(完整版)南昌大学数学物理方法期末考试试卷2011A卷答案

南昌大学 2011学年第二学期期末考试试卷

参考答案及评分标准

试卷编号：6031 (A)卷

课程编号：H55020190 课程名称： 数学物理方法

考试形式：

闭卷

适用班级 物理系07各专业 姓名： ____________ 学号： ________ 班级： __________ 学院： ____________________ 专业： ___________________ 考试日期： _______________

题号 -一-

-二

二 三

四

五

六

七 八

九

十 总分 累分人 题分

36

40

24

100

签名

得分

考生注意事项： 1、 本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。 如有立即举手报告以便更

换。

2、 考试纟口束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

则实部 u(x, y) (x 2 y 2)/2 2xy c 。

f(z) 1/[(z 2)(z 3)]在2 |z| 3可展开为洛朗级数:

f(z)

[2n z (n1) 3(n1)z n ]

n 0

6. 函数f (z)

ze 1/z 在z 0的奇点类型为

本性奇点，

3. 复数cosi (e e 1)/2 0

4. 若解析函数 f (z) u(x, y) iv(x, y)的虚部 v(x, y) x 2

2

y xy ，

5. 其留数为 1/2

O

2.

-1/2

2008 [sinx

(x 6)]dx

7. 设m, n为整数,则(sin mx cosnx)dx 0 。

8. 函数f(t) t (l t 1 1)的傅里叶变换为2( cos sin / )/()。

0 (|t| 1) --- --------------------- -- ----

9. 1 2t 的拉普拉斯变换即L(1 2t) (1/p 2/ p2) (Rep 0)。

10. 数学物理方程定解问题的适定性是指_解的存在性，唯一性，稳定性。

11. 一根两端(左端为坐标原点而右端x l )固定的弦，用手在离弦左端长为1/5处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移u(x,t)的初始条件为

5hx/l (0 x 1/5)

U t 0, u 。

5h(l x) /(4l) (l /5 x l)

12. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“()”中打V,错误的打X。

(1) 若函数f(z)在z点解析，贝U函数f(z)在z点可导。(V)

(2) U xy 2yuu x

6xU y U yy x3y2u是二阶线性齐次偏微分方程。(X)

(3) 设z为复数，则lim sin z z0

z e

二、求解题(每小题10分，共40分)

得分评阅人

说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。

解：回路内有两个一阶极点z1 i, z2

Resf (乙)linyKz i) f (z)]

z 2i

2 阿

1/[心i)(z 2)2]

1/[2i(i 2)2]

(4 3i)/50 (3分)

I 2 i(Resf (z1) Resf (z2))

ResfZ) lim[(z i)f(z)]

z 2i

2

阿1/[心i)(z 2)2]

1/[ 2i( i 2)2]

dz

(2 z | 3 / 2

( z1)( z 2)2

1.用留数定理计算复积分I

8 i/25 (2 分)。

i. (2分)其留数为

(4 3i)/50 (3分)

2.用留数定理计算实积分 2

dx

o

3sin x

解: 设 z e 'x ,贝U sinx (z

)/(2i),

dx dz/(iz). (2 分)于是,

f(z) 分）， O

|z| 1

dz/(iz)

dz

5 3(z z 1

)/(2i) 2

Z i 13? 10iz 3

(2 分)

1/(3z 2 10iz 3)的零点

Z i

i/3, Z 2 3i.其中只有Z i 为单位圆内一阶极点（2 其留数为 Re sf (z 1) lim [(z

z z 1

z i ) f (z)]

lim z z1

3(z Z 2)

3(

乙

Z 2) 8i

1

(2 分)

1 由留数定理得I

2 i 2 — 8i 2

(2 分)

3.解常微分方程初值问题# 巴6y dt

e t ,y(0) y'(0) 1

（可使用拉普拉斯变换

或其它任何方法）

。 解：对方程拉普拉斯变换得 (p 2y P 1)

(py

1) 6y

（2分），于是

y

(p 3)( p 1)( p 2) 1[ 5 (p 3)( p 1) 13 1 (P 1)( P 3 1

(p 3)(p

2)

1

2)] 5叮 3

2/3 ] p 2]

20 p 3

(6分)

13 3t

y 一e

20 1 _e 4

3 2t -e 5

(2 分)

4.试判断偏微分方程口心2u X y xx 8U yy 2U x 6U y

2xy 3

0类型并寻找自变量函数变

换使方程能够化为标准形（注意: 不必写出标准形） 解：特征方程（鱼）2

2鱼8 0 （2分），判别式 dx dx 22 4 1 ( 8) 36 0故方程为双

曲型（2分）。特征方程的解为y 2x G, y 4x c 2 （C 1和C 2为任意常数）（4

分）。

所以，可化为标准形的自变量函数变换为 y 2x, y 4x. ( 2

分)