数列极限的运算法则

数列极限的运算法则(5月3 日)

掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列极限的极限。 运用数列极限的运算法则求极限 数列极限法则的运用 教学目标 教学重点 教学难点 教学过程 一、复习引入： 函数极限的运算法则：如果 lim X X o

lim f(x).g(x)

X 冷

二、新授课： 数列极限的运算法则与函数极限的运算法则类似: 如果 lim a n A, lim b n B,那么

n n lim (a n b n ) A B

n f(x) A, lim g(x) B,则 lim f (x) x x o ..f(x) lim

x x0

g(x)

x X o n im(a n b n

) A

lim (a n .b n ) A.B lim n

a n

b n

B

(B

推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。 例如,

a n

b n

g(x )

0)

有极限，

则：lim (a n b n c n ) lim a n

lim b n n

n n lim n

C n

特别地，如果

C 是常数，那么

lim (C.a n ) lim C.lim a n

一

-

n

CA

例1•已知lim a n n

5, lim b n 3，求 lim (3a n

4b n ).

n

n

例2•求下列极限： 4、

(1) lim (5 ); n n

(2) lim (- 1)2

n n

例3•求下列有限：

/ 八,■ 2n 1 /c 、 ,■ n （1） lim

（2） lim ——

n

3n 1

n

n 1

分析：（1） （2）当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限, 上面的极限运算法则不能直接运用。

例4•求下列极限:

说明：1•数列极限的运算法则成立的前提的条件是：数列的极限都是存在，在进行极限运 算时，要特别注意这一点。

当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母

都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用。

2•有限个数列的和（积）的极限等于这些数列的极限的和（积）

。

3•两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的 极限不一定不存在。

(1)

5 n 2

1

7 n 2

1

2n 1) n 2 1)

(2)

lim(^ n

1 3

9

2； 3n 1

小结：在数列的极限都是存在的前提下，才能运用数列极限的运算法则进行计算；数列极限的运算法则是对有限的数列是成立的。

练习与作业：

2•求下列极限:

3•求下列极限

(1) lim

n lim

n 3n

(3) lim

n 3n 2

b ；

lim

n

2n2

3n2 1 °

5n

1•已知lim a n

n 2, lim b n

n

1，求下列极限

3

(1) lim (2a n

n 3b n)；(2)lim

n

a n

b n

a n

(1)lim (4

n 1);

n lim

n

(4)

1

4•求下列极限

已知lim a n 3, lim b n

5,求下列极限:

n n \17 1

n

4b

n a 3 /V m \1

7

n -

n

an 一

an

m

H n

5•求下列极限： (1) . lim (7

n —) n

lim (

n

5)

(3) . lim

n

-(3

n n

4)

n 1

1 1

n

(4).

lim

n

(5). lim

n

2n —

(6).

lim n

5n

6n 11

(7). lim

n (8) lim(— n

n

1 4n 2) 1 n 2

1 (9) lim -

n

1 2n 1

(10).已知 lim a n

n

2,求 lim

n

n a n n a n

1