3.4坐标变换

1 2 0
例：设从坐标系I到I
'的过渡矩阵是C


1
0
1

0 1 1
O'在I中的坐标为(1, 2, 0).
(1)设平面 在I中的方程为 : 3x y 2z 1 0,
求 在I 中的方程.
(2)设直线l在I中的方程为 : x 1 y 2 z 1,
c11 c12 c13 c21 c22 c23 1. c31 c32 c33
c11 c12 c13 c11 c12 c13 T 1 0 0

c21 c31
c22 c32
c23 c33


c21 c31
c22 c32
c23 c33



1 y' 6
1 z', 2

y

2

1
x'
2
y',

3
6
z
1 x' 3
1 y' 6
1 z'. 2
例：证明: 在空间坐标系中,方程为 f (s,t) 0
的图象是柱面, 其中 s a1x b 1 y c 1 z, t a2 x b2 y c2 z
e2' c12 e1 c22 e2 c32 e3 ,
(a3 c31x' c32 y' c33 z' )e3
e3' c13 e1 c23 e2 c33 e3. xe1 ye2 ze3.
空间点坐标变换公式为：
x a1 c11x' c12 y' c13z' ,
c21 c31
c12 c22 c32
c13 c23 c33


x' y' z'

.
e1' e2' e3'
O'的旧坐标
的 旧
的 旧
的 旧
坐 坐坐
标 标标
三．过渡矩阵性质
因为 e1' , e2' , e3' 是互相垂直的单位向量, 即
ei'
e'j

1,当i 0,当i
c123 c223 c323 1,
c11c12 c21c22 c31c32 0,
c12c13 c22c23 c32c33 0,
c13c11 c23c21 c33c31 0.
因为 e1' ,e2' ,e3' 是相互垂直的三个基本向量，所 以 e1' e2' e3' 1, 即

y

c12
(
x

a1
)

c22
(
y

a2
)

c32
(
z

a3
),
z c13 (x a1) c23 ( y a2 ) c33 (z a3 ).
常数项和一次项系数的意义？
旧原点和旧基本向量的新坐标。
即：x( y, z)的系数是e1(e2, e3)的新坐标. 而(a1c11 a2c21 a3c31， a1c12 a2c22 a3c32， a1c13 a2c23 a3c33 ) 是旧原点O的新坐标
二．点坐标变换公式
任何一点P ,如果其旧坐标 为(x, y, z)，新坐标为 (x', y', z' ),那
么
OP xe1 ye2 ze3,
O'P x' e1' y' e2' z' e3' .
而
OO' a1e1 a2 e2 a3e3.
e3'
e3
O'
P
P e2'

y

sin
x'

cos
y'
新方程的二次项部分由原方程的二次项部分得
a11x2 a22 y2 2a12 xy
a11(cos x' sin y')2 a22(sin x' cos y')2 2a12(cos x' sin y')(sin x' cos y')
2
3
4
求l在I 中的方程.
例：已知坐标系I '的三个坐标平面在坐标系I 中的方程为
y'Oz'平面 : x y z 1 0,
x'Oz'平面 : x 2 y+z 5 0,
x'Oy'平面 : x z 1 0,
求I到I '的坐标变换公式.
解：

x

1

1 x' 3
x a1 c11

y z



a2 a3



c21 c31
c12 c22 c32
c13 c23 c33




x' y' z'
.


x a1 y a2 z a3



C

x
y z

,
x
x a1
x a1


y z


C 1

y z

a2 a3


CT

y z

a2 a3

旧坐标表示新坐标的公式:
x c11(x a1) c21( y a2 ) c31(z a3 ),
只需取 满足
(a22 a11 )sin 2 2a12 cos 2 0
即
cot 2 a11 a22
2a12 例 化方程 2x2 2 y2 xy 1 0 为标准二次方程。
(a11 cos2 a12 sin 2 a22 sin2 )x'2 (a11 sin2 a12 sin 2 a22 cos2 ) y'2 [(a22 a11)sin 2 2a12 cos 2 ]x' y'
于是，要使得新坐标系的方程不出现交叉项，

sin cos
y' y'

d1 d2
现考虑在一个右手直角坐标系中，一个二次方程 a11x2 a22 y2 2a12 xy 2b1x 2b2 y c 0
做法是通过转轴和移轴，寻找一个新的右手直角坐标系 使得方程最简，从而看出其几何形状。
下面用转轴消去交叉项。
x cos x' sin y'
因为向量的坐标是等于终点的坐标减 去起点的坐标. 从而得到，向量的坐 标的变化公式：
u c11u' c12v' c13w' , v c21u' c22v' c23w' , w c31u' c32v' c33w'.
五．旧坐标表示新坐标的公式(从旧坐标计算新坐标)
点 P旧坐标为 (x, y, z)，新坐标为 (x', y', z' ).
0 0
1 0
0 1
.
结论：Ｃ为正交矩阵
四．向量坐标的变化公式
设向量 r QP在新旧两组坐标系里面的坐标 为：(u, v, w)和 (u',v', w' ).
点的坐标变换公式
x a1 c11x' c12 y' c13z', y a2 c21x' c22 y' c23z', z a3 c31x' c32 y' c33z'.
·O'
O
e1' e2
e1O
OP OO' O'P
a1e1 a2 e2 a3e3 x' e1' y' e2' z' e3' .
因为
e1' c11e1 c21e2 c31e3 ,
(a1 c11x' c12 y' c13 z' )e1 (a2 c21x' c22 y' c23 z' )e2
于是 | c11 || c22 |, | c12 || c21 | .
于是二阶正交矩阵只有下面两种形式：
cos
sin
sin cos
,
cos sin sin cos
一个是旋转, 一个是旋转加反射.
平面直角坐标变换公式

x y

cos sin
x' x'
七．平面上点坐标变换公式
对于平面上两个直角坐标系，它们的过渡矩 阵是正交矩阵。则它是二阶正交矩阵，设为
C


c11 c21
c12 c22

则
c
2 11

c
2 12

c
2 11

c 2 21

1,
c 2 21
Hale Waihona Puke c 2 22
c
2 12

c 2 22

1,
c11c12 c12c22 c11c21 c21c22 0.
e1'
e2'
e3' e1
e2
e3

c21 c31
c22 c32
c23 c33

c11 c12 c13
矩阵
C


c21 c31
c22 c32
c23 c33

e1'
e2'
e3'
的 的的
旧 旧旧
坐 坐坐
标 标标
称为从坐标系 I 到 I ' 的过渡矩阵，它是以 e'1,e'2 ,e'3 在 I 中的坐标为各个列向量的三阶矩阵。
3.4：坐标变换
3.4.1空间直角坐标变换
在不同的坐标系下，同一个点的坐标是不同的，从而 图形的方程也是不同的。 问题1：对于给定的图形，怎样选坐标系？使得它的 方程最简单。 问题2：在不同的坐标系下，同一图形的不同方程之 间有什么关系？
一．过渡矩阵
旧坐标系[O, e1 , e2 , e3 ] O' (a1, a2 , a3 )

j; j.
e1' c11e1 c21e2 c31e3 , e2' c12 e1 c22 e2 c32 e3 , e3' c13 e1 c23 e2 c33 e3.
从而可以得到下面一组正 交条件：
c121 c221 c321 1, e1' e1' 1 c122 c222 c322 1,
y

a2

c21 x '

c22
y'

c23z' ,
这是从新坐 标求旧坐标，
z a3 c31x' c32 y' c33z'.
写成矩阵的形式
下面还会讨 论从旧坐标 来求新坐标。
x a1 c11

y z



a2 a3



六．曲面的方程的变换公式
设S是一张曲面，它在 I 中的一般方程为F ( x, y, z) 0, 求它在 I ' 中的一般方程。 对于点M，如果它在 I '中的坐标为( x', y', z') ，则 在I 中的坐标为
(c11 x' c12 y' c13z' d1 , c21 x' c22 y' c23z' d2 , c31 x' c32 y' c33z' d3 )
O
e1' e2
e3' (c13 , c23 , c33 ) c13 e1 c23 e2 c33 e3.
e1
写成矩阵的形式
c11 c12 c13
e1'
e2'
e3' e1
e2
e3

c21 c31
c22 c32
c23 c33

矩阵形式
c11 c12 c13
因此点M在S上充要条件为：
F (c11 x' c12 y' c13z' d1 , c21 x' c22 y' c23z' d2 , c31 x' c32 y' c33z' d3 ) 0
把上式左端的函数式记作 G( x', y', z') 0, 则 G( x', y', z') 0 是S在 I ' 中的一般方程，称它 为由S在 I 中的方程 F( x, y, z) 0 经过坐标变换 化为S在 I ' 中的方程。
新坐标系[O',e1' ,e2' ,e3' ] OO' a1e1 a2 e2 a3 e3.
e3'
e1' (c11, c21, c31) c11e1 c21e2 c31e3 ,
e3
．O'
e2'
e2' (c11, c21, c31) c12 e1 c22 e2 c32 e3 ,