四辅助变量法IV

利用类似于RLS的推导方法，可得到递推辅 助变量算法RIV如下：
式中
递推的初值可取
；亦可先
采用一般RLS算法，经过l步后转为RIV，而由前l步RLS
算得的
，便是RIV的初值
。
构成辅助变量的方法，还有n步滞后输入法，n步 滞后输出法等： 这时，辅助矩阵Z的第i行向量为
对应于(a)图
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对应于(b)图
四.辅助变量法(IV)
广义LS算法过于复杂，因此寻求简便一些的一 致无偏估计算法很有实用价值。辅助变量法与扩充 （增广）最小二乘法便是这样的算法。
辅助变量法记为IV（Instrumental Variable） 其基本特点是在算法中引入了一个辅助变量，这个 辅助变量与方程误差不相关而与观测数据相关。
但被辨对象的理想输出yu(k)得不到，因此只能利
用被辨系统的一个拟合模型
代替
，并利用这个辅助模型的输出来代替v(k)。
显然，辅助模型的输出应为
而辅助变量矩阵相应为
可以证明Ω一定满足②式，然而③式却难以得到 保证。但是当{u(k)}为持续激励信号且与ξ(k)无关时， 两个条件均满足，因而用这种Ω所得 是一致无偏的。
式⑥在形式上与一般最小二乘估计公式相似，但 它在{ε(k)}为有色噪声情况下是参数的一致无偏估计量。 这是因为式⑤有
———⑦
利用滤波法的出发点是：如果辅助模型是未 受噪声ξ(k)干扰的原系统模型，那么辅助模型的 输出就是v(k),且满足：
显然，由{v(k)}，{u(k)}构成的下列辅助矩 阵
必与方程误差ε无关而与X相关，因此②，③式 必满足。
设被辨识系统用广义回归模型描述：
其向量形式为：
————①
❖ 式中
若有一矩阵
，
它的维数与X相同（为N*2n维）且满足 ——————② ——————③
式中Ω为非奇异阵。用ΩT左乘式①有 ——————④
于是得：
———⑤
取上式等号右边第一项作为θ的估计量，记为
———⑥
式中，Ω称为辅助变量矩阵，Ω中的元素称为辅助变量。