理论力学 动力学.ppt

1
引言
一.研究对象：研究物体的机械运动与作用力之间的关系 二.力学模型：
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点；
刚体作平动时,刚体
质点。
2
2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。
13
2.第二类：已知作用在质点上的力，求质点的运动（积分问题） 已知的作用力可能是常力, 也可能是变力。变力可能是时间、
位置、速度或者同时是上述几种变量的函数。
解题步骤如下： ①正确选择研究对象。 ②正确进行受力分析，画出受力图。判断力是什么性质的力
（应放在一般位置上进行分析，对变力建立力的表达式）。 ③正确进行运动分析。 (除应分析质点的运动特征外，还要确定
g 2s2 2gH 10.5 m/s 2gH
0
tg
1
v0 sin 0 v0 cos 0
tg1 2H s
31
18
[例3] 发射火箭，求脱离地球引力的最小速度。
解：属于已知力是位置的函数的第二类问题。 取火箭(质点)为研究对象, 建立坐标如图示。
火箭在任意位置x 处受地球引力F 的作用。
F
f
mM x2
2
17
则轨迹方程为:
y
xtg
0
1 2
g
v0
2
x02
c os2 0
代入最高点A处值，得：dy dt
v0
s in 0
gt
0,
即
t v0 sin0
g
将到达A点时的时间t, x=S, y=H 代入运动方程，得
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
v0
(v0cos0 )2 (v0sin0 )2
16
m m
dvx dt
dvy dt
0 mg
dx dt
dy dt
c1 gt
c2
微分方程 积分一次
再积分一次
x
y
c1t c3 1 gt2
2
c2t
c4
代入初始条件得 : c1 v0cos0 ,c2 v0sin0 ,c3 c4 0
则运动方程为:
x
v0tc
os0
,
y
v0ts
in
0
1 2
gt
自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体。
3
三.动质点 系动力学的基础。
四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。
综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。
4
5
第十章 质点运动微分方程 §10–1 质点运动微分方程的形式 §10–2 质点动力学两类问题
6
第十章 质点运动微分方程
§10-1 质点运动微分方程的形式 将动力学基本方程(ma F )表示为微分形式的方程，称为
质点的运动微分方程。 1.矢量形式 md 2r F ( 式中r r(t) 为质点矢径形式的运动方程) dt 2
7
2.直角坐标形式
m
d2 dt
x
2
X
m
d2 dt
y
2
Y
m
d2 dt
y
2
Z
x x(t)
(
式中
y
y(t)
为质点直角坐标形式的运动方程 )
z z(t )
3.自然形式
m
d 2s dt 2
F
m
v2
Fn
0 Fb
(式中s s(t )为质点的弧坐标形式的 运动方程。 F ,Fn ,Fb分别为力 F在
自然轴系 轴, n轴和b轴上的投影 )
8
质点运动微分方程除以上三种基本形式外，还可有极坐标 形式， 柱坐标形式等等。
应用质点的运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问 题。
9
§10-2 质点动力学两类问题
出其运动初始条件）。
14
④选择并列出适当的质点运动微分方程。
⑤求解未知量。应根据力的函数形式决定如何积分，并利用运 动的初始条件，求出质点的运动。
如力是常量或是时间及速度函数时，
可直接分离变量
dv dt
积分。
如力是位置的函数，需进行变量置换
dv dt
v ddvs
,
再分离变量积分。
15
[例2] 煤矿用填充机进行填充, 为保证充 填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶 板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G g
v2 l
T
Gcos
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
gl
其中 ,v为变量。
由1式知 重物作减速运动 , 因此 0时 , T Tmax
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
12
Tm
ax
G(1
v02 gl
)
[注] ① 减小绳子拉力途径：减小跑车速度或者增加绳子长度。 ② 拉力Tmax由两部分组成, 一部分等于物体重量，称为静拉 力，一部分由加速度引起，称为附加动拉力。全部拉力称 为动拉力。
1.第一类：已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 解题步骤和要点： ①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
度v0 ? (2)初速 v0与水平的夹角a0？
解：属于已知力为常量的第二类问题。 选择填充材料M为研究对象，受力如图所示，M作斜抛运动。
t
0,
x0
0,
y0
0;v0
x
v0
cos
0
,v0
y
v0
s
in
0
,v0
,
待求
0
t 瞬时 , M A , xS , yH , vx , vy
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
10
[例1] 桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速 运动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为L。突然刹车，重物 因惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②受力分析如图所示 ③运动分析，沿以O为圆心, L为半径的圆弧摆动。
11
④列出自然形式的质点运动微方程
mg
f
mM R2
F
mgR2 x2
建立质点运动微分方程 mdx2 mgR2
dt 2
x2
即：
mvx
dvx dx
mgR2 x2
( d 2 x dvx dvx dx vxdvx )
dt2 dt dx dt dx
19
即： mvx
dvx dx