小长方形的长，而宽又已知为0.5米，那么用面积公式便能求出它的面积来.即45图9中大正方形的面积为：5×4+0.5×0.5=20.25（平方米）因为 4.5×4.5=20.25，所以大正方形边长为4.5米.原正方形的边长为：（4.5+0.5）÷2=2.5（米）锯下一条小长方形的面积为：2.5×0.5=1.25（平方米）二、巩固练习1.通用32p A卷52. 通用34p B卷13.38个长为4厘米的小纸片，摆成图11所示的图形，求图形中阴影部分面积的和.4.从一块正方形玻璃上裁下宽为16分米的一长方形条后，剩下的那块长方形的面积为336平方分米，原来正方形的面积是多少平方分米？5.计划修一个正方形的花坛，并在花坛的周围铺上宽2米的草坪，草坪的面积是40平方米，那么修建花坛需占地多少平方米？6.大小两个长方形摆成图12所示的形状，小长方形的长是宽的2倍，如果大小两长方形对应边之间的距离是1厘米，夹在大小两个长方形之间那部分图形的面积是40平方厘米，那么大小长方形的面积各是多少平方厘米？7. 通用33p A卷68.通用34p B卷49通用35p B卷7三、拓展联系1、通用35p B卷82、通用36p C卷2。
苏教版五年级上册数学 巧用“弦图”解决面积问题 (课件)
B、C：220－100＝120（平方米） 120÷2＝60（平方米）
A：60÷10＝6（米） 6×6＝36（平方米）
答：小正方形试验田的面积是36平方米。
B
D
10米A6米Fra bibliotekC四、练习巩固。
如图，用四个相同的长方形拼成一个面积为100平 方厘米的大正方形，每个长方形的周长是多少厘米？ 10厘米
巧用“弦图” 解决面积问题
一、你知道吗？
弦图（如右图）是由8个 完全一样的直角三角形拼成 4个相同的长方形围成的， 中间空出1个小正方形。
一、你知道吗？
三国时期，中国数学家 在对《周髀算经》作注释时， 就利用“弦图”对勾股定理 作出了严格而简明的证明。
二、例题讲解。
有一大一小的两个正方形 （如右图），对应边之间相距 1米，如果夹在两个正方形之 间的部分的面积为12平方米， 那么大正方形的面积是多少呢？
12÷4=3（平方米）
3÷1＝3（米）
3＋1＝4（米）
4×4＝16（平方米）
答：大正方形的面积是16平方米。
方法二
有一大一小的两个正方形（如右图）， 对应边之间相距1米，如果夹在两个正方形之 间的部分的面积为12平方米，那么大正方形 的面积是多少呢？
12÷4=3（平方米）
3×2÷1＝6（米）
上下底之和是6米， 上下底之差是2米。
2米
上下底之和是6米， 上下底之差是2米。
（6＋2）÷2＝4（米）
4×4＝16（平方米） 答：大正方形的面积是16平方米。
观察例1，解决这个问题关键要做什么?
在求面积过程中我们可以根据“弦图”巧添辅助线， 关键是将图形转化成已学过的图形，从而解决问题。
弦图构造解题
第三部分：弦图构造
1．如图，直线L1、L2、L3分别过正方形ABCD的三个顶点A、D、C，且相互平行，若L1、L2的距离为2，L2、L3的距离为4，则正方形的边长是（）
2．如图，直线l1、l2、l3分别过正方形ABCD的三个顶点A，B，D，且相互平行，若l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为1，则该正方形的面积是．
3．点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接BE，则∠CBE等于．
4．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为．
5．如图，左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若两直角边AC=6，BC=4，现将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，延长后得到右图所示的“数学风车”，则该“数学风”所围成的总面积是．
6．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD外的两点，且
AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为．
7．如图，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF．（1）求证：∠ADP=∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；。
构弦图解决顶点坐标已知的45°角相关问题
构弦图解决顶点坐标已知的45°角相关问题
直角坐标系为背景的45°角问题，利用已有的弦图知识，抓住45°角的问题本质，先构等腰直角三角形，再用弦图构造全等三角形的方式来实现已知点坐标与未知点坐标之间的转化，提供了研究这类代数几何综合题目的一般策略和方法。
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构造“弦图”巧解题
作者：刘清泉
来源：《中学数学杂志(初中版)》2013年第01期
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，其证明方法已有几百种之多，其中赵爽所使用的“弦图”（如图1所示）证明既具严密性，又具直观性，可谓别具匠心，极富创新意识.事实上，很多中考题和竞赛题，特别是与正方形、等腰直角三角形相关的题目，可通过构造“弦图”加以解决，更一般地，可构造“半弦图”（如图2所示）及其衍生出来的“三垂直”模型（如图3、4所示）巧妙解题.
图1图2图3图41构造“弦图”
例1（2004年上海市初中数学竞赛）如图5所示，分别以Rt△XYZ的直角边和斜边为边向形外作正方形AXZF、BCYX、DEZY，若直角边YZ=1，XZ=2，则六边形ABCDEF的面积为 .。