914.和圆有关的比例线段-奥数精讲与测试(9年级)

知识点、重点、难点

在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幂定理。 1.相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。 推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。

3.与圆有关的比例线段问题的一般思考方法：(1)直接应用圆幂定理； (2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式→比例式→中间比→相似三角形。

圆幂定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲

例1：如图，已知⊙1O 与⊙2O 相交于A 、B 两点，过点A 作⊙1O 的切线，交⊙2O 于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙1O 、⊙2O 于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .当AD 与⊙2O 相切，且PA = 6，PC =2，PD =12时，求AD 的长。

解 连结AB .因为CA 切⊙1O ；于点A ，所以∠1 =∠D ．又∠1=∠E ，所以∠D =∠E .又∠2=∠3，

所以△APD ∽△CPE ，所以PA PD

PC PE

=， 即PA ·PE = PC ·PD ．因为PA =6，PC =2，PD =12，得6×PE =2×12，得

PE =4.由相交弦定理得PE ·PB =PA ·PC ，所以4PB =6×2，得PB =3.所以BD = PD －PB =9，DE =DP ＋PE =12＋4=16.因为DA 切⊙2O 于点A ，所以DA 2

= DB ·DE ，即AD 2

=9×16，得AD ＝12.

例2：如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长AB 、DC 交于E ，延长AD 、BC 交于F ，EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于K ，求证：EK ⊥FK ．

证明 连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以∠1=∠2.因为A 、B 、C 、D 共圆，所以∠1=∠3，于是∠2 =∠3，故D 、C 、H 、F 共圆．由切割线定理得EM 2

=EC ·ED =EH ·EF ，FN 2

= FC ·FB=FH ·FE ，所以EM 2

＋FN 2

=(EH ＋FH )·EF =EF 2

．又因为EM=EK ，FN=FK ，所以EK 2

＋FK 2

=EF 2

．故△EKF 为直角三角形，且∠EKF =90°，即EK ⊥FK .

例3：如图，⊙1O 与⊙2O 相交于P 、Q 两点，在公共弦QP 延长线上取一点M ，过M 作两圆割线分别交两圆于A 、B 、C 、D . 求证：

.AD BD DM

AC CB CM

=

证明 由切割线定理得MA ·MB = MP ·MQ

=MC ·MD ，所以A 、B 、D 、C 四点共圆，可得∠ADB =∠ACB .又

11

sin ,sin 22

ADB ACB S AD BD ADB S AC BC ACB ∆∆=

∠=∠，所以.ADB ACB S AD BD

S AC BC

∆∆=过C 作CG ⊥MB ，垂足为G ，过D 作DH ⊥MB ，垂足为H .所以CG ∥DH ，得△MGC ∽△MHD ，得.ADB ACB S DH DM

S CG CM

∆∆=

=所以AD BD AC BC =

.DM

CM

例4：如图，两个同心圆的圆心为O ，大圆的弦AD 交小圆于B 、C ，大 圆的弦AF 切小圆于E ，经过B 、E 的直线交大圆于M 、N ，求证：(1) AE 2

=

BN ·EN ；(2)若AD 经过圆心O ，且AE = EC ，求 ∠AFC 的度数。

证明 (1)因为AE 、ABC 分别是小圆的切线和割线，所以AE 2

=AB ·AC ①

作OH ⊥AD 于H ，则AH = DH ，BH = CH ，所以AB = CD .同理得BM =EN .由相交弦定理得AB ·BD = MB ·BN .所以AB ·AC = EN ·BN . ②

由①② 得AE 2

= EN ·BN .

(2)连结OE ，因为AF 是切线，所以OE ⊥AF 于E ，

所以AE = EF .因为AE = EC = EF ，所以易证得∠ACF = 90°.因为AD 过圆心D ，所以FC 是小圆的切线。所以FC =FE =EC ，所以∠AFC = 60°. 例5：从圆外一点P 作⊙O 的切线，切点为Q ，割线PBC 与圆交于B 、C

两点，∠QPC 的平分线分别交QC 、QB 于E 、D ，求DB EC

QB QC

+的值。 解 在△QPC 中，由PE 平分∠QPC ，得

.QE PQ

EC PC

= ① 同理，在△QPB 中有

.QD PQ

DB PB = ② 于是①×②得

2

.QE QD PQ EC DB PB PC

= ③ 又PQ 为圆的切线，PBC 为圆的割线，故2

PQ = PB ·PC .④

把④代入③得QE ·QD = EC ·BD ，所以(QC －EC )·(QB －DB ）=EC ·BD ，即QB ·EC ＋QC ·BD ＝QB ·QC ，从而

1.EC BD

QC QB

+=

例6：如图，已知⊙1O 经过⊙2O 的圆心2O ，且与⊙2O 相交于A 、B 两点， 点C 为2AO B 上的一动点（不动至A 、B ），连结AC 并延长交⊙2O 于点P ，连结BP 、BC .

（1）先按题意将图156补完整，然后操作、观察。图156供操作观察用，操作时可使用量角器与刻度尺，当点C 在2AO B 上运动时，图中有哪些角的大小没有变化；

（2）请猜想△BCP 的形状，并证明你的猜想（图157供证明用）； （3）如图158，当PA 经过点2O 时，AB ＝4，BP 交⊙1O 于D ，且PB 、

DB 的长是方程2

100x kx ++=的两个根，求⊙1O 的半径。

解 (1)①按题意将图补完整；②∠ACB 、∠APB 、∠CBP 的大小没有变化；

(2) △BCP 是等腰三角形。证明：连结2O A ，则∠2BO A =∠ACB ，

∠2BO A =2∠P ，所以∠ACB = 2∠P .又∠ACB ＝∠P ＋∠PB C ，所以 ∠P =∠PBC ，即△BCP 是等腰三角形；

(3)连结21O O ，并延长交AB 于E ，交⊙1O 于F.设⊙1O 、⊙2O 的半径

分别为r 、R ，所以2O F ⊥AB ，EB =

1

2AB = 2.因为PDB 、2PO A 是⊙1O 的割线，所以PD ·PB =2PO ·PA =2R 2．因为PB 、BD 是方程2

100

x kx ++=的两根，所以PB ·PD =10．因为PD ·PB = (PB －BD ) ·PB =PB 2

－PB ·BD ＝PB 2－10，所以PB 2－10＝2R 2

.①

因为AP 是⊙2O 的直径，所以∠PBA =90°，所以PB 2 = PA 2－AB 2

，所以

PB 2 = 4R 2

－16．②

由①②得R =13，在Rt △2O EB 中，22

22134O E O B BE =-=-=3.

由相交弦定理得EF ·2EO ＝AE ·BE ，所以EF =4

3

，所以1413(3),236r =+=

所以⊙1O 的半径为13

.6

A 卷

一、填空题

1.如图，已知PT 切⊙O 于T ，PAB 为经过圆心O 的割线．如果PT =4，PA =2，那么cos ∠BPT 的值等于 。

2.如图， PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是⊙O 的割线，且PB =

1

2

BC ，则PA ：PB 的值