【新教材】新人教B版 高中数学必修一 函数模型及函数的综合应用 课件

作答 (检验作答)
10
例 (2017江西九江七校联考,20)某店销售进价为2元/件的产品A,该店 产品A每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y = 10 +4(x-6)2,其中2<x<6.
x2
(1)若产品A销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A所获得的利润; (2)试确定产品A的销售价格,使该店每日销售产品A所获得的利润最大. (保留1位小数) 解题导引
f
(x2) ,故④正确.故答案为①③④.
答案 ①③④
9
方法技巧
方法 函数的实际应用题
解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是哪种函数,并要
注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义
作出回答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:
读题 (文字语言)
建模 (数学语言)
求解 (数学应用)
3
所以t∈(14,32], 综上,t∈[12-2 2 ,32],即老师在t∈[12-2 2 ,32]时段内安排核心内容能使 得学生听课效果最佳.
7
考向二 函数的综合应用
例2
(2018陕西西安中学期中,16)已知函数f(x)=
e x
2,
x
0,
(a是常数
2ax 1, x 0
且a>0),给出下列命题:
(1)
(2)
11
解析 (1)当x=4时,y=10 +4×(4-6)2=21,此时该店每日销售产品A所获得
2
的利润为(4-2)×21=42千元.
(2)该店每日销售产品A所获得的利润f(x)=(x-2)·
10 x2
4(
x
6)2
=10+4(x
-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),
4
考向突破 考向一 分段函数模型应用 例1 某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的 调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示 的曲线. 当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函 数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指 数p大于等于80时听课效果最佳. (1)试求p=f(t)的函数关系式;容能使得学生听课效果最佳 (2)老师在什么时段内安排核心内?请说明理由.
①函数f(x)的最小值是-1;
②函数f(x)在R上是单调函数;
③若f(x)>0在
1 2
,
上恒成立,则a的取值范围是a>1;
④对任意的x1<0,x2<0且x1≠x2,恒有f
x1
2
x2
<
f
( x1 )
2
f
(x2 )
.
其中正确命题的序号是
.
8
解析
函数f(x)=
e x
2,
x
0,
(a是常数且a>0)的图象如图所示:
5
解析 (1)当t∈(0,14]时,设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将点(14,81)代入得c=-
1,
4
所以当t∈(0,14]时,p=f(t)=- 1 (t-12)2+82.
4
当t∈[14,40]时,将点(14,81)代入y=loga(t-5)+83,
得a= 1 ,
3
所以p=f(t)=
3
所以当x=10 ≈3.3时,函数f(x)取得最大值.
3
故当销售价格为3.3元/件时,利润最大.
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幂函数模型
f(x)=axn+b(a,b为常数,a≠0,n≠0)
“对勾”函数模型
a
f(x)=x+ x (a>0)
2
2.三种函数模型的性质比较
函数性质
在(0,+∞) 上的增减性 增长速度
图象的 变化
联系
y=ax (a>1) 增函数
y=logax (a>1) ① 增函数
y=xα (α>0) ② 增函数
越来越快
1
考点清单
考向基础
考点 函数模型及函数的综合应用
1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型
f(x)=bax+c(a,b,c为常数, a>0且a≠1,b≠0)
对数函数模型
f(x)=blogax+c (a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
1 4
(t
12)2
82,
t
(0,14],
log1 (t 5) 83,t (14, 40].
3
(2)当t∈(0,14]时,- 1 (t-12)2+82≥80,
4
解得12-2 2 ≤t≤12+2 2 ,
6
所以t∈[12-2 2 ,14]. 当t∈(14,40]时,log1 (t-5)+83≥80,解得5<t≤32,
从而f '(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).
令f
'(x)=0,得x=10
3
,易知在
2,
10 3
上,
f
'(x)>0,函数f(x)单调递增;在
10 3
,
6
上, f '(x)<0,函数f(x)单调递减.
所以x=10 是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,
越来越慢
随x值的增大图 象与③ y轴 接近
于平行
随x值的增大图 象与x轴接近于
④ 平行
存在一个x0,当x>x0时,有logax<xn<ax
相对平稳
随α值变 化而不同
3
3.“对勾”函数的性质 函数f(x)=x+ a (a>0).
x
(1)该函数在(-∞,- a ]和[ a ,+∞)上单调递增,在[- a ,0)和(0, a )上单调 递减. (2)当x>0时,x= a 时取最小值2 a ; 当x<0时,x=- a 时取最大值-2 a .
2ax 1, x 0
由图可得:当x=0时,函数f(x)取最小值-1,故①正确;由图说明函数f(x)在R
上不是单调函数,故②错误;若f(x)>0在
1 2
,
上恒成立,则f
1 2
=a-1>0,
求得a的取值范围是a>1,故③正确;结合函数在(-∞,0]上的图象知f
x1
2
x2
பைடு நூலகம்
<
f
( x1 )
2