3.4坐标变换

y

sin
x'

cos
y'
新方程的二次项部分由原方程的二次项部分得
a11x2 a22 y2 2a12 xy
a11(cos x' sin y')2 a22(sin x' cos y')2 2a12(cos x' sin y')(sin x' cos y')
e2' c12 e1 c22 e2 c32 e3 ,
(a3 c31x' c32 y' c33 z' )e3
e3' c13 e1 c23 e2 c33 e3. xe1 ye2 ze3.
空间点坐标变换公式为：
x a1 c11x' c12 y' c13z' ,
x a1 c11

y z



a2 a3



c21 c31
c12 c22 c32
c13 c23 c33




x' y' z'
.


x a1 y a2 z a3



C

七．平面上点坐标变换公式
对于平面上两个直角坐标系，它们的过渡矩 阵是正交矩阵。则它是二阶正交矩阵，设为
C


c11 c21
c12 c22

则
c
2 11

c
2 12

c
2 11

c 2 21

1,
c 2 21

c 2 22

c
2 12

c 2 22

1,
c11c12 c12c22 c11c21 c21c22 0.
(a11 cos2 a12 sin 2 a22 sin2 )x'2 (a11 sin2 a12 sin 2 a22 cos2 ) y'2 [(a22 a11)sin 2 2a12 cos 2 ]x' y'
于是，要使得新坐标系的方程不出现交叉项，
二．点坐标变换公式
任何一点P ,如果其旧坐标 为(x, y, z)，新坐标为 (x', y', z' ),那
么
OP xe1 ye2 ze3,
O'P x' e1' y' e2' z' e3' .
而
OO' a1e1 a2 e2 a3e3.
e3'
e3
O'
P
P e2'
六．曲面的方程的变换公式
设S是一张曲面，它在 I 中的一般方程为F ( x, y, z) 0, 求它在 I ' 中的一般方程。 对于点M，如果它在 I '中的坐标为( x', y', z') ，则 在I 中的坐标为
(c11 x' c12 y' c13z' d1 , c21 x' c22 y' c23z' d2 , c31 x' c32 y' c33z' d3 )
e1'
e2'
e3' e1
e2
e3

c21 c31
c22 c32
c23 c33

c11 c12 c13
矩阵
C


c21 c31
c22 c32
c23 c33

e1'
e2'
e3'
的 的的
旧 旧旧
坐 坐坐
标 标标
称为从坐标系 I 到 I ' 的过渡矩阵，它是以 e'1,e'2 ,e'3 在 I 中的坐标为各个列向量的三阶矩阵。
新坐标系[O',e1' ,e2' ,e3' ] OO' a1e1 a2 e2 a3 e3.
e3'
e1' (c11, c21, c31) c11e1 c21e2 c31e3 ,
e3
．O'
e2'
e2' (c11, c21, c31) c12 e1 c22 e2 c32 e3 ,
c21 c31
c12 c22 c32
c13 c23 c33


x' y' z'

.
e1' e2' e3'
O'的旧坐标
的 旧
的 旧
的 旧
坐 坐坐
标 标标
三．过渡矩阵性质
因为 e1' , e2' , e3' 是互相垂直的单位向量, 即
ei'
e'j

1,当i 0,当i
因此点M在S上充要条件为：
F (c11 x' c12 y' c13z' d1 , c21 x' c22 y' c23z' d2 , c31 x' c32 y' c33z' d3 ) 0
把上式左端的函数式记作 G( x', y', z') 0, 则 G( x', y', z') 0 是S在 I ' 中的一般方程，称它 为由S在 I 中的方程 F( x, y, z) 0 经过坐标变换 化为S在 I ' 中的方程。
c123 c223 c323 1,
c11c12 c21c22 c31c32 0,
c12c13 c22c23 c32c33 0,
c13c11 c23c21 c33c31 0.
因为 e1' ,e2' ,e3' 是相互垂直的三个基本向量，所 以 e1' e2' e3' 1, 即
c11 c12 c13 c21 c22 c23 1. c31 c32 c33
c11 c12 c13 c11 c12 c13 T 1 0 0

c21 c31
c22 c32
c23 c33


c21 c31
c22 c32
c23 c33



只需取 满足
(a22 a11 )sin 2 2a12 cos 2 0
即
cot 2 a11 a22
2a12 例 化方程 2x2 2 y2 xy 1 0 为标准二次方程。

j; j.
e1' c11e1 c21e2 c31e3 , e2' c12 e1 c22 e2 c32 e3 , e3' c13 e1 c23 e2 c33 e3.
从而可以得到下面一组正 交条件：
c121 c221 c321 1, e1' e1' 1 c122 c222 c322 1,
0 0
1 0
0 1
.
结论：Ｃ为正交矩阵
四．向量坐标的变化公式
设向量 r QP在新旧两组坐标系里面的坐标 为：(u, v, w)和 (u',v', w' ).
点的坐标变换公式
x a1 c11x' c12 y' c13z', y a2 c21x' c22 y' c23z', z a3 c31x' c32 y' c33z'.

y

c12
(
x

a1
)

c22
(
y

a2
)

c32
(
z

a3
),
z c13 (x a1) c23 ( y a2 ) c33 (z a3 ).
常数项和一次项系数的意义？
旧原点和旧基本向量的新坐标。
即：x( y, z)的系数是e1(e2, e3)的新坐标. 而(a1c11 a2c21 a3c31， a1c12 a2c22 a3c32， a1c13 a2c23 a3c33 ) 是旧原点O的新坐标
3.4：坐标变换
3.4.1空间直角坐标变换
在不同的坐标系下，同一个点的坐标是不同的，从而 图形的方程也是不同的。 问题1：对于给定的图形，怎样选坐标系？使得它的 方程最简单。 问题2：在不同的坐标系下，同一图形的不同方程之 间有什么关系？
一．过渡矩阵
旧坐标系[O, e1 , e2 , e3 ] O' (a1, a2 , a3 )
于是 | c11 || c22 |, | c12 || c21 | .
于是二阶正交矩阵只有下面两种形式：
cos
sin
sin cos
,
cos sin sin cos
一个是旋转, 一个是旋转加反射.
平面直角坐标变换公式

x y

cos sin
x' x'

sin cos
y' y'

d1 d2
现考虑在一个右手直角坐标系中，一个二次方程 a11x2 a22 y2 2a12 xy 2b1x 2b2 y c 0
做法是通过转轴和移轴，寻找一个新的右手直角坐标系 使得方程最简，从而看出其几何形状。
下面用转轴消去交叉项。
x cos x' sin y'
2
3
4
求l在I 中的方程.
例：已知坐标系I '的三个坐标平面在坐标系I 中的方程为
y'Oz'平面 : x y z 1 0,
x'Oz'平面 : x 2 y+z 5 0,
x'Oy'平面 : x z 1 0,
求I到I '的坐标变换公式.
解：

x

1

1 x' 3
·O'
O
e1' e2
e1O
OP OO' O'P
a1e1 a2 e2 a3e3 x' e1' y' e2' z' e3' .
因为
e1' c11e1 c21e2 c31e3 ,
(a1 c11x' c12 y' c13 z' )e1 (a2 c21x' c22 y' c23 z' )e2
O
e1' e2
e3' (c13 , c23 , c33 ) c13 e1 c23 e2 c33 e3.
e1
写成矩阵的形式
c11 c12 c13
e1'
e2'
e3' e1
e2
e3

c21 c31
c22 c32
c23 c33

矩阵形式
c11 c12 c13
y

a2

c21 x '

c22
y'

c23z' ,
这是从新坐 标求旧坐标，
z a3 c31x' c32 y' c33z'.
写成矩阵的形式
下面还会讨 论从旧坐标 来求新坐标。
x a1 c11

y z



a2 a3



因为向量的坐标是等于终点的坐标减 去起点的坐标. 从而得到，向量的坐 标的变化公式：
u c11u' c12v' c13w' , v c21u' c22v' c23w' , w c31u' c32v' c33w'.
五．旧坐标表示新坐标的公式(从旧坐标计算新坐标)
点 P旧坐标为 (x, y, z)，新坐标为 (x', y', z' ).
1 2 0
例：设从坐标系I到I
'的过渡矩阵是C


1
0
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0 1 1
O'在I中的坐标为(1, 2, 0).
(1)设平面 在I中的方程为 : 3x y 2z 1 0,
求 在I 中的方程.
(2)设直线l在I中的方程为 : x 1 y 2 z 1,
x
y z

,
x
x a1
x a1


y z


C 1

y z

a2 a3


CT

y z

a2 a3

旧坐标表示新坐标的公式:
x c11(x a1) c21( y a2 ) c31(z a3 ),
1 y' 6
1 z', 2

y

2

1
x'
2
y',

3
6
z
1 x' 3
1 y' 6
1 z'. 2
例：证明: 在空间坐标系中,方程为 f (s,t) 0
的图象是柱面, 其中 s a1x b 1 y c 1 z, t a2 x b2 y c2 z