3-3,4力矩的功

R,I
m
0 x x
例2 ：
方法一：转动定律＋ 方法一：转动定律＋牛顿定律 方法二： 方法二：机械能守恒
2mgh − kh2 v= m+ I 2 R
F
R,I
T T’ m mg
0 x x
例3 ： 求物体从弹簧原长时开始下落到h距离时的速度？ 求物体从弹簧原长时开始下落到h距离时的速度？
m R,I
m
0 x x
v v v M = r ×F
注意 必须在转动平面内. 1）力 F 必须在转动平面内. 若力不在转动平面内， 2）若力不在转动平面内，分解成
ω
v
θ r
F
uu r uu r r u r M 若刚体受N个外力作用， 3）若刚体受N个外力作用， 合 = ∑Mi = ∑ri × Fi
uu v v r M = r × F// 平面
r
dr
例2 ： 现有一圆盘在平面内以角速度ω转动，求摩擦力 现有一圆盘在平面内以角速度 转动， 转动 产生的力矩（ 、 、 ）。 产生的力矩（µ、m、R）。
ω
O
dr
r
dm
§3-3 力矩 转动定律
二、转动定律: 转动定律
M = Iα
注意： 都是相对于同一转轴而言。 注意：1) M、I、α都是相对于同一转轴而言。 、 、 都是相对于同一转轴而言 定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体， 定轴转动定律：绕某定轴转动的刚体，所受 合外力矩在该轴上的分量等于刚体对该轴的 转动惯量与角加速度的乘积。 转动惯量与角加速度的乘积。
三、刚体转动动能定理
1. 类比 2. 转动动能定理
合力矩
A= ∫
θ
θ0
1 2 1 2 Mdθ = Iω − Iω0 2 2
包括质点、 3. 包括质点、刚体的系统的功能原理
A + A 保内 = E − E0 = ∆E 外 非
重力势能、 重力势能、 弹性势能、 弹性势能、 引力势能
E = EP + Ek平 + Ek转 E0 = EP0 + Ek 0平 + Ek 0转
M一定时，I ↑L ↓ 一定时， 一定时 α
I ↓Lα ↑
越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强， 即I越大的物体，保持原来转动状态的性质就越强，转 动惯性就越大；反之， 越小，越容易改变状态， 动惯性就越大；反之，I越小，越容易改变状态，保持 原有状态的能力越弱,或者说转动惯性越小。 原有状态的能力越弱,或者说转动惯性越小。 一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒， 如:一个外径和质量相同的实心圆柱与空心圆筒，若受 力和力矩一样，谁转动得快些呢？ 力和力矩一样，谁转动得快些呢？
如：设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢 设一细杆的质量为m 长为L 轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。 轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求： 当杆到达铅直位置时重力矩所作的功 时重力矩所作的功。 当杆到达铅直位置时重力矩所作的功。 π FN 2 A= Mdθ Z L 0
∫
2
α mg
L 0 = ∫ mg sin(90 −θ)dθ 0 2 L = mg 2
dA = Mω 3. 力矩的功率 N = dt
类比质点中N = Fv
如：设一细杆的质量为m，长为L，一端支以枢 设一细杆的质量为m 长为L 轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。 轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放。求： 当杆到达铅直位置时重力矩所作的功 时重力矩所作的功。 当杆到达铅直位置时重力矩所作的功。 Z α mg L 以杆为研究对象 mg， 受力： 受力： ，FN
四、包括转动动能的机械能守恒
0 若刚体系统 ∑A外＋ A非保守＝ ，或只有保守力 ∑ 做功， 常量。 （矩）做功，则系统的机械能守恒 E＝常量。
A + A 保内 = E − E0 = ∆E 外 非
重力势能、 重力势能、 弹性势能、 弹性势能、 引力势能
E = EP + Ek平 + Ek转 E0 = EP0 + Ek 0平 + Ek 0转
例1 ： 设一细杆OA的质量为m 长为L OA的质量为 设一细杆OA的质量为m，长为L，一端支以枢轴而 能自由旋转。 端固定一质量为m的小球（ 能自由旋转。在A端固定一质量为m的小球（可看 作质点），设细杆由水平静止释放。 ），设细杆由水平静止释放 作质点），设细杆由水平静止释放。求： 1.当杆下落到θ处时的角速度和A处法向加速度； 1.当杆下落到θ处时的角速度和A处法向加速度； 当杆下落到 2.当杆转到铅直位置时的转动动能、 当杆转到铅直位置时的转动动能 2.当杆转到铅直位置时的转动动能、角加速度及 轴上的作用力是多少？ 轴上的作用力是多少？ N A L O θ 方法一： 方法一：转动定律
F//平面，⊥平面, F
uu r uu r r iur 力是连续的：M合 = ∫ dM = ∫ r × dF 力是连续的：
i
例1: 均匀细杆长L，在平面内以角速度ω转动， 均匀细杆长 ，在平面内以角速度 转动， 转动 求M摩擦力。 ω
v v v M = r ×F
百度文库dm
r
uu r uu r r ur M合 = ∫ dM = ∫ r × dF
M α= I
或
M = Iα
§3-3 力矩 转动定律
二、转动定律: 转动定律
M = Iα
注意： 都是相对于同一转轴而言。 注意：1) M、I、α都是相对于同一转轴而言。 、 、 都是相对于同一转轴而言 2) I是物体转动惯性大小的量度。因为： 是物体转动惯性大小的量度。 是物体转动惯性大小的量度 因为：
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理 三、力矩的功——力矩对空间的累积效应 力矩对空间的累积效应
1. 类比
v r 质点： 质点：dA = F ⋅ dl →Fdx r r 刚体： 刚体： A = M ⋅ dθ →Mdθ d
A = ∫ Mdθ
θ1 θ2
2. 力矩的功
θ2-θ1是刚体在力矩
的作用下转过的角度。 的作用下转过的角度。 转过的角度
A= ∫
θ
θ0
1 2 1 2 Mdθ = Iω − Iω0 2 2
外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。 外力矩对刚体所作的功，等于刚体转动动能的增量。 力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越大，在空间 力矩的功反映力矩对空间的积累作用，力矩越大， 转过的角度越大，作的功就越大。 转过的角度越大，作的功就越大。这种力矩对空间的积累 作用的规律是什么呢？ 作用的规律是什么呢？
π
1 A = mgL = −(∆Ep ) = −(Ep2 − Ep1 ) 2
三、刚体转动动能定理
v r 1 2 1 2 1. 类比 质点： 质点：A = ∫ F ⋅ dl = mv − mv0 2 2 r r 1 2 1 2 刚体： 刚体： = ∫ M ⋅ dθ = Iω − Iω0 A 2 2 2. 转动动能定理 合力矩
方法一： 方法一：转动定律 方法二： 方法二：转动动能定理 方法三： 方法三：机械能守恒
N O
L θ mg
A
9g ω= sinθ 4L
9g an = sinθ 4
例2 ： 劲度系数为k的轻弹簧， 劲度系数为k的轻弹簧，一端固定另一端通过一 定滑轮系一质量为m的物体，滑轮半径为R 定滑轮系一质量为m的物体，滑轮半径为R，转 动惯量为I 绳与滑轮无相对滑动， 动惯量为I，绳与滑轮无相对滑动，求物体从弹 簧原长时开始下落到h距离时的速度？ 簧原长时开始下落到h距离时的速度？
方法二： 方法二：转动动能定理 方法三： 方法三：机械能守恒
mg
例1 ： 1.当杆下落到 处时的角速度和A处法向加速度； 当杆下落到θ 1.当杆下落到θ处时的角速度和A处法向加速度； 2.当杆转到铅直位置时的转动动能、 当杆转到铅直位置时的转动动能 2.当杆转到铅直位置时的转动动能、角加速度及 轴上的作用力是多少？ 轴上的作用力是多少？
§3-3 力矩 转动定律 一、力矩
v F 对转轴 Z 的力矩
v M
zv
M
O
v v v M = r ×F
M = Fd = Fr sinθ
v r
v F
*
d
P
θ
d : 力臂
v −F v F
v v ∑ Fi = 0 , ∑ M i = 0
v − Fv
v F
v ∑ Fi = 0 , ∑ M i ≠ 0
§3-3 力矩 转动定律 一、力矩